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2013北京高考数学试题(理)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)
第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2 2.在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 2 B. 3 13 C. 21 610 D. 987

5.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= x?1 x?1 A. e B. e
? x ?1 ? x ?1 C. e D. e x2 y 2 ? 2 ?1 2 6.若双曲线 a b 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 A.y=± 2x B.y= ? 2x

2 x 2 D. 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 4 A. 3 B.2 y??
8 C. 3

1 y?? x 2 C.

16 2 D. 3

1

8.设关于 x,y 的不等式组 求得 m 的取值范围是 A.
2? ? C. ? ??, ? ? 3? ?

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? m ? 0, ?y ? m ? 0 ?

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2.

1? ? B. ? ??, ? 3? ? 5? ? D. ? ??, ? ? 3? ?

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. ? 9.在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsinθ=2 的距离等于 6 10.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= ;前 n 项和 Sn= . 11.如图, 为圆 O 的直径, 为圆 O 的切线, 与圆 O 相交于 D, PA=3, AB PA PB 若 PD:DB=9: 16,则 PD= ,AB= .

12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给 同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R) ? ,则 = . ?

14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上, 点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
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15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质 量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日 中的某一天到达该市,并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; BD (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值. BC1

18. (本小题共 13 分) ln x 设 L 为曲线 C: y ? 在点(1,0)处的切线. x (I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方

19. (本小题共 14 分)

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x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4 (I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

已知 A、B、C 是椭圆 W:

20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前 n 项的最大值记为 An, n 项之后 第 各项 an ?1 , an?2 ?的最小值记为 Bn,dn=An-Bn (I)若{an}为 2, 4, 2, 4, 1, 3, 1, 3…, 是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*,an? 4 ? an ), 写出 d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数 列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是 1 或 2,且有无穷多项为 1

4

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要使可行域存在, 必有 m<-2m+1, 要求可行域内包 1 1 含直线 y ? x ? 1 上的点,只要边界点(-m,1-2m)在直线 y ? x ? 1 上方,且(-m,m)在 2 2 ? ? m ? 1 ? 2m ? 1 2 1 ? 直线 y ? x ? 1 下方,解不等式组 ?1 ? 2m ? ? m ? 1 得 m< ? 2 3 2 ? 1 ? ?m ? ? 2 m ? 1 ?

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x2 已知,A,B,C是椭圆W: ? y 2 ? 1上的三个点,O是坐标的原点。 4 (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求次菱形的面积; (2)当点B不是W的右顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。 解:(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分,所以可设 1 t 1 A (t,),代入椭圆方程式得 ? ? 1, 即t ? ? 3 2 4 4 所以 AC =2 3 (2)假设四边形OABC为菱形 因为点B不是W的顶点,且AC ? OB,所以k ? 0 ? x2 ? 4 y 2 ? 4? 由? ? 消y并整理得 ? y ? kx ? m ? (1+4k 2)x2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 设(x1 ,y1),C(x2 ,y 2 ),则 A x1 ? x2 x ?x 4km y1 ? y2 m ?? , ?k? 1 2 ?m? 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4km m 所以AC的中点为M( ? , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 因为M为AC和OB的交点,且m ? 0,k ? 0,所以直线OB的斜率为 ? 因为k ? ? ( 1 ) ?1, 所以AC与OB不垂直 ? 4k 所以OABC不是菱形,与假设矛盾 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形。 1 4k

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(20)(共13分) 解:(1)d1 ? 2, d 2 ? 3, d3 ? 6 (2)以为a1 ? 0, 公比q ? 1,所以a1, a2 ...., an是递增数列 因此,对i =1,2, ....n-1, A i ? ai , Bi ? ai ?1 于是对i ? 1,2, ....n-1, d i ? A i ? Bi ? ai ? ai ?1 ? a1 (1 ? q)q i ?1 因此d i ? 0且 d i +1 =q(i ? 1,2, ....n-2), di

即d1 , d 2 ..., d n ?1是等比数列 (3)设d 为d1 , d 2 ..., d n ?1的公差 对1 ? i ? n-2,因为Bi ? Bi +1 ,d ? 0,所以 Ai +1 ? Bi +1 ? d i +1 ? Bi ? di ? d ? Bi ? di ? Ai 又因为Ai +1 = max{Ai ,ai ?1},所以ai ?1 ? Ai +1 ? Ai ? ai 从而a1, a2 ...., an ?1是递增数列.因此Ai ? ai (i ? 1,2, ....n-1) 又因为B1 ? A1 ? d1 ? a1 ? d1 ? a1 , 所以B1 ? a1 ? a2 ...an ?1 因此an ? B1 所以B1 =B2 ? ...Bn ?1 ? an 所以ai ? Ai ? Bi ? di ? an ? di 因此对i ? 1,2, ....n-2都有ai ?1 ? ai ? d i +1 ? di ? d , 即a1 , a2 ...an ?1是等差数列

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