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高中 立体几何知识总结

模块九 立体几何 ? 考纲解读
? 高考大纲
要求层次 考试内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 空间集几何体的结构及其三视图和 直观图 空间几何体的表面积和体积 三视图 斜二测法画简单空间图形的直观图 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 空间线、面的位置关系 空间点、线、面的位置关系 公理 1、公理 2、公理 3、公理 4、定理 线、面平行的判定 直线、平面平行的判定与性质 线、面平行的性质 线、面垂直的判定 直线、平面垂直的判定和性质 线、面垂直的性质 空间角和距离 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量的概念 空间向量基本定理 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量在立体几何中的应用 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与垂 直 直线的方向向量 平面的法向量 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角 A B C

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? 分析解读
(1)柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征以及直观图、三视图等内容是立体几何的 基础,也是研究问题的载体,其中三视图等内容是立体几何的基础,也是研究问题的载体, 其中三视图为新课标增加的内容, 这些都是高考重点考查的内容, 考生需根据三视图判断空 间图形,画出三视图,并掌握三视图之间的规律 (2)注意提高认识图、理解图、应用图的能力。做题时应多画、多看、多想 (3)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理 (4)理解空间直线、平面位置关系的定义,并掌握公理体系,掌握平面基本性质 (5)会用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决简单的应用问题与证明问题 (6)学会用“转化思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的相互转化 (7)以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质 和判定定理 (8)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 (9)掌握各种空间角的定义,弄清异面直线所成的角与两直线所成角、二面角与二面角的 平面角、 二面角与两平面所成的角、 直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角的联系和区 别,弄清它们各自的取值范围 (10)掌握各种空间距离的定义,掌握利用“转化与化归”思想求各种距离的方法 (11)能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线 共面及线线、线面的平行于垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问 题,从而培养会用向量法思考问题和解决问题的能力 (12) 会利用空间向量的坐标运算、 两点间距离公式、 夹角公式以及相关结论解决有关平行、 垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力

? 知识导航

平面

平面的概念、性质、表示、画法 平行

定义 判定 距离

空间两条直线

异面

相交 直 线 、 平 面 与 简 单 几 何 体 线在平面内

判定定理、性质定理 线面平行 空间直线 ?与平面 线面距离

斜交 线面相交 垂直 斜棱柱 棱柱 直棱柱

三垂线定理 判定定理、点面距离 平行六面体 长方体 正棱柱 正方体

正棱锥 简单几何体 棱锥 斜棱锥 多面体和正多面体 球体 欧拉定理

? 考点剖析
? 考点一
1、棱柱 (1)棱柱的分类:①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱(侧棱不垂直于底面)和直 棱柱(侧棱垂直于底面) ,其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分 类:底面分别为三角形,四边形,五边形?,分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,?;

空间几何体的结构

(2)棱柱的性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个 侧面都是矩形, 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 ②与底面平行的截面是与底面对应边互 相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 2、平行六面体 (1)定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体; (2) 几类特殊的平行六面体: {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? ? ? ? ? {正方体}; (3) 性质: ①平行六面体的任何一个面都可以作为底面; ②平行六面体的对角线交于一点, 并且在交点处互相平分; ③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和; ④长方体 的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 3、棱锥 (1)棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面 面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比, 截得小棱锥的体积与原来棱锥 的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。 (2)正棱锥: (1)定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的 中心,这样的棱锥叫正棱锥。特别地,侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。 (2)性质:①正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三 角形,各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等。②正棱锥的 高 h 、斜高 h? 、斜高在底面的射影(底面的内切圆的半径 r ) 、 侧棱、侧棱在底面的射影(底面的外接圆的半径 R ) 、底面的半 边长可组成四个直角三角形。如图,正棱锥的计算集中在四个直 角三角形中:Rt ?SOB, Rt ?SOE ,Rt ?EOB, Rt ?SBE , 其中 a, l , ? ,? 分别表示底面边长、 侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。 4、球 (1)一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,球面所围成的 几何体叫做球 (2)球面被不经过圆心的平面截得的圆叫做球的小圆,被经过球心的平面截得的圆叫做球

