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西秀区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

西秀区高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学 一、选择题
1. 已知函数 y ? sin(2 x ? ?) 在 x ? A.关于点 ( 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

?
6

处取得最大值,则函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象( B.关于点 (



?
6

, 0) 对称

?
3

, 0) 对称

C.关于直线 x ?

?
6

对称

D.关于直线 x ?

?
3

对称

2. 点 A 是椭圆

上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 是△ AF1F2 的内心.若 ,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

3. 函数 y= A.{x|x≥﹣1}
2

+

的定义域是(



B.{x|x>﹣1 且 x≠3} C.{x|x≠﹣1 且 x≠3} D.{x|x≥﹣1 且 x≠3} ) )

4. 三个数 a=0.5 ,b=log20.5,c=20.5 之间的大小关系是( A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a

5. 某一简单几何体的三视图如所示,该几何体的外接球的表面积是(

A.13π B.16π C.25π D.27π 6. 若 cos( A. B.﹣ ﹣α)= ,则 cos( C. ) C.4 D.2 ) D.{1,2} D.﹣ +α)的值是( )

7. 已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点 为 B,则|AB|=( A.2 B.6

8. 设全集 U={1,2,3,4,5,6},设集合 P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则 P∩(?UQ)=( A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} 垂直于同一条直线”,则下列命题中的真命题为( A.p∧q B.p∨q C.¬p∨q D.p∧¬q
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9. 已知命题 p:“若直线 a 与平面 α 内两条直线垂直,则直线 a 与平面 α 垂直”,命题 q:“存在两个相交平面 )

10.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是 ( )

A.

B.

C.

D. )

11.如图所示为某几何体的正视图和侧视图,则该几何体体积的所有可能取值的集合是(

A.{ ,

} B.{ , ,

} C.{V| ≤V≤ }

D.{V|0<V≤ }

12.函数 y=|a|x﹣

(a≠0 且 a≠1)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题
13.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其三视图均为边长为 1 的正方形,则这个几何体的表面积 为 .

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14.

如图,P 是直线 x+y-5=0 上的动点,过 P 作圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 的两切线、切点分别为 A、B,当 四边形 PACB 的周长最小时,△ABC 的面积为________.
2 2 15.已知 x , y 为实数,代数式 1 ? ( y ? 2) ? 9 ? (3 ? x ) ?

x 2 ? y 2 的最小值是

.

【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识,意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 16.为了近似估计 π 的值,用计算机分别产生 90 个在[﹣1,1]的均匀随机数 x1,x2,…,x90 和 y1,y2,…,y90,
* 在 90 组数对(xi,yi)(1≤i≤90,i∈N )中,

经统计有 25 组数对满足

,则以此估计的 π 值为



17.过椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则 . .

椭圆的离心率为

18.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,则数列的通项 an=

三、解答题
19.已知 p:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相交”;q:“方程 x2﹣x+m﹣4=0 的两根异号”.若 p∨q 为 真,¬p 为真,求实数 m 的取值范围.

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20.已知函数 f(x)= (1)求 m 和 t 的值;

在( ,f( ))处的切线方程为 8x﹣9y+t=0(m∈N,t∈R)

(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax+ 在[ ,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)预测当广告费支出 7(百万元)时的销售额.

22.【徐州市 2018 届高三上学期期中】如图,有一块半圆形空地,开发商计划建一个矩形游泳池 形附属设施 矩形的一边

及其矩

,并将剩余空地进行绿化,园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为 ,半径为 , 在直径上,点 、 、 、 在圆周上, 、 在边 ,求 上,且 ,设 .

(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为 (2)怎样设计才能符合园林局的要求?

的表达式;

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23.已知过点 P(0,2)的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)若以 AB 为直径的圆经过原点 O,求直线 l 的方程; (2)若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q,求△ POQ 面积的取值范围.

24. 4], x2﹣2x﹣2a≤0 恒成立, f =x2﹣ax+1 在区间 ?x∈[2, 已知命题 p: 命题 q: (x) p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

上是增函数. 若

25.已知函数 f(x)=lnx﹣a(1﹣ ),a∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为 0. (i)求实数 a 的值; (ii)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an)+2,记[x]表示不大于 x 的最大整数,求证:n>1 时[an]=2.

