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2012届广东省六校联合体高三11月联合考试数学(理)试题


宝安中学
广东省

潮阳一中 中山一中

南海中学 仲元中学
六校联合体

普宁二中

试题( 广东省六校联合体 2012 届高三 11 月联合考试 试题(数学 理 )
参考公式: 参考公式:线性回归方程 y = b x + a 中系数计算公式:
^ ^ ^

b=

^

∑ ( x ? x)( y ? y )
i =1 i i

n

∑ ( x ? x)
i =1 i

n

, a = y ? b x ,其中 x, y 表示样本均值.

^

^

2

第Ⅰ卷
一、选择题(本题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分) 选择题(本题共 1.下列命题正确的是 A. ?x0 ∈ R, x0 + x0 + 1 < 0
2


2 B. ?x ∈ R, x + x + 1 < 0



C. x = 1 是 x

2

= 1 的充分不必要条件

D.若 x < y ,则 x 2 < y 2 ( )

2.复数 z=(a?-1)+(a+1)i, ∈R)为纯虚数,则 a 的取值是 (a A.3 B.-2 C.-1 D.1

uuu r uuur uuu r o 3.在等腰 Rt△ ABC 中, ∠A = 90 , AB = (1, 2), AC = ( m, n )(n > 0) ,则 BC = (
A. (-3,-1) B. (-3,1) C. (3, ?1) D. (3,1)



4. 已知在等比数列 {a n } 中, a1 + a 3 = 10, a 4 + a 6 = 数列 {a n } 的公比 q 的值为( A. ) C.2

5 ,则等比 4

1 4

B.

1 2

D.8

[来源:学科网 ZXXK]

5.为调查中山市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 x(单 位: 分钟) 按锻炼时间分下列四种情况统计: , ①0~10 分钟; ②11~ 20 分钟;③21~30 分钟;④30 分钟以上.有 10000 名中学生 参加了此项活动,下图是此次调查中某一项的流程图,其输出 的结果是 6200,则平均每天参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内

的学生的频率是 A.3800 B.6200

( C.0.62

) D.0.38

6.已知直线 m、l ,平面 α、β ,且 m ⊥ α , l ? β ,给出下列命题: ①若 α ∥ β ,则 m⊥ l ;②若 α ⊥ β ,则 m∥ l ;③若 m⊥ l ,则 α ∥ β ;④若 m∥ l ,则

α ⊥ β 其中正确命题的个数是(
A.1 B.2

) C.3 D.4 (
820

sin θ + cos θ sin θ cos θ 7.若 sin θ ? cos θ = 2 ,则 cos3 θ + sin 3 θ 的值为



A. ? 27

817

B. 27

817

C. 27

D. ? 27

820

8.已知 f ( x ) 是定义在 [ a, b ] 上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件: ① f ( x ) 的值域为 M,且 M? [ a, b ] ; ②对任意不相等的 x , y ∈ [ a, b ] , 都有| f ( x ) - f ( y ) |<| x - y |. 那么,关于 x 的方程 f ( x ) = x 在区间 [ a, b ] 上根的情况是 A.没有实数根 C.恰有两个不等的实数根 ( )

B.有且仅有一个实数根 D.实数根的个数无法确定

第Ⅱ卷
(本题共 小题, 小题, 二、填空题: 本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 填空题: ( (一)必做题(9~13 题) 必做题

?2 x ? y ≥ 0, ? 且z = 2 x + y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 9.若实数 x,y 满足 ? y ≥ x, ? y ≥ ? x + b, ?
10.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课 程中各至少选一门,则不同的选法共有 种(用数字作答). 11.抛物线 y 2 = 16 x 的准线经过双曲线 12 . 已 知 函 数 f ( x ) =

x2 y2 ? = 1 的一个焦点,则双曲线的离心率为 a2 8

a ? x + x (a ∈ N ? ) , 对 定 义 域 内 任 意 x1 , x 2 , 满 足

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 1 ,则正整数 a 的取值个数是

13.某商店经营一批进价为每件 4 元的商品,在市场调查时得到,此商品的销售单价 x 与日

( x i ? x )( y i ? y ) = ? 11 , 销售量 y 之间的一组数据满足:x = 6.5 , y = 7 ,∑
i =1

5

∑ (x
i =1
[来源 学科网 来源:学科网 来源 学科网] 来源 学科网

5

i

? x) 2 = 5

,则当销售单价 x 定为(取整数)

元时,日利润最大.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题 14. 坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 (坐标系与参数方程选做题) ? ?x=3+cosθ, 建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 ? ?y=4+sinθ 上,则|AB|的最小值为________. [来源:学科网] 15. 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如图,∠B= ∠D, AE⊥BC, ( ∠ACD=90°,且 AB=6,AC=4,AD=12,则 BE=________

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题( ) 16. (本小题满分12分)设 α ∈ (0, (1)求 cos(α +

π

?5 3 sin α + 5cos α = 8 π π ? ), β ∈ ( , ) ,且 α , β 满足 ? 3 6 2 ? 2 sin β + 6 cos β = 2 ?