的大圆。 5、棱柱、圆台的特征 用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥,截面与底面间的部分叫棱台、圆台。

? 考点二

三视图与直观图

1、直观图的画法(斜二侧画法规则) 在画直观图时, 要注意: 使 ?x?o?y? ? 1350 ,x?o?y ? 所确定的平面表示水平平面。 (1) (2) 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度和平行性不变,平行于 y 轴的线 段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半。 2、三视图的画法 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,被挡住的线要画成虚线 (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几 何体画出的轮廓线。画三视图的基本要求:正俯一样长、俯侧一样宽、正侧一样高。 (3)有三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则。

? 考点三

表面积

全面积(也称表面积)是各个表面面积之和,故棱柱的全面积=侧面积+2×底面积; 棱锥的全面积=侧面积+底面积。 (1)棱柱:侧面积 S =直截面(与各侧棱都垂直相交的截面)周长×侧棱长,特别地,直 棱柱的侧面积 S =底面周长×侧棱长。 (2)正棱锥:正棱锥的侧面积 S =
2 (3)球的表面积: S ? 4?R

1 ×底面周长×斜高。 2

? 考点四

体积

(1)棱柱:体积=底面积×高,或体积 V =直截面面积×侧棱长,特别地,直棱柱的体积 =底面积×侧棱长;三棱柱的体积 V ? 侧面平行的侧棱到此侧面的距离) 。

1 Sd (其中 S 为三棱柱一个侧面的面积, d 为与此 2

(2)棱锥:体积=
3 (3)球:V= ?R

1 ×底面积×高。 3

4 3

特别提醒:求多面体体积的常用技巧是割补法

? 考点五

点、线、面的位置关系

1、三个公理和三条推论: (1) 公理 1: 一条直线的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 这是判断直线在平面内的常用方法。 (2)公理 2、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都 在同一条直线上。这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证 其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一。 (3)公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论 1:经过直线和直线外一 点有且只有一个平面。推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3:经过两条平 行直线有且只有一个平面。公理 3 和三个推论是确定平面的依据。 2、空间直线的位置关系 (1)相交直线――有且只有一个公共点。 (2)平行直线――在同一平面内,没有公共点。 (3)异面直线――不在同一平面内,也没有公共点。 3、直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内; (2)直线与平面相交。其中,如果一条直线和平面内任何一条直线都 垂直,那么这条直线和这个平面垂直。注意:任一条直线并不等同于无数条直线; (3)直线 与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。 4、平面与平面的位置关系 (1)平行――没有公共点; (2)相交――有一条公共直线。

? 考点六

直线、平面平行的判定和性质

1、两直线平行的判定:

(1)公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行; (2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平 面相交的交线和这条直线平行; (3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行; 2、直线与平面平行的判定和性质: (1)判定:①判定定理:如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个 平面平行;②面面平行的性质:若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平 面平行。 (2)性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交 线和这条直线平行。 在遇到线面平行时, 常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面, 以便运用线面平行的性质。 3、两个平面平行的判定和性质: (1)判定:一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。 (2)性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

? 考点七

直线、平面垂直的判定和性质

1、两直线垂直的判定 (1)转化为证线面垂直; (2)三垂线定理及逆定理。 2、直线和平面垂直的判定和性质 (1)判定:①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平 面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。 (2) 性质: ①如果一条直线和一个平面垂直, 那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 3、两个平面垂直的判定和性质 (1)判定:①判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相 垂直。②定义法:即证两个相交平面所成的二面角为直二面角; (2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平

面。

? 考点八

空间角

1、异面直线所成角 ? 的求法 (1)范围: ? ? (0,

?
2

];