26.已知 x2﹣y2+2xyi=2i,求实数 x、y 的值.

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西秀区高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】∵ 2 ?

?
6

? ? ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? 2k? ?

?
6

,k ?Z ,

∴ y ? cos(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? 2k? ? 当x?

?

?
6

时, y ? cos(2 ?

?

? ) ? 0 ,故选 A. 6 6

?

) ? cos(2 x ? ) , 6 6

?

2. 【答案】B 【解析】解:设△AF1F2 的内切圆半径为 r,则 S△IAF1= |AF1|r,S△IAF2= |AF2|r,S△IF1F2= |F1F2|r, ∵ ∴ |AF1|r=2 × |F1F2|r﹣ |AF2|r, |F1F2|.∴a=2 = . , ,

整理,得|AF1|+|AF2|=2 ∴椭圆的离心率 e= = 故选:B. 3. 【答案】D 【解析】解:由题意得: , 解得:x≥﹣1 或 x≠3, 故选:D.

【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题. 4. 【答案】A 【解析】解:∵a=0.52=0.25, b=log20.5<log21=0, c=20.5>20=1, ∴b<a<c. 故选:A. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的单调性的 合理运用. 5. 【答案】C 【解析】解:几何体为底面为正方形的长方体,底面对角线为 4,高为 3,∴长方体底面边长为 2 .

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则长方体外接球半径为 r,则 2r= S=4πr2=25π. 故选 C.

=5.∴r= .∴长方体外接球的表面积

【点评】本题考查了长方体的三视图,长方体与外接球的关系,属于中档题. 6. 【答案】B 【解析】解:∵cos( ∴cos( 故选:B. 7. 【答案】B
2 2 2 2 【解析】解:∵圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2) +(y﹣1) =4,

﹣α)=

, ﹣α)=﹣ .

+α)=﹣cos=﹣cos(

表示以 C(2,1)为圆心、半径等于 2 的圆. 由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1), 故有 2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点 A(﹣4,﹣1). ∵AC= ∴切线的长|AB|= 故选:B. 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属 于基础题. 8. 【答案】D 【解析】解:∵U={1,2,3,4,5,6},Q={3,4,5}, ∴?UQ={1,2,6},又 P={1,2,3,4}, ∴P∩(CUQ)={1,2} 故选 D. 9. 【答案】C 【解析】解:根据线面垂直的定义知若直线 a 与平面 α 内两条相交直线垂直,则直线 a 与平面 α 垂直,当两 条直线不相交时,结论不成立,即命题 p 为假命题. 垂直于同一条直线的两个平面是平行的,故命题存在两个相交平面垂直于同一条直线为假命题.,即命题 q 为假命题. 则¬p∨q 为真命题,其余都为假命题, 故选:C. 【点评】本题主要考查复合命题真假之间的判断,分别判断命题 p,q 的真假是解决本题的关键. = =2 =6. ,CB=R=2,

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10.【答案】 A 【解析】解:考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时,注水量 V 与水深 h 的函数关系. 如图所示,此时注水量 V 与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半. 对照选项知,只有 A 符合此要求. 故选 A.

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 11.【答案】D 【解析】解:根据几何体的正视图和侧视图,得;
2 当该几何体的俯视图是边长为 1 的正方形时,它是高为 2 的四棱锥,其体积最大,为 ×1 ×2= ;

当该几何体的俯视图为一线段时,它的底面积为 0,此时不表示几何体; 所以,该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0<V≤ }. 故选:D. 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么, 是基础题目. 12.【答案】D 【解析】解:当|a|>1 时,函数为增函数,且过定点(0,1﹣ 当|a|<1 时且 a≠0 时,函数为减函数,且过定点(0,1﹣ 故选:D. ),因为 0<1﹣ ),因为 1﹣ <1,故排除 A,B

<0,故排除 C.

二、填空题
13.【答案】 3+ .

