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方正县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

方正县第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 B.2 C.1﹣2i D.1+2i ) D.3 C. C. ) D.2 )

姓名__________

分数__________

2. 已知复数 z 满足 z?i=2﹣i,i 为虚数单位,则 z=( A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i
2

3. 抛物线 y=﹣x 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是( A. B.

4. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为

1 时,则输入的值为( 2



A. 2

B. ? 1

C. ? 1 或 2

D. ? 1 或 10 则 2x+4y 的最小值是( )

5. 若实数 x,y 满足不等式组 A.6 B.﹣6 C.4 D.2

6. 若函数 f(x)的定义域为 R,则“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 若函数 f(x)=﹣a(x﹣x3)的递减区间为( A.a>0 B.﹣1<a<0 C.a>1 ) ,



),则 a 的取值范围是( D.0<a<1



8. 在△ABC 中,若 2cosCsinA=sinB,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形

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C.等腰直角三角形

D.等腰三角形 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任

9. 若点 O 和点 F(﹣2,0)分别是双曲线 意一点,则 A. 的取值范围为( ) B.

C.

D.

10.已知函数 f(x)= x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不 等式组 A. B.
2 2 所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为(



C.π

D.2π

11.棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.

B.18

C.

D. )

12.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则其侧视图的面积是(

A.

B.

C.1

D.

二、填空题
13.用“<”或“>”号填空:30.8 30.7.

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14.函数 y ? f ? x ? 图象上不同两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A,kB ,规定

? ? A, B ? ?

k A ? kB ( AB 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,给 AB

出以下命题: ①函数 y ? x3 ? x 2 ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ? A, B ? ? 3 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A,B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ; ④设曲线 y ? e (e 是自然对数的底数)上不同两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且x1 ? x2 ? 1,若 t ?? ? A, B ? ? 1
x

恒成立,则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? .

其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上) 15.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 16.计算: 17.已知函数 f(x)= 与 i 的夹角,则 +
1 ×5﹣ =





+ ,点 O 为坐标原点,点 An(n,f(n))(n∈N ),向量 =(0,1),θn 是向量

+ …+

=



x2 y 2 18.已知过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F2 的直线交双曲线于 A, B 两点,连结 AF1 , BF1 ,若 a b ) | AB |?| BF1 | ,且 ?ABF1 ? 90? ,则双曲线的离心率为(
A. 5 ? 2 2 B. 5 ? 2 2 C. 6 ? 3 2 D. 6 ? 3 2

【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质,意要考查逻辑思维能力、运算求解能力,以及考查数形结合思 想、方程思想、转化思想.

三、解答题

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19.设函数 f(θ)= 经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. (Ⅰ)若点 P 的坐标为

,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边

,求 f(θ)的值; 上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ)的

(Ⅱ)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 最小值和最大值.

20.如图,平面 ABB1A1 为圆柱 OO1 的轴截面,点 C 为底面圆周上异于 A,B 的任意一点. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 A1AC; (Ⅱ)若 D 为 AC 的中点,求证:A1D∥平面 O1BC.

21.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 2 ,求 b 的取值范围.

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【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识,意在考查运算求解能力.

22.已知在△ ABC 中,A(2,4),B(﹣1,﹣2),C(4,3),BC 边上的高为 AD. (1)求证:AB⊥AC; (2)求向量 .

23.(本小题满分 12 分)

?? ? 设 ? ? ? 0 , ? ,满足 6 sin ? ? 2 cos ? ? 3 . 3? ? ?? ? (1)求 cos ? ? ? ? 的值; 6? ?
? ? ? (2)求 cos ? 2? ? ? 的值. 12 ? ?

24.已知集合 A={x|x<﹣1,或 x>2},B={x|2p﹣1≤x≤p+3}.

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(1)若 p= ,求 A∩B; (2)若 A∩B=B,求实数 p 的取值范围.

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方正县第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:由 z?i=2﹣i 得, 故选 A 3. 【答案】A 【解析】解:由
2 ,得 3x ﹣4x+8=0.



,解得 x=4.

∴正方体的棱长为 4,



2 △=(﹣4) ﹣4×3×8=﹣80<0.

所以直线 4x+3y﹣8=0 与抛物线 y=﹣x 无交点. 设与直线 4x+3y﹣8=0 平行的直线为 4x+3y+m=0 联立 ,得 3x ﹣4x﹣m=0.
2

2

2 由△=(﹣4) ﹣4×3(﹣m)=16+12m=0,

得 m=﹣ .
2 所以与直线 4x+3y﹣8=0 平行且与抛物线 y=﹣x 相切的直线方程为 4x+3y﹣ =0.

所以抛物线 y=﹣x 上的一点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是 故选:A.

2

= .

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了两条平行线间的距离公式,是 中档题.