(2)求法:计算异面直线所成角的关键是平移(中点平移,顶点平移以及补形法:把空间 图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两条异 面直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。 2、直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成 的角。 (2)范围: [0? ,90? ] ; (3)求法:作出直线在平面上的射影; (4)斜线与平面所成的角的特征:斜线与平面中所 有直线所成角中最小的角。 3、二面角 (1)平面角的三要素①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边与棱都 垂直。 (2)作平面角的主要方法:①定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个 半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;②三垂线法:过 其中一个面内一点作另一个面的垂线, 用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; ③垂面 法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角; (3)二面角的范围: [0, ? ] ; (4) 二面角的求法: ①转化为求平面角; ②面积射影法: 利用面积射影公式 S射=S原 ? cos? , 其中 ? 为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出 现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法) 。

? 考点九

空间距离

空间距离的求法: (特别强调: 立体几何中有关角和距离的计算, 要遵循“一作,二证, 三计算”的原则) (1)异面直线的距离:①直接找公垂线段而求之;②转化为求直线到平面的距离,即 过其中一条直线作平面和另一条直线平行。 ③转化为求平面到平面的距离, 即过两直线分别 作相互平行的两个平面。 (2)点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解。 (3)点到平面的距离:①垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确 定已知面的垂面是关键;②体积法:转化为求三棱锥的高;③等价转移法。 (4)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上任意一点到平面的距离 都相等,转化为求点到平面的距离。 (5)两平行平面之间的距离:转化为求点到平面的距离。 (6)球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度) :求球面上两点 A、B 间的距离的步骤:①计算线段 AB 的长;②计算球心角∠AOB 的弧度数;③用弧长公式 计算劣弧 AB 的长。

? 考点十
1、共线向量

空间向量及其应用

(1)共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注:①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.(×) [当 b ? 0 时,不成立] ②向量 a, b, c 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 a ∥ b ,则存在小任一实数 ? ,使 a ? ?b .(×)[与 b ? 0 不成立] ④若 a 为非零向量,则 0a ? 0 .(√)[这里用到 ?b(b ? 0) 之积仍为向量] (2)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b ? 0) , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? (具 有唯一性) ,使 a ? ?b . 2、共面向量

(1)若向量 a 使之平行于平面 ? 或 a 在 ? 内,则 a 与 ? 的关系是平行,记作 a ∥ ? . (2)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在 实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . 空间任一点 O 和不共线三点 A、 、 , OP ? xOA ? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) 是 PABC ........... B . 则 . C .. 四点共面的充要条件. 3、空间向量基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯一的有序实数组 x、 .... ...

y、z,使 p ? xa ? yb ? zc .
推论: O、 B、 是不共面的四点, 设 A、 C 则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、

y、z 使 OP ? xOA? yOB ? zOC (这里隐含 x+y+z≠1).
对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,则四点 P、 A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 4、空间向量的坐标 空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) y 轴是纵轴(对应为纵坐标) z 轴是竖 , , 轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) , a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 ) , a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R) , 则 ?
a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 , a ∥ b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R) ? a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0 。
a1 a 2 a 3 ? ? 。 b1 b 2 b 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

a ? a ? a ? a1 2 ?a 2 2 ?a 3 2 (向量模与向量之间的转化:

a 2? a?a ? a ? a?a )
5、空间两个向量的夹角公式

? ? ? ? a ?b ? ? cos ? a , b ?? ? | a |?|b |

a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32

(a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ) 。 6、空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 .

7、法向量 若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. 8、向量的常用方法 ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一 条射线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为

| AB ? n | |n|

.

②.异面直线间的距离 d ?

CD ? n n

( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分

?

别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离).

??? ?? ? AB ? m ?? ? ③.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m |
④.利用法向量求二面角的平面角定理: n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法 设 向量,则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补 角, n 1 , n 2 反方,则为其夹角). ⑤.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m?n m? n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
⑥.证直线和平面平行定理:已知直线 a ? 平面 ? , A, B ? a, C, D ? ? ,且 C、D、E 三点不共线,则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? , ? 使 AB ? ?CD ? ?CE .(常设
AB ? ?CD ? ?CE 求解 ? , ? 若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).

