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合理构造函数解导数问题-精华

合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析, 高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题, 考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容 和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问 题等有机的结合在一起,设计综合试题。在内容上日趋综合化,在解题方法上日 趋多样化. 解决这类有关的问题,有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函 数是解导数问题的基本方法, 但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦 甚至是解决不了问题的, 那么怎样合理的构造函数就是问题的关键,这里我们来 一起探讨一下这方面问题。 例 1:已知函数 f ?x? ? ln?ax ? 1? ? x 3 ? x 2 ? ax . (1) 若 2 为 y ? f ?x ?的极值点,求实数 a 的值; 3 (2) 若 y ? f ?x ?在 ?1,??? 上增函数,求实数 a 的取值范围; (3) 若 a ? ?1 时,方程 f ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? 3 b 有实根,求实数 b 的取值范围。 x 解: (1)因为 x ? 2 2 是函数的一个极值点,所以 f ?( ) ? 0 ,进而解得: a ? 0 ,经检验是 3 3 符合的,所以 a ? 0. a ? 3x 2 ? 2 x ? a, 结合定义域知道 ax ? 1 ? 0 在 x ? ?1,??? 上恒 ax ? 1 a 1 1 ? 0 。同时 3x 2 ? 2 x ? a 此函数是 x ? 时递减, x ? 时递增, 成立,所以 a ? 0 且 ax ? 1 3 3 (2)显然 f ?? x ? ? 故此我们只需要保证 f ??1? ? 1? 5 a ? 3 ? 2 ? a ? 0 ,解得: 0 ? a ? . a ?1 2 (3)方法一、变量分离直接构造函数 2 3 2 解:由于 x ? 0 ,所以: b ? x ln x ? x ? x ? x ln x ? x ? x ? ? g ??x? ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x 2 g ???x ? ? 1 6x 2 ? 2x ? 1 ? 2 ? 6x ? ? x x 当0 ? x ? 1? 7 1? 7 时, g ???x ? ? 0, 所以 g ?? x ? 在 0 ? x ? 上递增; 6 6 当x ? 1? 7 1? 7 时, g ???x ? ? 0, 所以 g ?? x ? 在 x ? 上递减; 6 6 ? g ??x0 ? ? 0, 0 ? x0 ? 1? 7 . 6 又 g ??1? ? 0, 第 1 页 共 9 页 当 0 ? x ? x0 时, g ??x ? ? 0, 所以 g ?x ? 在 0 ? x ? x0 上递减; 当 x0 ? x ? 1 时, g ??x ? ? 0, 所以 x0 ? x ? 1 上递增; 当 x ? 1 时, g ??x ? ? 0, 所以 g ?x ? 在 x ? 1 上递减; 又当 x ? ?? 时, g ?x ? ? ??, 1? ? g ?x ? ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x ln x ? x ? x 2 ? x? ln x ? ? 4? ? 当 x ? 0 时, ln x ? ? ? 1 ? 0, 则 g ?x ? ? 0, 且 g ?1? ? 0 4 ? b 的取值范围为 ?? ?,0?. g ??? x ? 1? 7 6 g ?? x ? g ?x ? 1 x? x 0 0 x0 x? x 0 x0 1 x 1? 7 6 二阶导数草图 一阶导数草图 原函数草图 g ???x ? ? 1 6x 2 ? 2x ? 1 ? 2 ? 6x ? ? ,g ??x? ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x 2 ,g ?x? ? x ln x ? x 2 ? x 3 x x 方法二、 构造: G?x ? ? ln x ? x ? x 2 G ??x ? ? ?2 x ? 1??x ? 1? 1 ? 2x 2 ? x ? 1 2x 2 ? x ? 1 ? 1 ? 2x ? ?? ?? x x x x ? 0 ? x ?1 ? x?0 G??x? ? 0 从而 G ?x ? 在 ?0,1? 上为增函数; x ? 1, G??x ? ? 0, 从而 G?x ? 在 ?1,??? 上为减函数 ? G?x ? ? G?1? ? 0 而x ? 0 ? b ? x ? G? x ? ? 0 ? b?0 分析点评:第(3)问的两种解法难易繁杂一目了然,关键在合理构造函数上。 第 2 页 共 9 页 例 2.已知函数 f (x)= 1 +aln(x-1),其中 n 是正整数,a 是常数,若 a=1 时, (1 ? x) n 求证:当 x≥2 时,f (x)≤x-1. 证法一:当 a=1 时,f (x)= 1 +ln(x-1),构造函数 F(x)= (x-1)-f (x), (1 ? x) n 1 -ln(x-1)≥0 恒成立. (1 ? x) n 下证:当 x≥2 时,F(x)=(x-1)- F?(x)=1- x?2 n 1 n = - ( x≥2). ? n ?1 x ? 1 x ? 1 (1 ? x) n?1 (1 ? x) x?2 n ≥0,1-x<-1<0, >0, ( 1-x) n?1 <0,- x ?1 (1 ? x) n?1 ①若 n 为偶数,∵x≥2,∴ 所以:当 x≥2 时,F?(x)>0.∴F(x)min=F(2)=(2-1)- 1 -ln(2-1)=0,所以: n ( 1-2) 当 x≥2,且 n 为偶数时,F(x)=(x-1)- 1 -ln(x-1)≥0 恒成立. (1 ? x) n ②若 n 为奇数,要证 1 1 +ln(x-1)≤x-1,∵

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