π
6

) 的值. (2)求 cos(α + β ) 的值.

17.(本小题满分12分)某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的 概率为

4 ,第二、第三种产品受欢迎的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同种产品是否受 5

欢迎相互独立。记 ξ 为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为

ξ
p

0

1

2

3

2 45

a

d

8 45

(1)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率; (2)求 p , q 的值; (3 )求数学期望 Eξ 。[来源:学科网]

D

F

C

A

E

B

① (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 的边 AB=2 ,BC= 2 ,点 E、F 分别是边 AB、
CD 的中点,沿 AF、EC 分别把三角形 ADF 和三角形 EBC 折起,使得点 D 和点 B 重合, 记重合后的位置为点 P。 P (1)求证:平面 PCE ⊥ 平面 PCF; (2)设 M、N 分别为棱 PA、EC 的中点,求直线 MN 与平 M 面 PAE 所成角的正弦; F (3)求二面角 A-PE-C 的大小。 O N 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x + (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若以函数 y = f ( x ) ? x ( 0 < x ≤ 3 ) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率
k≤ 1 恒成立,求实数 a 的最小值; 2

C

a + x (a ∈ R) . x

A

E

20.(本小题满分 14 分)在周长为定值的 ?ABC 中,已知 | AB |= 2 3 ,动点 C 的运动轨迹为

曲线 G,且当动点 C 运动时, cos C 有最小值 ?

1 . 2

(1)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,求曲线 G 的方程.
(2)过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 G 于 M,N 两点.将线段 MN 的长|MN|表示为 m

的函数,并求|MN|的最大值.

21.(本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx 的图像过点 (?4n, 0) ,且 f '(0) = 2n ,

n∈ N? .

(1)若数列 {an } 满足

11 1 ' 1 = ff '(0) ) ,且 a1 = 4 ,求数列 {an } 的通项公式; ( 2n aan 1 ann a n+

(2)若数列 {bn } 满足: b1 = 1 , bn bn +1 = 求证: ① b2 n 学科网 ZXXK]

1 * an +1 ,当 n ≥ 3, n ∈ N 时, 2
*

< b2 n +1 < b2 n ?1

(n ∈ N )

② b1 + b2 + b3 + L bn >

2 n + 1 ? 1 [来源:

试题答案
1. C 9 9. 4 2. D 10.30 3. A 11. 2 4.B 5 12.5 D 13. 6. B 7 14. 3 7. C 8.B 15.4 2 (3 分) (4 分)

16.(1)∵ 5 3 sin α + 5cos α = 8 ,∴ sin(α + 16.

π
6

)=

4 5

π ∵ α ∈ (0, ) ,∴ α + π ∈ ( π , π ) ,∴ cos(α + π ) = 3 . 3 6 5 6 6 2
(2)又∵ 2 sin β + 6 cos β = 2 ,∴ sin( β +

π
3

)=

2 , 2

(6 分) (7 分)

π π 5π ∵ β ∈ ( π , π ) ,∴ β + ∈ ( , ) ,∴ cos( β + π ) = ? 2 , 3 2 6 6 2 3 2
∴ cos(α + β ) = sin[

π
2

+ (α + β )] = sin[(α +
)] = sin(α +

π
6

) + (β +

π
3

)]

= sin[(α +

π
6

) + (β +

π
3

π
6

) cos( β +

π
3

) + cos(α +

π
6

) sin( β +

π
3

)=?

2 10

∴ cos(α + β ) = ?

2 . 10

(12 分)

17. 【解析】设事件 Ai 表示“该公司第 i 种产品受欢迎” i =1,2,3,由题意知 P ( A1 ) = ,

4 , 5

P ( A2 ) = p , P ( A3 ) = q

(1 分)

(1)由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“ ξ = 0 ”是对立的,所以该 公司至少有一种产品受欢迎的概率是 1 ? P (ξ = 0) = 1 ?