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4. 【答案】 D 【解析】

x?0 1 1 x ,当 x ? 0 时, 2 ? ,解得 x ? ?1 ,当 x ? 0 时, lg x ? , 2 2 ?lg x x ? 0 解得 x ? 10 ,所以输入的是 ? 1 或 10 ,故选 D.
试题分析:程序是分段函数 y ? ? 考点:1.分段函数;2.程序框图.11111] 5. 【答案】B 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设 z=2x+4y 得 y=﹣ x+ , x+ 经过点 C 时,

?2 x

平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ 直线 y=﹣ x+ 的截距最小,此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 C(3,﹣3), 此时 z=2x+4y=2×3+4×(﹣3)=6﹣12=﹣6. 故选:B

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义是解决本题的关键. 6. 【答案】A 【解析】解:由奇函数的定义可知:若 f(x)为奇函数, 则任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x),取 x=0,可得 f(0)=0;
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而仅由 f(0)=0 不能推得 f(x)为奇函数,比如 f(x)=x , 显然满足 f(0)=0,但 f(x)为偶函数. 由充要条件的定义可得:“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件. 故选:A. 7. 【答案】A
3 【解析】解:∵函数 f(x)=﹣a(x﹣x )的递减区间为(

2





∴f′(x)≤0,x∈(



)恒成立 , )恒成立

2 即:﹣a(1﹣3x )≤0,,x∈( 2 ∵1﹣3x ≥0 成立

∴a>0 故选 A 【点评】本题主要考查函数单调性的应用,一般来讲已知单调性,则往往转化为恒成立问题去解决.

8. 【答案】D 【解析】解:∵A+B+C=180°, ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA, ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0,即 sin(C﹣A)=0, ∴A=C 即为等腰三角形. 故选:D. 【点评】本题考查三角形形状的判断,考查和角的三角函数,比较基础. 9. 【答案】B 【解析】解:因为 F(﹣2,0)是已知双曲线的左焦点,
2 2 所以 a +1=4,即 a =3,所以双曲线方程为



设点 P(x0,y0), 则有 因为 , ,解得 , ,

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所以

=x0(x0+2)+ ,

=



此二次函数对应的抛物线的对称轴为 因为 所以当 故 故选 B. , 时, 的取值范围是 取得最小值 ,

=



【点评】 本题考查待定系数法求双曲线方程, 考查平面向量的数量积的坐标运算、 二次函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力. 10.【答案】 B 【解析】解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x3﹣x2+ax,

2 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a,

因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2, 所以不等式组 则不等式组 如图阴影部分表示, 所以圆内的阴影部分扇形即为所求. ∵kOB=﹣ ,kOA= , 为
2 2 确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

∴tan∠BOA=

=1, , ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ×4×π = ,

∴∠BOA=

∴扇形的圆心角为

2 2 ∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为

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故选:B

【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值,然后借助不等式 区域求解面积是解决本题的关键. 11.【答案】D 【解析】解:由三视图可知正方体边长为 2,截去部分为三棱锥,作出几何体的直观图如图所示:

2 故该几何体的表面积为:3×2 +3×(

)+

=



故选:D. 12.【答案】B 【解析】解:由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, 又∵正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, ∴半圆锥的底面半径为 1,高为 , 的直角三角形, 即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为 1 和 故侧视图的面积是 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. ,

二、填空题
13.【答案】 >

【解析】解:∵y=3 是增函数, 又 0.8>0.7,
0.8 0.7 ∴3 >3 .

x

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故答案为:> 【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用,是基础题. 14.【答案】②③ 【解析】 试题分析:①错: A(1,1), B(2,5),| AB| ? 17,| kA ? kB | ?7, ?? ( A, B) ? ②对:如 y ? 1 ;③对; ? ( A, B) ? ④错; ? ( A, B ) ?

7 ? 3; 17
2

| 2 xA ? 2 xB | ( xA ? xB ) ? ( x ? x )
2 2 A 2 2 B

?

2 1 ? ( xA ? xB )

?2;

|e ?e |
x1 x2

( x1 ? x2 ) 2 ? (e x1 ? e x2 ) 2

?

|e ?e |
x1 x2

1 ? (e x1 ? e x2 ) 2



1 ? ( e x1 ? e x2 ) 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? 1, 因为 t ? 恒成立,故 t ? 1 .故答案为②③.111] x1 x2 x1 x2 2 ? ( A, B ) |e ?e | (e ? e ) ? ( A, B)
考点:1、利用导数求曲线的切线斜率;2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距 离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题, 综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不 能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 15.【答案】 (﹣4, ) . =2.

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4

, ). ).

因此,点 P 的坐标为(﹣4, 故答案为:(﹣4,

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题. 16.【答案】 9 .

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【解析】解:

1 ×5﹣ =

× =

× =(﹣5)×(﹣9)× =9,

∴ 故答案为:9. 17.【答案】 .

