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肇庆市中小学教学质量评估2013届高中毕业班第二次模拟试题(数学理)

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第二次模拟试题 数 学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填 写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 a ? bi ? (1 ? i)(2 ? i) ( i 是虚数单位, a , b 是实数) ,则 z ? a ? bi 在复平面内对应的 点是( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2 2.已知集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0} ,则 M ? N ?

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 4}

B. {x |1 ? x ? 3} D. {x | x ? 0 或 x ? 4}

3.在 ?ABC 中,已知 | AB |?| BC |?| CA |? 2 ,则向量 AB?BC ? A. 2 B. ?2 C. 2 3 )
x ?x

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

D. ?2 3

4. 下列函数为奇函数的是( A. y ?| sin x |

B. y ? 2 ? 2

C. y ? ln | x |

D. y ? ln

?? x ?? x

? y?3 ? 5.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最优解是 ?x ? y ? 1 ?
B. ?7 C. (4,3) 或 (?2,3) D. 5 或 ?7

A. 5

6.已知集合 A ? {1, 2}, B ? {6}, C ? {2, 4,7} ,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角 坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 B.34 C.35 7.已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ) D.36

? ?

??

? ( A ? 0, ? ? 0 , x? ? ??, ??? )的最小正周期为 ? , 6? ? ? ?? 上的最小值是 , ? 4 4? ?
C. ?3 D. 2 3

且 f ? 0 ? ? 3 ,则函数 y ? f ( x) 在 ? ? A. ? 6 B. ?2 3

8.定义全集 U 的子集 M 的特征函数为 f M ( x) ? ?

?1, x ? M ,这里 CU M 表示集合 M 在 ?0, x ? CU M

全集 U 中的补集,已 M ? U , N ? U ,给出以下结论:①若 M ? N ,则对于任意 x ? U , 都有 f M ( x) ? f N (x ) ;②对于任意 x ? U 都有 fCU M ( x) ? 1? f M ( x) ;③对于任意 x ? U , 都有 f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x) ;④对于任意 x ? U ,都有 f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x) . 则结论正确的是 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. | 2 x ? 1|?| 5 ? x | 的解集是 10.

?

?

2 0

(3 x ? sin x)dx ?

.

11.某程序框图如图1所示,该程序运行后输出的结果 k 的值是

12.图 2 是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接

触面积可忽略不计)

13.与圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程是

( )



14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 l1 的极坐标系方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 ( ? ? 0, ?? 4? 2

0 ? ? ? 2? ) ,直线 l2 的参数方程为 x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,若以直角坐标系的 x 轴的非负 y ? 2t ? 2
半轴为极轴,则 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是 ▲

?

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在 Rt ?ABC 中,斜边 AB ? 12 ,直角边 AC ? 6 ,如果 以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D ,则 ? C 的半径长为 ▲

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别是 a,b,c .

? 且 △ ABC 的面积等于 3 ,求 cos( A ? B) 和 a, b 的值; 3 3 12 (2)若 B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? ,求 sin C 的值. 5 13
(1)若 c ? 2 , C ?

17.(本小题满分 13 分) PM2. 5 是指大气中直径小于或等于 2. 5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. 虽然 PM2.5 只是地球大气成分中含量很少的组分,但它对空气质量和能见度等有重要的影响。 我 国 PM2. 5 标准如表 1 所示.我市环保局从市区四个监测点 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数 据中随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图如图 4 所示。 (1)求这 15 天数据的平均值(结果保留整数). (2)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ,求 ? 的分 布列和数学期望; (3) 以这 15 天的 PM2. 5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中大 约有多少天的空气质量达到一级.

18. (本题满分 13 分) 如 图 5 ? 1 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , 已 知 AD // BC , AD ? AB ? 1 , ,记折起 ?BAD ? 90o , ?BCD ? 45o , AE ? BD .将 ?ABD 沿对角线 BD 折起(图 5 ? 2 ) 后点 A 的位置为 P 且使平面 PBD ? 平面 BCD . (1)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (2)求平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小.