2 43 = , (3 分) 45 45 1 2 (2)由题意知 P (ξ = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = (1 ? p )(1 ? q) = , P (ξ = 3) = P ( A1 A2 A3 ) 5 45 4 8 2 2 1 = pq = ,整理得 pq = 且 p + q = 1 ,由 p > q ,可得 p = , q = . (7 分) 5 45 9 3 3
(3)由题意知 a = P(ξ = 1) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )

=

4 1 1 13 , (1 ? p )(1 ? q ) + p(1 ? q) + (1 ? p ) q = 5 5 5 45

(9 分)

b = P (ξ = 2) = 1 ? P (ξ = 0) ? P (ξ = 1) ? P(ξ = 3) =
分)

22 45

(10

因此 Eξ = 0 × P(ξ = 0) + 1 × P (ξ = 1) + 2 × P (ξ = 2) + 3 × P (ξ = 3) =
18.(1)证明:

27 15

(12 分)

P
M O N

F

C

A

E

Q PE = PF = 1 EF = 2 又 Q PE ⊥ PC

∴ PE ⊥ PF

且 PC I PF=P ∴ PE ⊥ 平面PFC
(4 分)

Q PE ? 平面PEC ∴ 平面PEC ⊥ 平面PFC
(2)如图,建立坐标系,则
? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 1 2? 2? 2 ? 1 ? A? 1,? ? ? ? 2 , ?1, 0 ? 、E ? 2 , 0, 0 ? 、 ? 0, 2 , 0 ? 、P ? 0, 0, 2 ? 、 ? - 2 , 0 ? F ? ? 2 , 0, 0 ? 、 M ? 4 , - 2 , 4 ? ? ? ? N? ? ? C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

uuu ? r r 2 2 ? uuuu ? 2 2 ? PF = ? ? ,0 ? , ? , MN = ? ? ,1, ? ,? ? 2 ? ? 4 ? 2 ? 4 ? ? ?
uur 易知 PF 是平面 PAE 的法向量, uuuu r uuuu uuu r r MN sinθ = cos< MN , PF > = uuuu r MN

设 MN 与平面 PAE 所成的角为 θ uuu r PF 5 uuu = r 5 PF

(9 分)

uur r (3) 易知 PF 是平面 PAE 的法向量,设平 面 PEC 的法向量 n = ( x, y, z )

所以

r uuu r r uuu r n EC = 0 n PE = 0 则 ? 2 x + y = 0 且 x ? z = 0 r r uuu r 2 n = (1, 2,1) cos < n, PF >= ?
2
o
2

所以二面角 A-PE-C 的大小为 135

(14 分) (1 分)

19. (1) f ( x ) = ln x + a + x ( x > 0 ) , f ' ( x ) = 1 ? a + 1 = x + x ? a ( x > 0 ) x x x2 x2
2 方程 x + x ? a = 0 的判别式 ? = 1 + 4a

当 a ≤ ? 4 时, ? ≤ 0

1

f '( x) ≥ 0

f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 单调递增

(3 分 )

1 <a≤0 2 当 4 时, ? > 0 方程 x + x ? a = 0 有两个根均小于等于零 ?

f ' ( x ) ≥ 0 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 单调递增
当 0 < a 时, ? > 0
2 方程 x + x ? a = 0 有一个正根

(5 分)
?1 + 1 + 4 a , f ( x ) 在 ? 0, ?1 + 1 + 4a ? 单调 2 ? ? ? ? 2 ? ?

递减,在 ? ?1 + 1 + 4a , +∞ ? 单调递增
? ? ? 2 ? ? ?

(7

分) 综上 当 a ≤ 0 时, f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 单调递增;

当 0 < a 时,

? ?1 + 1 + 4 a ? ? ?1 + 1 + 4 a ? , +∞ ? ? 0, ? ? ? 单调递减 f ( x ) 在 ? ? ? 2 2 f ( x) 在? ? ? ? 单调递增
? 1

(8 分)
?

2 ? (2) y ' = x ? a ( 0 < x ≤ 3 ) , k = y ' | = x0 ? a ≤ 1 ( 0 < x ≤ 3) 恒成立 ? a ≥ ? ? 2 x0 + x0 ? ? x = x0 0 max 2 x2 2 x0

当 x0 ∴

= 1 时, ?