【解析】 解: 由三视图可知几何体为边长为 1 正方体 ABCD﹣A'B'C'D'截去三棱锥 D﹣ACD'和三棱锥 B﹣ACB' 得到的,作出直观图如图所示:

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该几何体由前,后,左,右,下和两个斜面组成. 其中前后左右四个面均为直角边为 1 的等腰直角三角形,底面为边长为 1 的正方形,两个斜面为边长为 等边三角形, ∴S= 故答案为 +1+ . ×(
2 ) ×2=3+





【点评】本题考查了不规则几何体的三视图及面积计算,将不规则几何体转化到正方体中是解题关键. 14.【答案】 【解析】解析:圆 x2+y2-2x+4y-4=0 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9. 圆心 C(1,-2),半径为 3,连接 PC,

∴四边形 PACB 的周长为 2(PA+AC) =2 PC2-AC2+2AC=2 PC2-9+6. 当 PC 最小时,四边形 PACB 的周长最小. 此时 PC⊥l. ∴直线 PC 的斜率为 1,即 x-y-3=0,

? ?x+y-5=0 由? ,解得点 P 的坐标为(4,1), ?x-y-3=0 ?
由于圆 C 的圆心为(1,-2),半径为 3,所以两切线 PA,PB 分别与 x 轴平行和 y 轴平行, 即∠ACB=90°, 1 1 9 ∴S△ABC= AC·BC= ×3×3= . 2 2 2 9 即△ABC 的面积为 . 2 9 答案: 2 15.【答案】 41 .
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16.【答案】



【解析】设 A(1,1),B(﹣1,﹣1),则直线 AB 过原点,且阴影面积等于直线 AB 与圆弧所 围成的弓形面积 S1,由图知, ,又 ,所以

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式,属于中档题. 17.【答案】 .

【解析】解:由题意知点 P 的坐标为(﹣c,

)或(﹣c,﹣

),

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∵∠F1PF2=60°, ∴ = , b2= (a ﹣c ). =0, (舍去).
2 2

即 2ac= ∴ ∴e=

e2+2e﹣ 或 e=﹣

故答案为:



【点评】 本题主要考查了椭圆的简单性质, 考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力, 属基础题. 18.【答案】 2n﹣1 .

n 【解析】解:∵a1=1,an+1=an+2 ,

∴a2﹣a1=2, a3﹣a2=22, … an﹣an﹣1=2n﹣1,
2 3 n 1 相加得:an﹣a1=2+2 +2 +2…+2 ﹣ ,

an=2n﹣1,
n 故答案为:2 ﹣1,

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:若命题 p 是真命题:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相交”,则 ; 若命题 q 是真命题:“方程 x2﹣x+m﹣4=0 的两根异号”,则 m﹣4<0,解得 m<4. 若 p∨q 为真,¬p 为真, 则 p 为假命题,q 为真命题. ∴ ∴实数 m 的取值范围是 . 或 . <1,解得 1﹣

【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)的导数为 f′(x)= ,

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由题意可得,f( )= 即 = ,且

,f′( )= , = ,

由 m∈N,则 m=1,t=8; (2)设 h(x)=ax+ ﹣ h( )= ﹣ ≥0,即 a≥ , h′(x)=a﹣ 若 ≤x≤ ,当 a≥ 时,若 x> , <0,g(x)在[ , ]上递减,且 g( )≥0, ,h′(x)>0,① ,x≥ .

,设 g(x)=a﹣

g′(x)=﹣

则 g(x)≥0,即 h′(x)≥0 在[ ,

]上恒成立.② ≥ 0,

由①②可得,a≥ 时,h′(x)>0,h(x)在[ ,+∞)上递增,h(x)≥h( )= 则当 a≥ 时,不等式 f(x)≤ax+ 在[ ,+∞)恒成立; 当 a< 时,h( )<0,不合题意. 综上可得 a≥ .

【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间,主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值,正 确求导和分类讨论是解题的关键. 21.【答案】

【解析】解:(1)

(2) 设回归方程为 =bx+a

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则 b=

﹣5

/

﹣5

=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5

故回归方程为 =6.5x+17.5 (3)当 x=7 时, =6.5×7+17.5=63, 所以当广告费支出 7(百万元)时,销售额约为 63(百万元). 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用,本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数, 这是解答正确的主要环节.