? 真题演练
1. 【2010 北京,3,5 分】 一个长方体去掉一个小长方体, 所得集合体的正 (主) 视图与侧 (左) 视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为

正(主)视图

侧(左)视图

(A)

(B)

(C)

(D)

? 举一反三
1.1【2012 湖南,3,5 分】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不 可能是

1.2【2012 福建,4,5 分】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不 可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱

2. 【2009 北京,4,5 分】 若正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 1 成 60°角,则 AC1 到底面 ABCD 的距离为( 1 )

A.

3 3

B.1

C. 2

D. 3

? 举一反三
2.1 【 2012 陕 西 ,5,5 分 】 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 ,

CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(



A.

5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5

2.2【2012 全国,4,5 分】已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AB=2,CC1= 2 2 点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B

E 为 CC1 的中

3

C

2

D 1

3.【2012 北京,7,5 分】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(



A. 28+6 5

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5

D. 60+12 5

? 举一反三
3.1 【 2012 辽 宁 ,13,5 分 】 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ______________。

3.2【2012 湖北,4,5 分】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

8π 3

B. 3π

C.

10π 3

D. 6π

4.【2011 北京,7,5 分】某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是

A.8

B. 6 2

C.10

D. 8 2

? 举一反三
4.1【2012 安徽,12,5 分】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ .

4.2【2012 广东,6,5 分】某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

5.【2010 北京,8,5 分】如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1 B1 上, 动点 P,Q 分别在棱 AD , CD 上,若 EF ? 1, A1 E ? x, DQ ? y, DP ? z ( x, y, z 大于零),则四面 体 PEFQ 的体积

E

F

A1
D
P A
A.与 x, y, z 都有关
Q

B1

C

B
B.与 x 有关,与 y, z 无关 D.与 z 有关,与 x, y 无关

C.与 y 有关,与 x, z 无关

? 举一反三
5.1【2012 课标全国,7,5 分】如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体 的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

? 5.2 【2012 课标全国,11,5 分】 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ABC

是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为(



( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

6.【2008 北京,8,5 分】 如图, 动点 P 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 的对角线 BD1 上. 过点 P 1 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M ,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函 数 y ? f ( x) 的图象大致是( D1 A1 D A M B1 P N B C1 )

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

? 举一反三
6.1【2012 浙江,10,5 分】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , ,

6.2【2012 四川,6,5 分】下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

7.【2012 北京,16,14 分】如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC, AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

? 举一反三
7.1【2012 广东,18,13 分】如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.

(1) 证明:BD⊥平面 PAC; (2) 若 PH=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值;

7.2【2012 湖北,19,12 分】如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示) . (Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试

在棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

A

A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2

8.【2011 北京,16,14 分】 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60 .
?

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC; (Ⅱ)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

? 举一反三
8.1【2012 课标全国,19,12 分】如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA 的中点, DC1 ? BD 1

(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

8.2【2012 浙江,20,15 分】 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, 且∠BAD =120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值.

9.【2010 北京,16,14 分】如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,
CE ? AC , EF ∥ AC , AB ? 2, CE ? EF ? 1.

(I) (II)

求证: AF ∥平面 BDE ; 求证: CF ? 平面 BDE ;

(III)

求二面角 A ? BE ? D 的大小.

? 举一反三
9.1【2012 辽宁,18,12 分】 如图, 直三棱柱 ABC -A'B'C' ,?BAC =90? , AB =AC =? AA' , 点 M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 的中点

(1)证明: MN //平面A'ACC' ; (2)若二面角 A'-MN -C 为直二面角,求 ? 的值

E 9.2【2012 江苏,16,14 分】如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB1 ? AC1 , D , 分别是棱 1 1

F ,且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点. BC , 1 上的点(点 D 不同于点 C ) CC

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

10.【2009 北京,16,14 分】如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面

ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? ,点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

? 举一反三
10.1【2012 四川,19,12 分】如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 ,
? ?

AB ? BC ? CA ,平面 PAB ? 平面 ABC 。
(Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。

10.2【2012 福建,18,13 分】如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的行;若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由. (Ⅲ)若二面角 A-B1EA1 的大小为 30°,求 AB 的长.

