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三角函数模型及正、余弦定理的应用

三角函数模型及正、余弦定理的应用
一、三角函数模型的应用
π? π 1.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin(2x+φ)? ) ?0<φ<2?的图象,则 φ=( 12 π π π π A. B. C. D. 3 4 6 12 π π π x+ ?=sin ?2x+ ?的图象,故 解析:将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin 2? 6? ? 12? ? 12 π π π φ=2kπ+ (k∈Z),又 0<φ< ,所以 φ= . 6 2 6 答案:C π ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象( 2.已知函数 f(x)=sin ? ) 3? ? π ? π A.关于直线 x= 对称 B.关于点? ?3,0?对称 3 π ? π C.关于直线 x=- 对称 D.关于点? ?6,0?对称 6 π? 2π ?π? ?2 π? 解析:由题意知 T= =π,则 ω=2,所以 f(x)=sin ? ?2x+3?,又 f?3?=sin ?3π+3?=sin π=0. ω 答案:B 3.为把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移 π 个单位,这时对应于这个图象的解析式( 4 A.y=cos 2x π C.y=sin(2x- ) 4 )

B.y=-sin 2x π D.y=sin(2x+ ) 4

解析:函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩为原来的一半得到函数 y=sin 2x 的图象,再把图象向 π? π? π ? 左平移 个单位,得到函数 y=sin 2? ?x+4?=sin ?2x+2?=cos 2x 的图象. 4 答案:A 4.如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)的图象的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,若

???? ??? ? PN =0,则 ω=( PM ·
A.8

) π B. 8 π C. 4 D.4

???? ??? ? 解析:由 PM · PN =0 得 PM⊥PN,又 PM=PN,
所以△PMN 为等腰直角三角形, 2π π 因此 MN=2yP=4,T=8= ,得 ω= . ω 4 答案:C π 1 5. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0, ω>0,0<φ< )的图象如图所示, 则当 t= 秒 2 100 时,电流强度是( ) A.-5 安 B.5 安 C.5 3安 D.10 安 T 4 1 1 解析:由函数图象知 A=10, = - = . 2 300 300 100 1 2π ∴T= = ,∴ω=100π. 50 ω ∴I=10sin(100πt+φ).
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1 ? 又∵点? ?300,10?在图象上, 1 ? ∴10=10sin ? ?100π×300+φ? π π π ∴ +φ= ,∴φ= , 3 2 6 π? ∴I=10sin ? ?100πt+6?. 1 π? 1 当 t= 时,I=10sin ? ?100π×100+6?=-5. 100 答案:A 6.给出下列六种图象变换方法: 1 (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ; 2 (2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; π (3)图象向右平移 个单位; 3 π (4)图象向左平移 个单位; 3 2π (5)图象向右平移 个单位; 3 2π (6)图象向左平移 个单位. 3 x π? 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图象变换到函数 y=sin ? ?2+3?的图象,那么这两种变 换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). π? ?2? ?4 ? 解析:y=sin x― ― →y=sin ? ― → ?x+3?― x π? 1 ?6 ? ?2 ? y=sin ? ― →y=sin x― ― → ?2+3?,或 y=sin x― 2 2π x π 1 x+ ?=sin ? + ?. y=sin ? 3? ?2 3? 2? 答案:(4)(2)或(2)(6) 7.如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC,该曲线段是函 2π? 数 y=Asin ? ?ωx+ 3 ?(A>0,ω>0),x∈[-4,0]时的图象,且图象的最高点为 B(-1,2).赛道的中间部分为长

? . 3千米的直线跑道 CD,且 CD∥EF,赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE (1)求 ω 的值和∠DOE 的大小; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路 EF 上,一个 ? 上,且∠POE=θ,求当“矩形草坪”的面积取最大值时 θ 顶点在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 的值. T 解:(1)由条件,得 A=2, =3. 4 2π π ∵T= ,∴ω= . ω 6 π 2π? ∴曲线段 FBC 的解析式为 y=2sin ? ?6x+ 3 ?. 当 x=0 时,y=OC= 3. π π 又 CD= 3,∴∠COD= ,即∠DOE= . 4 4 (2)由(1),可知 OD= 6. ? 上, 又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P 在 DE 故 OP= 6.
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π 设∠POE=θ,0<θ≤ ,“矩形草坪”的面积为 4 S= 6sin θ( 6cos θ- 6sin θ)=6(sin θcos θ-sin2θ) 1 1 1? =6? ?2sin 2θ+2cos 2θ-2? π? =3 2sin ? ?2θ+4?-3. π π π ∵0<θ≤ ,故当 2θ+ = , 4 4 2 π 即 θ= 时,S 取得最大值. 8

