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朔城区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

朔城区第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知 a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“a=0”是“点 M 在第四 象限”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知 A. , B. ,那么 C.﹣2 ) 夹角的余弦值( D.﹣ )

座号_____

姓名__________

分数__________

3. 设集合 A={x|x<a},B={x|x<3},则“a<3”是“A?B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 若 a<b<0,则下列不等式不成立是( A. > B. > ) C.|a|>|b|

D.a2>b2 )

5. 已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= A. 6. “ ? B. C. D. )

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=(

?
2

?x?

? ”是“ tan x ? 1 ”的( 4

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法,正切函数的性质和图象,重点是单调性. 7. 某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽 车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘 坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( A. 24 B. 18 C. 48 ) D. 36 )种.

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识,考查学生分类讨论,运算能力以及逻辑推理能力. 8. 函数 y=ecosx(﹣π≤x≤π)的大致图象为(

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A.

B.

C.

D.

9. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大 值为 18 3 ,则球 O 的体积为( A. 81? 求解能力. 10.已知等差数列 A. 的公差 B. 且 成等比数列,则 C. D. ) ( ) B. 128? ) C. 144 ? D. 288?

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算

11.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数 a,则不等式 ln(3a﹣1)<0 成立的概率是( A. B. C. D. ,则 5 是这个数列的( ) B.第 13 项 C.第 14 项 D.第 25 项

12.已知数列 A.第 12 项

二、填空题
13.在△ ABC 中,已知 =2,b=2a,那么 cosB 的值是 .

14. 椭圆 C:

+

=1 0) 3) (a>b>0) 的右焦点为 (2, , 且点 (2, 在椭圆上, 则椭圆的短轴长为
2

. )

15.已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? A.1 B.±1 C. 2

1 ? 的一条对称轴方程为 x ? ,则函数 f ( x ) 的最大值为( 2 6 D. ? 2

【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想. 16.对于|q|<1(q 为公比)的无穷等比数列{an}(即项数是无穷项),我们定义 的前 n 项的和) 为它的各项的和, 记为 S, 即 S= Sn= , 则循环小数 0. Sn(其中 Sn 是数列{an} 的分数形式是 .

17.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值等于_________. 18.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,
开始
n ?1 第 2 页,共 14 页

S ? 5, T ? 1
S ? T?



BC ? 3 , E 在 AC 上,若 BE ? AC ,
则 ED 的长=____________

三、解答题
19.(1)求与椭圆 (2)求与双曲线 有相同的焦点,且经过点(4,3)的椭圆的标准方程. 有相同的渐近线,且焦距为 的双曲线的标准方程.

20.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S9 ? 90 , S15 ? 240 . (1)求 {an } 的通项公式 an 和前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ? ? ?1? an 是等比数列,且 b2 ? 7, b5 ? 71 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

?

?

【命题意图】 本题考查等差数列与等比数列的通项与前 n 项和、 数列求和等基础知识, 意在考查逻辑思维能力、 运算求解能力、代数变形能力,以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用.

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范 围.

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22.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,E、P、Q 分别是棱 AD、SC、AB 的中点, 且 SE ? 平 面 ABCD .

(1)求证: PQ // 平面 SAD ; (2)求证:平面 SAC ? 平面 SEQ .

23.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式

)的部分图象如图所示

(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其中 a<c,f(A)= ,且 a= 的面积.

,b=

,求△ ABC

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24.已知函数 f(x)=x|x﹣m|,x∈R.且 f(4)=0 (1)求实数 m 的值. (2)作出函数 f(x)的图象,并根据图象写出 f(x)的单调区间 (3)若方程 f(x)=k 有三个实数解,求实数 k 的取值范围.

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朔城区第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:若 a=0,则 z=﹣2i(1+i)=2﹣2i,点 M 在第四象限,是充分条件, 若点 M 在第四象限,则 z=(a+2)+(a﹣2)i,推出﹣2<a<2,推不出 a=0,不是必要条件; 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了复数问题,是一道基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴ = ,| |= >= , = , , =﹣1×1+3×(﹣1)=﹣4, =﹣ ,

∴cos< 故选:A.