11.【2008 北京,16,14 分】如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? ,

AP ? BP ? AB , PC ? AC .
(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. A

P

B C

? 举一反三
11.1【2012 重庆,19,12 分】如图,在直三棱柱 ABC? A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点

(Ⅰ)求点 C 到平面 A1 ABB 的距离; 1 (Ⅱ)若 AB1 ? AC 求二面角 的平面角的余弦值. 1

11.2【2012 安徽,18,12 分】平面图形 ABB1 AC1C 如图 4 所示,其 1 中 BB1C1C 是 矩 形 , B C? 2 , B1 B 4 AB ? AC ? 2 , ? ,

A1B1 ? AC1 ? 5 。现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使 1
?ABC 与 ?A1B1C1 所在平面都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接

AA1 , BA1 , CA1 ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图形解答下
列问题。

(Ⅰ)证明: AA1 ? BC ; (Ⅱ)求 AA 的长; 1 (Ⅲ)求二面角 A ? BC ? A1 的余弦值。

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数学家们的爱情故事

笛卡尔的故事 笛卡尔(RenéDescartes),17 世纪著名的法国哲学家,曾经提出“我思故我在”的哲 学观点,有着“现代哲学之父”的称号。笛卡尔对数学的贡献也是功不可没,中学时大家学 到的平面直角坐标系就被称为“笛卡尔坐标系”。 传闻,笛卡尔曾流落到瑞典,邂逅美丽的瑞典公主克里斯蒂娜(Christina)。笛卡尔 发现克里斯蒂娜公主聪明伶俐, 便做起了公主的数学老师, 于是两人完全沉浸在了数学的世 界中。国王知道了这件事后,认为笛卡尔配不上自己的女儿,不但强行拆散他们,还没收了 之后笛卡尔写给公主的所有信件。后来,笛卡尔染上黑死病,在临死前给公主寄去了最后一 封信,信中只有一行字:r=a(1-sinθ )。 自然,国王和大臣们都看不懂这是什么意思,只好交还给公主。公主在纸上建立了极坐 标系,用笔在上面描下方程的点,终于解开了这行字的秘密——这就是美丽的心形线。看来 数学家也有自己的浪漫方式啊。

a=1 时的心形线

事实上,笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。不过,笛卡尔是 1649 年 10 月 4 日应克里斯蒂 娜邀请才来到的瑞典,并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典女王。并且,笛卡尔与克里斯蒂 娜谈论的主要是哲学问题。有资料记载,由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧,笛卡尔只能在 早晨五点与她探讨哲学。 天气寒冷加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎, 这才是笛卡尔真正 的死因。 心形线的故事究竟几分是真几分是假,还是留给大家自己判断吧。

伽罗瓦的故事

伽罗瓦(?varisteGalois),19 世纪最伟大的法国数学家之一,唯一被我称为“天才 数学家”的人。他 16 岁时就参加了巴黎综合理工学院的入学考试,结果面试时因为解题步 骤跳跃太大,搞得考官们不知所云,最后没能通过考试。 在数学历史上,伽罗瓦毫无疑问是最富传奇色彩与浪漫色彩的数学家,没有“之一”。 18 岁时,伽罗瓦漂亮地解决了当时数学界的顶级难题:为什么五次及五次以上的多项式方 程没有一般的解。他把这一研究成果提交给了法国科学院,由大数学家柯西

(Augustin-LouisCauchy)负责审稿;然而,柯西建议他回去仔细润色一下(此前一直认为 柯西把论文弄丢了或者私藏起来,最近的法国科学院档案研究才让柯西平反昭雪)。后来伽 罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶(JosephFourier),但没过几天傅立叶就去世了, 于是论文被搞丢了。1831 年伽罗瓦第三次投稿,当时的审稿人是泊松,他认为伽罗瓦的论 文很难理解,于是拒绝发表。