19.(本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
(1)求数列 {an } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

? ? ( 3 ) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N }, R ? {x x ? 2a n , n ? N } , 等 差 数 列 {cn } 的 任 一 项

cn ? Q ? R,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115,求 {cn } 的通项公式.
20. (本小题满分 14 分) 设椭圆

1 1 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 , 其左焦点 E 与抛物线 C : x ? ? y 的 2 2 4 b a

焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点 F 的直线 l 与曲线 C 只有一个交 点 P ,则 (1)求直线 l 的方程; (2)椭圆上是否存在点 M ( x, y ) ,使得 S ?MPF ? 明一共有几个点;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)

1 ,若存在,请说 2

?? x3 ? ax 2 ? bx, ( x ? 1) 2 ? 已知函数 f ( x) ? ? 在 x ? 0, x ? 处存在极值. x ?1 3 ?c(e ? 1), ( x ? 1) ?
(1)求实数 a, b 的值; (2)函数 y ? f (x) 的图像上存在两点 A, B 使得 ?AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角 三角形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围; (3)当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx ( k ? R ) 的实根的个数.

肇庆市中小学教学质量评估 2012 届高中毕业班第二次模拟试题 数
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 A

学(理科)参考答案

解析:
1D 解析: a ? bi ? (1 ? i)(2 ? i) ? a ? bi ? 3 ? i ? z ? 3 ? i 2A 解析: N ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0} ? {x | x ? 1 or x ? 4} ? M ? N ? {x | 0 ? x ? 1}
2

3B 解析: AB?BC ? AB ? BC cos ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? ?

??

? 1? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?2 3? ? 2?

4D 解析: y ? cos x 是偶函数,, y ? 2x 和 y ? x? ?? 是非奇非偶函数,故选 D. 5C 解 析 : 约 束 条 件 对 应 的 三 个 “ 角 点 ” 坐 标 分 别 为 : A(1,0), B(4,3), C (?2,3) ,

zA ? 2, zB ? 5, zC ? ?7 ,所以 z ? 2 x ? y 的最优解为 (4,3) 或 (?2,3)
3 6A 解析:若从三个集合中选出的是不同的三个数,则可以组成 5 A3 =30 个不同的点,若 A、

C 选取的元素相同都是 1,则可以确定 3 个不同的点,故共有 33 个不同的点. 7C 解析: A ? 2 3, ? ? 2 ? f ( x) ? 2 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

由?

?
4

?x?

?
4

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? ? ?? 得 f min ( x) ? 2 3 sin ? ? ? ? ?3 3 ? 3?

8A 解析:利用特殊值法进行求解.设 U ? {1, 2,3}, M ? {1}, N ? {1, 2} 对于① f M (1) ? 1 ? f N (1), f M (2) ? 0 ? f N (2) ? 1, f M (3) ? f N (3) ? 0 可知① 有 正确; 对于②有 f M (1) ? 1, f M (2) ? 0, f M (3) ? 0 , fCU M (1) ? 0, fCU M (2) ? 1, fCU M (3) ? 1 可知② 正确; 对于③ f M (1) ? 1, f M (2) ? 0, f M (3) ? 0 , f N (1) ? 1, f N (2) ? 1, f N (3) ? 0 , 有

f M ?N (1) ? 1, f M ?N (2) ? 0, f M ?N (3) ? 0 可知③正确;
二、填空题: 9. ( ??, ?6) ? ( , ??) .
2

4 3

10.

3? 2 ?1 8

11. 7

12.

40?

3? 5 ? 13. ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? (或填: x2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 5 ? 0 ) 14. (1, 2) 2? 4 ?
2

15. 3 3

2 2 9 解析:∵ | 2 x ? 1|?| 5 ? x | ,∴ (2x ? 1) ? (5 ? x) ,∴ 3x ? 14 x ? 24 ? 0 ,∴ x ? ?6 或
2

x?

4 . 3

10 解析:

?

?

2 0

? 3 3? 2 2 (3x ? sin x)dx ? ( x 2 ? cos x) |0 ? ?1 . 2 8

11 解: 程序执行的过程如下:

k ? 0, s ? 0 ,符合 s ? 100 , s ? 0 ? 20 ? 1, k ? 1 ;符合 s ? 100 , s ? 1 ? 21 ? 3, k ? 2 ;
符合 s ? 100 , s ? 3 ? 22 ? 7, k ? 3 ;符合 s ? 100 , s ? 7 ? 23 ? 15, k ? 4 ; 符合 s ? 100 , s ? 15 ? 24 ? 31, k ? 5 ;符合 s ? 100 , s ? 31 ? 25 ? 63, k ? 6 ; 符合 s ? 100 , s ? 63 ? 26 ? 100, k ? 7 ;不符合 s ? 100 ,故输出 k ? 7 . 12 解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ? 22 ? 2 ? ? ? 22 ? 2? ? 2 ? 6 ? 48? .

