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江苏省淮阴中学2013届高三(上)期末数学练习题

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习一

一、填空题.
1. 将函数 f ( x) ? 2 cos( ?

x 3

?
6

) 的图象向左平移

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到 .

函数 g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析式为 2.

已知关于 x 的不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集是 (??, ) ? (?1,??) , 则实数 a 的取值范围是 . .

1 a

3.

设变量 x, y 满足 | x | ? | y |? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值为

4. 若角 ? 的终边落在射线 y =—x(x ? 0) 上,则

sin ? 1-sin 2 ?

+

1-cos2 ? = cos ?

5.已知非零向量 a,b 满足|a|=|a+b|=1,a 与 b 夹角为 120°,则向量 b 的模为 6.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2? :1, 该长方体的最大体积是________. 7.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ?

4 ? ? ,则 tan( ? ) 的值为________. 5 2 4

8. 设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y ) 在曲线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) ,设线段

y

A
O

B
? 2
3 , 3

?

x

AB 的长为 f ( x) ,则函数 f ( x) 单调递增区间



9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1,A=60° ,c= 则△ABC 的面积为 .

1 1 10. 当 0 ≤ x ≤ 时, | ax ? 2x3 |≤ 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 2
* * 11. 已知 f (1,1) ? 1 , f (m, n) ? N ,对任意 m, n ? N 都有:

(1) f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ; (2) f (m ? 1,1) ? 2 f (m,1) .则 f (11,11) 的值为

12. 在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则

a 的取值范围是 b

?2 x ? 1, x?0 ? 13.已知定义在 (?1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 3x ? 1 ,若 f (3 ?a 2 ) ? f (2 a ) , , ? 1 ? x ? 0 ? ? x ?1
则实数 a 取值范围为 . 14.已知函数 f(x)=2x2+m 的图象与函数 g(x)=ln|x|的图象有四个交点, 则实数 m 的取 值范围为 .

二、解答题。
15. (本小题满分 14 分) 设 a ? ( x,1) , b ? (2, ?1) , c ? ( x ? m, m ?1) ( x ? R, m ? R ) . (Ⅰ)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 a ? c ? a ? c .

?

?

?

?

?

? ?

? ?

16. (本小题满分 14 分)

A1 B1

C1

如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.

A B (第 16 题)

C D

17.(本小题满分 14 分)某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图 中实线部分所示.其上部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜 边的等腰直角三角形, DE、 DF 是两根支杆, 其中 AB=2 m, ∠EOA π =∠FOB=2x(0<x< ).现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩 4 灯,在弧 AE、弧 BF、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若每种 灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比 例系数为 2k, 节能灯的比例系数为 k(k>0), 假定该霓虹灯整体的 “心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

18.(本小题满分 16 分)如图 ?ABC 中,AB=AC= 恰好过 AC 的中点 P . (1)求椭圆的标准方程;

7 ,BC=2,以 B、C 为焦点的椭圆 2

(2)过椭圆的右顶点 A1 做直线 l 与圆 E : ( x ?1) ? y ? 2 相交于 M,N 两点, 试探究点 M,N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1:3 的两段弧吗?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说 明理由。
2 2

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3 (1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横
坐标的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件 的所有直线方程;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 16 分)
2 2 已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 n=3n an+Sn-1,

an≠0,n≥2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值; (2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.

期末复习一答题纸
一、填空题 1、______________ 5、 9、 13、 二、解答题 15、 (14 分) 2、______ 6 、 10、 14、 _______ 3、 7、_____ 11.、 4、 ___8、 12、

16、 (14 分)
A1 C1

B1

A B (第 16 题)

D

C

17、 (14 分)

18、 (16 分)

19、 (16 分)

20、 (16 分)

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习一
1、 g ( x) ? 2 cos( 7、

1 ? 3 1 3 ;8、 [ , ? ] ; 9. ;10、 [? , ] ;11、1044;12、 ( 2 , 3 ) ; 6 2 2 3 2 1 1 13. ( ? ,1) ;14.(-∞,- -ln2) 2 2 ? ? ? ? 1 15.(1)由题知: a ? b ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ;又当 x ? ?2 时, a 与 b 的夹角为 ? , 2 ? ? 1 所以当 a 与 b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为 (??, ?2) ? (?2, ) .…………………6 2
分 ( 2 )由 a ? c ? a ? c 知, a ? c ? 0 ,即 ( x ? 1)[x ? (m ? 1)]? 0; ……………………8 分 当 m ? 2 时,解集为 {x m ?1 ? x ? 1} ;………………………………10 分 当 m ? 2 时,解集为空集;………………………………12 分 当 m ? 2 时,解集为 {x 1 ? x ? m ?1} .………………………………14 分 16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. …………………5 分 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. …………………7 分 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. …………………11 分 因为 OD?平面 ADC1,A1B? / 平面 ADC1, 所以 A1B//平面 ADC1. (证法二)
∥BD. 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 =

x ? ? ) ? 1 ;2、 [?1,0) ;3、 2 ;4、0; 5.1 ;6、3; 3 4

?