因为一些极端的政治行动,伽罗瓦被捕入狱。即使在监狱里,他也不断地发展自己的数 学理论。他在狱中结识了一名医生的女儿,并很快坠入爱河;但好景不长,两人的感情很快 破裂。出狱后的第二个月,伽罗瓦决定替自己心爱的女孩与女孩的一个政敌进行决斗,不幸 中枪, 第二天便在医院里死亡。 伽罗瓦死前的最后一句话是对他的哥哥艾尔弗雷德 (Alfred) 说的:“不要哭,我需要足够的勇气在 20 岁死去。” 仿佛是预感到了自己的死亡, 在决斗的前一夜, 伽罗瓦通宵达旦奋笔疾书写下了自己所 有的数学思想,并把它们和三篇论文手稿一同交给了他的好友谢瓦利埃(Chevalier)。在 信的末尾, 伽罗瓦留下遗嘱, 希望谢瓦利埃能把论文手稿交给当时德国的两位大数学家雅可 比(CarlGustavJacobJacobi)和高斯(CarlFriedrichGauss),让他们就这些数学定理公 开发表意见,以便让更多的人意识到这个数学理论的重要性。 谢瓦利埃遵照伽罗瓦的遗愿,将论文手稿寄给了雅可比和高斯,不过都没有收到回音。 直到 1843 年,数学家刘维尔(JosephLiouville)才肯定了伽罗瓦的研究成果,并把它们发 表在了他自己主办的《纯数学与应用数学杂志》 (JournaldeMathématiquesPuresetAppliquées)上。人们把伽罗瓦的整套数学思想总结为 了“伽罗瓦理论”。 伽罗瓦用群论的方法对代数方程的解的结构做出了独到的分析, 多项式 方程的根、 尺规作图的不可能性等一系列代数方程求解问题都可以用伽罗瓦理论得到一个简 洁而完美的解答。伽罗瓦理论对今后代数学的发展起到了决定性的作用。

塞凯赖什夫妇的故事

1933 年,匈牙利数学家乔治·塞凯赖什(GeorgeSzekeres)还只有 22 岁。那时,他常 常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。 这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才 ——保罗·埃尔德什(PaulErd?s)大神。不过当时,埃尔德什只有 20 岁。 在一次数学聚会上,一位叫做爱丝特·克莱恩(EstherKlein)的美女同学提出了这么 一个结论:在平面上随便画五个点(其中任意三点不共线),那么一定有四个点,它们构成 一个凸四边形。塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿,没想到该怎么证明。于是,美女同 学得意地宣布了她的证明:这五个点的凸包(覆盖整个点集的最小凸多边形)只可能是五边 形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了,而对于第三种情况,把三角形内的 两个点连成一条直线, 则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧, 这四个 点便构成了一个凸四边形。

平面上五个点的位置有三种情况

众人大呼精彩。之后,埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘,于是尝试对其进 行推广。最终,他们于 1935 年发表论文,成功地证明了一个更强的结论:对于任意一个正 整数 n≥3,总存在一个正整数 m,使得只要平面上的点有 m 个(并且任意三点不共线),那 么一定能从中找到一个凸 n 边形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题” (HappyEndingproblem) 因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间 , 迸出了火花,两人越走越近,最终在 1937 年 6 月 13 日结了婚。 对于一个给定的 n,不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n)的准确值是一个不小 的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形,因此 f(3)=3。爱丝特·克莱恩

的结论则可以简单地表示为 f(4)=5。 利用一些稍显复杂的方法, 我们可以证明 f(5)等于 9。 2006 年,利用计算机的帮助,人们终于证明了 f(6)=17。对于更大的 n,f(n)的值分别是多 少?f(n)有没有一个准确的表达式呢?这是数学中悬而未解的难题之一。 几十年过去了, 幸 福结局问题依旧活跃在数学界中。 不管怎样,最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里,他们先后到过上海和阿德莱 德,最终在悉尼定居,期间从未分开过。2005 年 8 月 28 日,乔治和爱丝特相继离开人世, 相差不到一个小时。(来源:果壳网)


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