1? 5 2 ?1 ? ?1 ? ? 13 解: C 的标准方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? . 圆心坐标是 ? , ?1? .设与圆心 ? , ?1? 关 圆 2? 4 ?2 ? ?2 ? ?
? y0 ? 1 ? ?1, ? 1 ? x0 ? ? 2 于直线 l 对称的点的坐标是 ? x0 , y0 ? ,则有 ? 解此方程组,得 1 ?x ? ? 0 2 ? y0 ? 1 ? 1 ? 0. ? 2 ? 2
3 x0 ? ?2, y0 ? . 所以,与圆 C 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程是 2

2

3 5 ? x ? 2? ? ? y ? ? ? . ? ? 2? 4 ?
2

2

14 解析: ? sin ?? ?

? ?

??

2 ? ? 2 ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ? y ? x ?1 ?? 4? 2 4 4 2
,由 ?

? xy ??12?t ?2t2 ? x ? y ? 3
∴CD=AC· sinA=6× 三、解答题

?x ? y ? 3 ?x ? 1 ? A(1, 2) ?? ?y ? x ?1 ?y ? 2
1 AB,∴∠B=30° ,∠A=90° -∠B=60° . 2

15 解析:在 Rt△ABC 中,∵AB=12,AC=6,即 AC=

3 ?3 3. 2
? , 3
∴A ? B ? ? ? C

16 解:(1)∵A ? B ? C ? ? , C ?

∴cos( A ? B ) ? cos(? ? C ) ? ? cos C ? ? cos

?
3

??

1 2

(2 分)

由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

(4 分) (5 分)

1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2 2 2 ?a ? b ? ab ? 4, 联立方程组 ? ?ab ? 4, 解得 a ? 2 , b ? 2 . 3 12 (2) ∵B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? 5 13
∴sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ?
2 2

(7 分)

?3? ?5?

2

4 5

(8 分)

5 ? 1 2? ? ?1 ? ? ? 13 ? 1 3? ∴sin C ? sin ?? ? ( A ? B)? ? sin( A ? B) cos ?? B ? s2i B ? ? 1 n
? sin A cos B ? cos A sin B ?

(9 分) (10 分) (12 分)

4 ? 5 ? 3 12 16 ?? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 13 65

17 解: (1)随机抽取 15 天的数据的平均数为:

x?
分)

1 (25 ? 28 ? 31 ?? ? 92) ? 55 15

(3

(2)依据条件, ? 的可能值为 0,1, 2,3 , 当 ? ? 0 时, P(? ? 0) ?
0 3 C5 C10 24 ? , 3 C15 91

(4 分)

1 2 C5C10 45 当 ? ? 1 时, P(? ? 1) ? ? 3 C15 91

(5 分)

当 ? ? 2 时, P(? ? 2) ?

1 C52C10 20 , ? 3 C15 91

(6 分)

3 0 C5 C10 2 当 ? ? 3 时, P(? ? 0) ? ? 3 C15 91

(7 分)

所以其分布列为:

?
P

0 24 91

1

45 91

2 20 91

3 2 91
(8 分)

数学期望为: E? ?

45 20 2 ? 2 ? ? 3? ? 1 91 91 91

(10 分)

(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ?

5 1 ? , (11 分) 15 3

一年中空气质量达到一级的天数为? ,则? ? B (360, ) ,

1 3

∴ E? ? 360 ?

1 ? 120 (天) 3
(13 分)

所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级. 18 解: (1)∵平面 PBD ? 平面 BCD , PE ? BD ,

PE ? 平面 PBD ,平面 PBD ? 平面 BCD ? BD ,
∴PE ? 平面 BCD , 分) 即 PE 是三棱锥 P ? BCD 的高, 又∵ AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90o , ?BCD ? 45o , ∴?ABD ? ?CBD ? 45 , ?BDC ? 90 ,
o o

(2

CD ? BD ? AB2 ? AD2 ? 2 ,
∴PE ? AE ? AB sin 45 ?
o

2 , 2

(4

分)

S?BCD ?