【点评】本题考查了向量的夹角公式,属于基础题. 3. 【答案】A 【解析】解:若 A?B,则 a≤3, 则“a<3”是“A?B”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系是解决本题的关键. 4. 【答案】A 【解析】解:∵a<b<0, ∴﹣a>﹣b>0,
2 2 ∴|a|>|b|,a >b ,





可知:B,C,D 都正确, 因此 A 不正确. 故选:A. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 5. 【答案】A 【解析】解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)

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且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A. 6. 【答案】A 【解析】因为 y ? tan x 在 ? ?

? ? ? ? ? ?? , ? 上单调递增,且 ? ? x ? ,所以 tan x ? tan ,即 tan x ?1 .反之,当 2 4 4 ? 2 2? ? ? ? ? ? ? tan x ? 1 时, k ? ? ? x ? ? k ? ( k ? Z ),不能保证 ? ? x ? ,所以“ ? ? x ? ”是“ tan x ? 1 ” 2 4 2 4 2 4

的充分不必要条件,故选 A. 7. 【答案】A
2 1 1 【解析】分类讨论,有 2 种情形 . 孪生姐妹乘坐甲车,则有 C3 C2C2 ? 12 种 . 孪生姐妹不乘坐甲车,则有 1 1 1 C3 C2C2 ? 12 种. 共有 24 种. 选 A.

8. 【答案】C 【解析】解:函数 f(x)=e
cosx

(x∈[﹣π,π])
t

cos x cosx ∴f(﹣x)=e (﹣ )=e =f(x),函数是偶函数,排除 B、D 选项.

令 t=cosx,则 t=cosx 当 0≤x≤π 时递减,而 y=e 单调递增, 由复合函数的单调性知函数 y=e 故选:C. 【点评】本题考查函数的图象的判断,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力. 9. 【答案】D 【解析】 当 OC ? 平面 AOB 平面时, 三棱锥 O ? ABC 的体积最大, 且此时 OC 为球的半径. 设球的半径为 R , 则由题意,得 ? 10.【答案】A 【解析】 由已知 所以 答案:A , , 成等比数列,所以 ,即 ,故选 A
cosx

在(0,π)递减,所以 C 选项符合,

1 1 4 ? R 2 sin 60?? R ? 18 3 ,解得 R ? 6 ,所以球的体积为 ?R 3 ? 288? ,故选 D. 3 2 3

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11.【答案】C 【解析】解:由 ln(3a﹣1)<0 得 <a< , 则用计算机在区间(0,1)上产生随机数 a,不等式 ln(3a﹣1)<0 成立的概率是 P= , 故选:C. 12.【答案】B 【解析】 由题知,通项公式为 答案:B ,令 得 ,故选 B

二、填空题
13.【答案】 【解析】解:∵ b=2a, ∴ ∴cosB= . 故答案为: . 【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.【答案】 . = = . . =2,由正弦定理可得: ,即 c=2a.

【解析】解:椭圆 C: 可得 c=2,2a= b2=a2﹣c2=12,可得 b=2 椭圆的短轴长为:4 故答案为:4 . .

+

=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),且点(2,3)在椭圆上, =8,可得 a=4,



【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.

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15.【答案】A 【 解 析 】

16.【答案】



【解析】解:0. 故答案为: .

=

+

+…+=

=



【点评】本题考查数列的极限,考查学生的计算能力,比较基础. 17.【答案】 6 【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.第 1 次运行后, S ? 9, T ? 2, n ? 2, S ? T ;第 2 次运行后,

S ? 13, T ? 4, n ? 3, S ? T ; 第 3 次 运 行 后 , S ? 17, T ? 8, n ? 4, S ? T ; 第 4 次 运 行 后 , S ? 21, T ? 16, n ? 5, S ? T ;第 5 次运行后,S ? 25, T ? 32, n ? 6, S ? T ,此时跳出循环,输出结果 n ? 6 程
序结束. 18.【答案】 21 2

【解析】在 Rt△ABC 中,BC=3,AB= 3,所以∠BAC=60° . 3 因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= ,在△EAD 中,∠EAD=30° ,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2 2 3 3 3 21 21 -2AE· AD· cos∠EAD= +9-2× ×3× = ,故 ED= . 4 2 2 4 2

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由所求椭圆与椭圆 有相同的焦点,

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设椭圆方程 由(4,3)在椭圆上得 则椭圆方程为 (2)由双曲线 设所求双曲线的方程为 ;

, ,

有相同的渐近线, ﹣ =1(λ≠0),

2 由题意可得 c =4|λ|+9|λ|=13,

解得 λ=±1. 即有双曲线的方程为 20.【答案】 【解析】(1)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d , 则由 S9 ? 90 , S15 ? 240 ,得 ? ﹣ =1 或 ﹣ =1.