22.【答案】(1)

(2)

【解析】试题分析:(1)根据直角三角形求两个矩形的长与宽,再根据矩形面积公式可得函数解析式,最后 根据实际意义确定定义域(2)利用导数求函数最值,求导解得零点,列表分析导函数符 号变化规律,确定函 数单调性,进而得函数最值

(2)要符合园林局的要求,只要 由(1)知, 令 解得 令 当 当 所以当 时, 时, 时, 取得最小值. ,即 或 ,

最小, , (舍去),

是单调减函数, 是单调增函数,

答:当 满足

时,符合园林局要求.

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23.【答案】 【解析】解:(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+2(k≠0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 ,得 k2x2+(4k﹣4)x+4=0,

则由△=(4k﹣4)2﹣16k2=﹣32k+16>0,得 k< , = , ,

所以 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4= , 因为以 AB 为直径的圆经过原点 O, 所以∠AOB=90°, 即 所以 解得 k=﹣ , 即所求直线 l 的方程为 y=﹣ . , ,

(2)设线段 AB 的中点坐标为(x0,y0), 则由(1)得 所以线段 AB 的中垂线方程为 令 y=0,得 = = 或 , , , , ,

又由(1)知 k< ,且 k≠0,得 所以 所以 = ,



所以△POQ 面积的取值范围为(2,+∞). 【点评】本题考查直线 l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围.考查抛物线标准方程,简单几何性质, 直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化 思想. 24.【答案】 【解析】解:?x∈[2,4],x ﹣2x﹣2a≤0 恒成立,
2 等价于 a≥ x ﹣x 在 x∈[2,4]恒成立, 2

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2 而函数 g(x)= x ﹣x 在 x∈[2,4]递增,

其最大值是 g(4)=4, ∴a≥4, 若 p 为真命题,则 a≥4; f(x)=x2﹣ax+1 在区间 对称轴 x= ≤ ,∴a≤1, 若 q 为真命题,则 a≤1; 由题意知 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,a≥4;当 p 假 q 真时,a≤1, 所以 a 的取值范围为(﹣∞,1]∪[4,+∞). 25.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= ﹣ 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x>a;由 f′(x)<0,解得 0<x<a. 所以 f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). 综上述:a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞); a>0 时,f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞). (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)无最小值,不合题意; 当 a>0 时,[f(x)]min=f(a)=1﹣a+lna=0, 令 g(x)=1﹣x+lnx(x>0),则 g′(x)=﹣1+ = , = . 上是增函数,

由 g′(x)>0,解得 0<x<1;由 g′(x)<0,解得 x>1. 所以 g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 故[g(x)]max=g(1)=0,即当且仅当 x=1 时,g(x)=0. 因此,a=1. (ⅱ)因为 f(x)=lnx﹣1+ ,所以 an+1=f(an)+2=1+ +lnan.

由 a1=1 得 a2=2 于是 a3= +ln2.因为 <ln2<1,所以 2<a3< . 猜想当 n≥3,n∈N 时,2<an< . 下面用数学归纳法进行证明. ①当 n=3 时,a3= +ln2,故 2<a3< .成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N)时,不等式 2<ak< 成立. 则当 n=k+1 时,ak+1=1+ +lnak,

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由(Ⅰ)知函数 h(x)=f(x)+2=1+ +lnx 在区间(2, )单调递增, 所以 h(2)<h(ak)<h( ),又因为 h(2)=1+ +ln2>2, h( )=1+ +ln <1+ +1< . 故 2<ak+1< 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 根据①②可知,当 n≥3,n∈N 时,不等式 2<an< 成立. 综上可得,n>1 时[an]=2. 【点评】 本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、 创新意识等, 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等,属难题. 26.【答案】 【解析】解:由复数相等的条件,得 解得 或 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

【点评】本题考查复数相等的条件,以及方程思想,属于基础题.

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