1 ×5﹣ =9,

【解析】解:点 An(n, = ∴ + . , +…+ =

+ )(n∈N ),向量 =(0,1),θn 是向量

与 i 的夹角,

,…, =

=

, +…+ =1﹣ = ,

故答案为:

【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.【答案】B 【 解 析 】

三、解答题
19.【答案】 【解析】解(Ⅰ)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得:

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于是 f(θ)=

=

=2

(Ⅱ)作出平面区域 Ω(即△ABC)如图所示, 其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). 因为 P∈Ω,所以 0≤θ≤ ∴f(θ)= 且 故当 当 ,即 , 时,f(θ)取得最大值 2; , = ,

,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值 1.

【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思 想、数形结合思想、化归与转化思想. 20.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 为圆 O 上的任意一点 … ∴BC⊥AC 又圆柱 OO1 中,AA1⊥底面圆 O, ∴AA1⊥BC,即 BC⊥AA1 而 AA1∩AC=A ∴BC⊥平面 A1AC … (Ⅱ)取 BC 中点 E,连结 DE、O1E, …

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∵D 为 AC 的中点 ∴△ABC 中,DE∥AB,且 DE= AB 又圆柱 OO1 中,A1O1∥AB,且 ∴DE∥A1O1,DE=A1O1 … ∴A1DEO1 为平行四边形 … ∴A1D∥EO1 而 A1D?平面 O1BC,EO1?平面 O1BC ∴A1D∥平面 O1BC … …

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系;考查学生的空间想象能力及推理论 证能力. 21.【答案】(1) B ? 【

?
3

;(2) [1, 2) . 解 析 】

22.【答案】

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【解析】解 (1)∵

=(﹣1,﹣2)﹣(2,4)=(﹣3,﹣6),

=(4,3)﹣(2,4)=(2,﹣1), =﹣3×2+(﹣6)×(﹣1)=0, ∴AB⊥AC. (2) 设 则 =λ = =(4,3)﹣(﹣1,﹣2)=(5,5). =(5λ,5λ) + =(﹣3,﹣6)+(5λ,5λ)=(5λ﹣3,5λ﹣6),

由 AD⊥BC 得 5(5λ﹣3)+5(5λ﹣6)=0, 解得 λ= ∴ ,

=( ,﹣ ).

【点评】本题考查向量的垂直与共线的应用,向量的数量积的应用,考查计算能力. 23.【答案】(1) 【解析】
30 ? 2 10 ;(2) . 8 4

?? ? ?? ? ? ?? 6 ? ? 试题分析:(1)由 6 sin ? ? 2 cos ? ? 3 ? sin ? ? ? ? ? ,又 ? ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? , ? 3? 6 ?6 2? 6? 4 ? ?

?? ?? 1 ?? 10 ?? 15 ? ? ? ? ;(2)由(1)可得 cos ? 2? ? ? ? 2 cos2 ? ? ? ? ? 1 ? ? sin ? 2? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 3? 6? 4 6? 4 3? 4 ? ? ? ?

? cos ? ? 2? ?
?

30 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? . ? ? cos ?? 2? ? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? cos ? sin ? 2? ? ? sin ? 8 12 ? 3? 4? 3? 4 3? 4 ? ? ??

? ?

?? 6 ? 试题解析:(1)∵ 6 sin ? ? 2 cos ? ? 3 ,∴ sin ? ? ? ? ? ,………………………………3 分 6 4 ? ?
?? ? ?? ? ? ?? 10 ? ? ∵ ? ? ? 0 , ? ,∴ ? ? ? ? , ? ,∴ cos ? ? ? ? ? .………………………………6 分 3? 6 ?6 2? 6? 4 ? ?
? 10 ? ?? ?? 1 ? ? (2)由(1)可得 cos ? 2? ? ? ? 2cos 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? .………………………………8 分 ? ? ? 3? 6? 4 ? ? ? 4 ? ?? ? ?? ?? 15 ? ? ? ? ? ,∴ sin ? 2? ? ? ? ∵ ? ? ? 0 , ? ,∴ 2? ? ? ? , .……………………………………10 分 3 3 3 3 4 ? ? ? ? ? ?
2

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? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ∴ cos ? 2? ? ? ? cos ?? 2? ? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? cos ? sin ? 2? ? ? sin 12 3 4 3 4 3? 4 ? ? ? ? ? ? ?? ?
? 30 ? 2 .………………………………………………………………………………12 分 8

考点:三角恒等变换. 24.【答案】 【解析】解:(1)当 p= 时,B={x|0≤x≤ }, ∴A∩B={x|2<x≤ }; (2)当 A∩B=B 时,B?A; 令 2p﹣1>p+3,解得 p>4,此时 B=?,满足题意; 当 p≤4 时,应满足 解得 p 不存在; 综上,实数 p 的取值范围 p>4. ,

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