?9a1 ? 36d ? 90 ,解得 a1 ? d ? 2 ,……………3 分 ?15a1 ? 105d ? 240

所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ,即 an ? 2n ,

S n ? 2n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n(n ? 1) ,即 Sn ? ( .……………5 分 n n ?1 ) 2

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21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)= ∴由 2k ≤ + ≤2kπ sin cos +cos2 =sin( + ,k∈Z 可解得:4kπ﹣ ,4kπ ) , ,k∈Z,

≤x≤4kπ ],k∈Z.

∴函数 f(x)单调递增区间是:[4kπ﹣ (Ⅱ)∵f(A)=sin( + ) ,

∵由条件及正弦定理得 sinBcosC=(2sinA﹣sinC)cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB, ∴则 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,又 sin(B+C)=sinA≠0, ∴cosB= ,又 0<B<π, ∴B= . , ,

∴可得 0<A< ∴ < + <

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sin( +

)<1,

故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 【点评】 本题考查三角函数性质及简单的三角变换, 要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角 函数进行化简求值,属于中档题. 22.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据线面平行的判定定理,可先证明 PQ 与平面内的直线平行,则线面平行,所以取 SD 中 点 F ,连结 AF, PF ,可证明 PQ // AF ,那就满足了线面平行的判定定理了;(2)要证明面面垂直,可先 证明线面垂直,根据所给的条件证明 AC ? 平面 SEQ ,即平面 SAC ? 平面 SEQ . 试题解析:证明:(1)取 SD 中点 F ,连结 AF, PF . ∵ P、F 分别是棱 SC 、SD 的中点,∴ FP // CD ,且 FP ? ∵在菱形 ABCD 中, Q 是 AB 的中点,

1 CD . 2

1 CD ,即 FP // AQ 且 FP ? AQ . 2 ∴ AQPF 为平行四边形,则 PQ // AF .
∴ AQ // CD ,且 AQ ? ∵ PQ ? 平面 SAD , AF ? 平面 SAD ,∴ PQ // 平面 SAD .

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考点:1.线线,线面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【易错点睛】 本题考查了立体几何中的线与面的关系, 属于基础题型, 重点说说垂直关系, 当证明线线垂直时, 一般要转化为线面垂直,证明线与面垂直时,即证明线与平面内的两条相交直线垂直,证明面面垂直时,转化 为证明线面垂直,所以线与线的证明是基础,这里经常会搞错两个问题,一是,线与平面内的两条相交直线垂 直,线与平面垂直,很多同学会记成一条,二是,面面垂直时,平面内的线与交线垂直,才与平面垂直,很多 同学会理解为两个平面垂直,平面内的线都与另一个平面垂直, 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵由图象可知,T=4( ∴ω= 又 x= =2, 时,2× , , )…6 分 )= , +φ= +2kπ,得 φ=2kπ﹣ ,(k∈Z) ﹣ )=π,

又∵|φ|< ∴φ=﹣

∴f(x)=sin(2x﹣

(Ⅱ)由 f(A)= ,可得 sin(2A﹣ ∵a<c, ∴A 为锐角, ∴2A﹣ ∴2A﹣ ∈(﹣ = , ), ,

,得 A=

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2 2 2 2 由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA,可得:7=3+c ﹣2

2 ,即:c ﹣3c﹣4=0,

∵c>0,∴解得 c=4. ∴△ABC 的面积 S= bcsinA= 应用,属于基本知识的考查. 24.【答案】 【解析】解:(1)∵f(4)=0, ∴4|4﹣m|=0 ∴m=4, (2)f(x)=x|x﹣4|= 图象如图所示: = …12 分

【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式等知识的

由图象可知,函数在(﹣∞,2),(4,+∞)上单调递增,在(2,4)上单调递减. (3)方程 f(x)=k 的解的个数等价于函数 y=f(x)与函数 y=k 的图象交点的个数, 由图可知 k∈(0,4).

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