1 1 BD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 1 , 2 2

∴ 三棱锥 P ? BCD 的体积 V ? 分) (2)方法一:

1 1 2 2 . S?BCD ? PE ? ?1? ? 3 3 2 6

(6

∵PE ? 平面 BCD , CD ? 平面 BCD ,∴CD ? PE 又∵CD ? BD ,PE ? PD ? P , CD ? 平面 PBD , ∴ 分) (8

∵PD ? 平面 PBD ,∴CD ? PD ∴PC ? CD ? PD ? 3
2 2 2

∵BD ? 2, CD ? 2, ?BDC ? 900 ,∴BC ? BD ? CD ? 4
2 2 2

∴ BC ? PB ? PC
2 2

2

∴ (10 分)

?BPC ? 900

,



PB ? PC

由已知可知 PB ? PD , ∵ (11 分) ∵PB ? 平面 PBC , 平面 PBC ? 平面 PBC ∴ 分)
o 所 以 平 面 PBC 与 平 面 P C D 成 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 为 90 . 所

PD ? PC ? P

,∴

PB ?





PBC

(12

(13 分) 方法二: 过 E 作直线 EG // DC ,交 BC 于 G,则 EG ? BD , EG ? PE 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 P ? 0, 0,

? ? ?

? ? ? 2? ? 2 2 , 0, 0 ? , C ? ? , 2, 0 ? , ?, B? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

? ? 2 D?? , 0, 0 ? ? 2 ? ? ? ? ??? ? 2 ? ? 2 ? ??? ? 2 2 ? ??? ? 2 2? PB ? ? , 0, ? , 2, ? ? , PC ? ? ? ? , PD ? ? ? ? 2 , 0, ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
分) 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , (8

? 2 2 ??? ? x? z?0 ? ? n?PB ? 0 ?z ? x ? ? 2 2 则 ? ??? ,即 ? 化简得 ? ? ?x ? 2 y ? z ? 0 ? n?PC ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 ? 2
令 x ? 1 ,得 z ? 1, y ? 1 ,所以 n ? (1,1,1) 是平面 PBC 的一个法向量. (10 分)

同理可得平面 PCD 的一个法向量为 m ? (1,0, ?1) 设向量 n 和 m 所成角为 ? ,则 cos ? ?

(11 分)

n?m 0 ? ?0 n m 3? 2
o

(12 分)

∴平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小为 90 .

(13 分)

19 解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) ,
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. 分)
2 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ?( x) ? 2 x ? 2

(3

? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .
分)

(4

?bn ? 2kn an ? 4 ? (2n ? 1) ? 4n
(5 分)

.

?Tn ? 4 ? 3? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ????+4 ? 2n ? 1) ? 4n (
(6 分) 由 ①× , 得 4Tn ? 4 ? 4 ? 3 (7 分) ①-②得:
2 4 ? ? 4 5 ? ? 4 ????+44 n ? ? n? 4 ? 3? 4 7 ? ( 2 1



1 )② 4

?3Tn ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? ? 42 ? 43 ? ??? ? 4n ? (2n ? 1) ? 4n?1 ? ? ?
2 ? ? 4( ? 4n ?1) 1 ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ? 1? 4 ? ?

? Tn ?
(9 分)

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9

? ? ( 3 ) ? Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N } , ? Q ? R ? R .

(10 分) 又 ? cn ? Q ? R , 其 中 c1 是 Q ? R (11 分) 中 的 最 小 数 , ? c1 ? 6 .

??cn ? 是公差是 4 的倍数,?c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .
又 ?110 ? c10 ? 115 , ? ? (12 分) 设等差数列的公差为 d ,则 d ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

, 解 得 m ? 27 , 所 以 c10 ? 114 ,

c10 ? c1 114 ? 6 ? ? 12, 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ?12 ? 12n ? 6 , 所 以
(14 分)

?cn ?

的 通 项 公 式 为 cn ? 12n ? 6

20 解: (Ⅰ)抛物线 C 的焦点为 E (?1, 0) ,它是题设椭圆的左焦点.离心率为 所以, b ? 2 .由 b ? a ? 1 求得 a ? 3 .
2 2 2

1 1 ? , b 2

因此,所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(*)

(Ⅱ) 椭圆的右焦点为 F (1, 0) , (1) 过点 F 与 y 轴平行的直线显然与曲线 C 没有交点. 设直线 l 的斜率为 k , ① 若 k ? 0 ,则直线 y ? 0 过点 F (1, 0) 且与曲线 C 只有一个交点 (0, 0) ,此时直线 l 的方程为 y ? 0 ; ② 若 k ? 0 ,因直线 l 过点 F (1, 0) ,故可设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,将其代入

y 2 ? ?4 x 消去 y ,得 k 2x2 ? 2(k 2 ?2) x ?k 2 ? 0 .因为直线 l 与曲线 C 只有一个交点 P ,所
2 2 以 判 别 式 4 (k ? 2 ) ? 4 ? k ? , 于 是 k ? ?1 , 从 而 直 线 l 的 方 程 为 y ? x ? 1 或 k2 2 0

y ? ? x ? 1 .因此,所求的直线 l 的方程为 y ? 0 或 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .

(2)由(1)可求出点 P 的坐标是 (0, 0) 或 (?1, 2) 或 (?1, ? 2) . ①若点 P 的坐标是 (0, 0) ,则 PF ? 1 .于是 S ?MPF ? (*)式联立:

1 1 = ? 1 ? y ,从而 y ? ?1 ,代入 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ?1 ? ? ?1 2 6 ? ? 或? 4 ,求得 x ? ? ,此时满足条件的点 M 有 4 个: 3 3 ?4 3 ?y ?1 ? y ? ?1 ? ?
?2 6 ? ? 2 6 ? ?2 6 ? ? 2 6 ? , 1? , ? ? , 1? , ? , ? 1? , ? ? , ? 1? . ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?
②若点 P 的坐标是 (? 1, 2),则 PF ? 2 2 ,点 M 到直线 l : y ? ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2
于是有



x ? y ?1 1 1 1 ? S?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y2 ? x2 y2 ? ?1 ?4 ? 4 ? 3 ?1 ? ? 3 与(*)式联立: ? 或? 解之,可求出满足条件的点 M 有 4 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
个: ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? , ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? ? , ? ?1, ? . ? ? ? 7 14 ? ? 7 14 2? ? ?

③ 若点 P 的坐标是 (?1, ? 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线 l : y ? x ? 1 的距离 是

x ? y ?1 2

,于是有

x ? y ?1 1 1 ? S?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ?1 , 从 而 2 2 2

x ? y ?1 ? ?

1 , 2

? x2 y2 ? x2 y2 ? ?1 ?4 ? 4 ? 3 ?1 ? ? 3 与(*)式联立:? 或? ,解之,可求出满足条件的点 M 有 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
4 个:

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? , ? ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? , ? ?1, ? ? . ? ? ? 7 14 ? ? 7 14 2? ? ?

综合①②③,以上 12 个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点 M 共有 12 个.图上椭圆上的 12 个点即为所求.

21.解(1)当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? b .
2

(1

分)

? f ?(0) ? 0, 2 ? 因为函数 f(x)在 x ? 0, x ? 处存在极值,所以 ? 解得 a ? 1, b ? 0 . 2 3 f ?( ) ? 0, ? 3 ?
分) (2) 由(1)得 f ( x) ? ?

(3

?? x3 ? x 2 , ( x ? 1), ? x ?1 ?c(e ? 1), ( x ? 1), ?
3 2

根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(?t , t ? t ), B(t , f (t )),(t ? 0) .
3 2 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,

由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
2 3 2 3 2

??? ??? ? ?

即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;
4 2

(5

分) 若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c(et ?1 ? 1) . 由于 AB 的中点在 y 轴上,且 ?AOB 是直角,所以 B
? 点 不 可 能 在 x 轴 上 , 即 t ? 1 . 由 OA ? OB ? 0 , 即 ?t 2 ?( t 3 ? t 2) ? c( t e

??? ??? ? ?

1

=0 ?1) , 即

c?

1 .. (t ? 1) et ?1 ? ? 1 ?
t ?1 因为函数 y ? (t ? 1) e ? 1 在 t ? 1 上的值域是 (0, ??) ,

?

?

所以实数 c 的取值范围是 (0, ??) .

(7

分) (3)由方程 f ( x) ? kx ,知 kx ? ? 分)

? ? x 3 ? x 2 , ( x ? 1) ? ,可知 0 一定是方程的根, x ?e ? e, ( x ? 1) ?

(8

?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e x ? e , ( x ? 1). ? ? x ?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 构造函数 g ( x) ? ? e x ? e , ( x ? 1), ? ? x
对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 g ( x) ? ? x ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分,
2

当x ?

1 1 1 时取得最大值 ,其值域是 (??, 0) ? (0, ] ; 2 4 4
对于 x ≥ 1 部分,函数 g ( x) ?

ex ? e e x (x ?1) ?e ? 0 ,知函数 g ( x) 在 ,由 g ?( x) ? x x2

?1, ??? 上单调递增.
所以,①当 k ? ②当 k ?

1 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根; 4 1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4
1 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根. 4
(14 分)

③当 0 ? k ?


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