?

? ?

? ?

…………………14 分

所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. 因为 C1D?平面 ADC1,D1B? / 平面 ADC1,所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1.

A1 B1

C1

A1 B1

D1

C1

O

A B

C D

A B

C D

(第 16 题图)

(第 16 题图)

17.解:(1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 π-4x,2x,2x.(3 π 分)连结 OD,则由 OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+2, π 1+1-2cos? 2 x+ ?= 2+2sin2x= 2(sinx+cosx).(6 分) 2 所以 y=2k[2 2(sinx+cosx)+π-4x]+k(2 2+4x)=2k[2 2(sinx+cosx)-2x+ 2+ π](9 分) π 1 π (2) 因为由 y′=4k[ 2(cosx-sinx)-1]=0,解得 cos(x+ )= ,即 x= .(13 分) 4 2 12 π π 又当 x∈(0, )时,y′>0,所以此时 y 在(0, )上单调递增; 12 12 π π π π 当 x∈( , )时,y′<0,所以此时 y 在( , )上单调递减. 12 4 12 4 π 故当 x= 时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.(16 分) 12 7 18.解: ? AB ? AC ? , BC ? 2, ? OB ? OC ? 1, 2 49 3 5 2 2 OA ? AC ? OC ? ?1 ? 4 2 所以 DE=DF=

3 5 1 3 5 ? B(?1, 0), C (1, 0), A(0, ) ? P( , ) 2 2 4 1 3 5 1 3 5 依椭圆的定义有: 2a ? PB ? PC ? ( ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 4 2 4 2 4

? a ? 2, 又c ? 1,? b 2 ? 3 ? 椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 4 3 椭圆的右顶点 A1 (2, 0),圆E圆心为 E (1, 0), 半径 r ? 2 . 假设点 M、N能将圆 E分割成弧长比值为 1 : 3的两段弧, 2 r ?1 2

则?MEN ? 90?,圆心 E( 1,0 )到直线 l的距离 d ? 当直线 l斜率不存在时, l的方程为 x ? 2, 此时圆心 E (1, 0)到直线的距离为 d ? 1(符合 )

当直线 l斜率存在时, l的方程为 y ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 0 ? 1(无解 ) k 2 ?1 综上:点 M、N能将圆 E分割成弧长比值为 1 : 3的两段弧,此时 l方程为 x ? 2
19. (本小题满分 16 分) 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ?1, 即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ?? 1,??? ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1
2

此时圆心 E (1, 0)到直线的距离为 d ?

k

? ? k ? ?1 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 , ? ? ?1 ? ? k
2

由 ? 1 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 或 x ? 4 x ? 3 ? 1 得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2,?? ; (3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x2 , y 2 ) ,

?

?

?

?

x1 ? x 2 ,
则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3 x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) ,

1 3

3

2

2

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? x 2 ? 2 x 2 ) , 3
化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (?
2

由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4x1 ? 3 ? x2 ? 4x2 ? 3 ,得 x1 ? x2 ? 4 ,----------------------13 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 2 ? 12 ? 0 3
即 (4 ? x2 ) ? 4 ? x2 ? 12 ? 0 , x2 ? 4x2 ? 4 ? 0 得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分 20. (本小题满分 16 分)
2 2 解: (1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

2

2

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2, 因 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a. …………2 分 因数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3.…4 分 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 经检验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① ……6 分 2 所以 Sn+1+Sn=3(n+1) ,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ …………8 分 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,…,及数列 a3,a5,a7,…都是公差为 6 的等差数列, ………10 分 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

?a,n=1, ? 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ? ?3n-2a+6,n为偶数,

…………12 分

要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1, 即 a<12-2a, 3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数),

9 15 9 15 解得 <a< .所以 M=( , ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列. ………16 分 4 4 4 4


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