1 2 x0 + x0 取得最大值 1 。 2 2

a≥

1 2, ∴

amin =

1 2

(14 分)

② 解:(1)设 | CA | + | CB |= 2a ( a > 3 )为定值,所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的
椭圆,所以焦距 2c =| AB |= 2 3 . 分) 因为 (2

cos C =

| CA |2 + | CB |2 ?(2 3) 2 (| CA | + | CB |) 2 ? 2 | CA || CB | ?12 2a 2 ? 6 = = ?1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |

又 | CA | ? | CB |≤ (

2a 2 6 6 1 ) = a 2 ,所以 cos C ≥ 1 ? 2 ,由题意得 1 ? 2 = ? , a 2 = 4 . 2 a a 2 x2 + y 2 = 1 ( y ≠ 0) 4
(6 分)

所以 C 点轨迹 G 的方程为
(2) .由题意知,|m|≥1.

当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 M,N 的坐标分别为?1,

?

3? ? 3 , 1,- ?,此时|MN| 2? ? 2?

= 3. 当 m=-1 时,同理可知|MN|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m), ?y=k(x-m), ? 由?x2 2 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. +y =1 ? ?4 设 M,N 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 4k2m2-4 8k2m 则 x1+x2= ,x x = , 1+4k2 1 2 1+4k2 |km| 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 2 =1,即 m2 k2=k2+1, k +1 所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 2 2 4 2 ? 64k m -4(4k m -4)?=4 3|m|. = (1+k2)? ? 2 2 1+4k2 ? m2+3 ?(1+4k ) 由于当 m=±1 时,|MN|= 3. 4 3|m| 所以|MN|= 2 ,m∈(-∞,-1 ]∪[1,+∞). m +3

(7 分)

(8 分)

(12 分)

[来源:学科网 ZXXK]

因为|MN|=

4 3|m| 4 3 = ≤2,且当 m=± 3时,|MN|=2. 2 3 m +3 |m|+ |m| (14 分)

所以|MN|的最大值为 2.

21. 【解析】 (1) f ′( x) = 2ax + b ,有题意知 b = 2n , 16n 2 a ? 4nb = 0 [来源:学科网]
1 1 , b = 2n ,则 f ( x) = x 2 + 2nx, n ∈ N * 2 2 1 1 数列 {an } 满足 = f ′( ) 又 f ′( x) = x + 2n , an +1 an

∴a =

(2 分)


?

1 an +1

=

1 + 2n , an



1 an +1

?

1 = 2n , an

1 1 ? = 2 + 4 + 6 + L + 2(n ? 1) = n 2 ? n an 4

1 1 1 4 = (n ? ) 2 ? an = = (n ∈ N*) 1 2 (2n ? 1) 2 an 2 (n ? ) 2

当 n = 1 时, a1 = 4 也符合

(6 分)

(2)①由 b1 = 1 得 b2 =

1 , 3

由 bn bn +1 =

1 1 bn bn +1 2n + 3 an +1 = = 得 2 2n + 1 bn + 2bn +1 2 n + 1

[来源:Zxxk.Com][来源:Z§xx§k.Com]



bn + 2 2n + 1 b 4n ? 1 = ∴ 2 n +1 = <1 2n + 3 bn b2 n ?1 4n + 1

∴ b2 n +1 < b2 n ?1
b2 n = 1 5 4n ? 3 L 3 7 4n ? 1
, b2 n +1 =



1 bn + 2 2n + 1 = 及 b1 = 1 , b2 = 可得: 3 bn 2n + 3 4n ? 3 4n ? 1 < ∴ b2 n < b2 n +1 4n ? 1 4n + 1

3 7 4n ? 1 L 5 9 4n + 1
(10 分)

Q

②由 bn bn +1 =

1 1 1 1 an +1 = = 2n + 1 , = 2n + 3 相减得 得 2 2n + 1 bnbn +1 bn + 2bn +1
由①知: bn ≠ bn +1

1? 1 1? bn +1 = ? ? ? 2 ? bn + 2 bn ?
所以 b1 + b2 + b3 + L bn = 1 +

1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? + ? +L ? [来源:学科网] 2 ? b3 b1 b4 b2 bn +1 bn ?1 ?
(14 分)

1? 1 1 1 1? 1? 1 1? 1 1 = 1+ ? ? ? + + ? = ?1 + ? + ? > ?1 + = 2n + 1 ? 1 2 ? b1 b2 bn +1 bn ? 2 ? bn +1 bn ? bn +1 bn


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