二、正、余弦定理的应用
1.在某次测量中,在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70° , 且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 B. 17 ) C. 18 D. 19

解析:因∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC =4+9-2×2×3×cos 120° =19. ∴BC= 19. 答案:D 2.地上画了一个角∠BDA=60° ,某人从角的顶点 D 出发,沿角的一边 DA 行走 10 米后,拐弯往另一边 的方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点,我们将该点记为点 N,则 N 与 D 之间的距离为 ( ) A.14 米 C.16 米 B.15 米 D.17 米

解析:如图,设 DN=x m, 则 142=102+x2-2×10×xcos 60° , ∴x2-10x-96=0, ∴(x-16)(x+6)=0, ∴x=16 或 x=-6(舍). ∴N 与 D 之间的距离为 16 米. 答案:C 3.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东 方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D, 测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是( A.10 米 C.10 3米 ) B.10 2米 D.10 6米

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BC CD 解析: 在△BCD 中, CD=10, ∠BDC=45° , ∠BCD=15° +90° =105° , ∠DBC=30° , = , sin 45° sin 30° CDsin 45° AB BC= =10 2.在 Rt△ABC 中,tan 60° = ,AB=BCtan 60° =10 6. sin 30° BC 答案:D 4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方 向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的 仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m ) B.100 m D.150 m

解析:设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB=100,BC= 3h, 根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° ,即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0, 即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案:A 5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那 么 B、C 两点间的距离是( A.10 2海里 解析:如图所示, 由已知条件可得,∠CAB=30° , ∠ABC=105° , 1 即 AB=40× =20(海里). 2 ∴∠BCA=45° . ∴由正弦定理可得: AB BC = . sin 45° sin 30° ) B.10 3海里 C.20 2海里 D.20 3海里

1 20× 2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 答案:A 6.如图,在汶川地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象, 这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x=________. 解析:由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° , ∴∠BAC=180° -75° -45° =60° . ∴ x 10 10 6 = .∴x= . sin45° sin60° 3
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10 6 答案: 3 7.如图,一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后, 船到 B 处, 看到这个灯塔在北偏东 15° 方向, 这时船与灯塔的距离为________ km. 解析:如图所示,依题意有 AB=15×4=60, ∠MAB=30° ,∠AMB=45° ,在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° 解得 BM=30 2. 答案:30 2 8.某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6 km 的 C,D 两地测得 ∠ACD=45° ,∠ADC=75° ,∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图,其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工 单位至少应该准备多长的电线? 解:在△ACD 中,∠ACD=45° ,CD=6,∠ADC=75° , 所以∠CAD=60° CD AD 因为 = , sin∠CAD sin∠ACD CD×sin∠ACD 所以 AD= = sin∠CAD 6× 2 2 =2 6. 3 2

在△BCD 中,∠BCD=30° ,CD=6,∠BDC=15° , 所以∠CBD=135° CD BD 因为 = , sin∠CBD sin∠BCD CD×sin∠BCD 所以 BD= = sin∠CBD 1 6× 2 =3 2. 2 2

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90° 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD2+BD2= ?2 6?2+?3 2?2= 42. 6 所以电线长度至少为 l=1.2×AB= 42(单位:km) 5 6 答:施工单位至少应该准备长度为 42 km 的电线. 5

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9.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船 立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA 成 θ 角,求 f(x)=sin2θsin x+ R)的值域. 解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120° =700. ∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里. sin θ sin 120° (2)∵ = , 20 10 7 ∴sin θ= 3 . 7 4 . 7

??? ?

3 2 cos θcos x(x∈ 4

∵θ 是锐角,∴cos θ= f(x)=sin2θsin x+ =

3 2 3 3 cos θcos x= sin x+ cos x 4 7 7

π? 2 3 sin ? ?x+6?, 7

2 3 2 3? ∴f(x)的值域为?- . ? 7 , 7 ? 10.如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值. 解:因为 CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60° -θ, ∴∠OCP=120° . 在△POC 中,由正弦定理得 OP CP 2 CP = ,∴ = , sin 120° sin θ sin ∠PCO sin θ 所以 CP= 又 4 sin θ. 3

OC 2 4 = ,∴OC= sin(60° -θ). sin?60° -θ? sin 120° 3

因此△POC 的面积为 1 S(θ)= CP· OCsin 120° 2 1 4 4 3 = · sin θ· sin(60° -θ)× 2 3 2 3 = 4 sin θsin(60° -θ) 3

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4 3 1 sin θ? cos θ- sin θ? 2 ?2 ? 3 1? 2? 3 ?cos?2θ-60°?-2?,θ∈(0°,60°).所以当 θ=30°时,S(θ)取得最大值为 3 . ? ? 3



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