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立体几何二

立体几何二
1.在下列命题中,不是公理的是 .. (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 2.某四棱太的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是 A.4 B. C. D.6

3.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别为 V1, V 2, V 3, V 4, 这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有
A .V1 ? V 2 ? V 4 ? V 3 B . V ? V ? V2 ? V4 1 3 C . V2 ? V ? V ? V4 1 3 D . V2 ? V3 ? V ? V4 1

4.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若α

⊥β ,m C.若 m⊥ n,m α

α ,n ,n

β ,则 m⊥ n β ,则α

B.若α ∥β ,m

α ,n

β ,则 m∥n

⊥β

D.若 m α ,m∥n,n∥β ,则α ) 2 4 4 主视 图 侧 视 图 4 2

⊥β
2 4 俯 视 图 2

5.某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( A、18+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π

6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面 恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为 ( ) 500π 3 866π 3 1372π 3 2048π 3 A、 cm B、 cm C、 cm D、 cm 3 3 3 3 7.已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 .若 A B ? 3, A C ? 4,
A B ? A C , A A1 ? 1 2, 则 球 O 的 半 径 为

A.

3 17 2

B. 2

10

C.

13 2

D. 3

10

8.已知正四棱锥 A B C D ? A1 B1C 1 D 1中 , A A1 ? 2 A B , 则 C D 与 平 面 B D C 1 所 成 角 的正弦值等于 (A)
2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

1 3

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 10. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

.

2

1

1

1

.

11.如图,正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 C C 1 上的动点,过 点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_________(写出所有正确 命题的编号) 。 ①当 0 ? C Q ? ③当 C Q ? ④当
3 4
3 4 1 2

时,S 为四边形;

②当 C Q ?
1 3

1 2

时,S 为等腰梯形

时,S 与 C 1 D 1 的交点 R 满足 C 1 R 1 ?


6 2

? C Q ? 1 时,S 为六边形;

⑤当 C Q ? 1 时,S 的面积为

12.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 13. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AA AB=3, BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求
BD B C1

的值.

14.如图,四棱锥 P ? A B C D 中 , ? A B C ? ? B A D ? 9 0 , B C ? 2 A D , ? P A B 与 ? P A D 都是等 边三角形.

?

(I)证明: P B

? CD;

(II)求二面角 A ?

P D ? C的 大 小 .

? 15.如图 5,在直棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 中 , A D // B C ,? B A D ? 9 0 ,
1

AC ? BD ,

B C ? 1,

A D ? A A1 ? 3 .

(I)证明: A C ? B 1 D ;

(II)求直线 B1 C 1与 平 面 A C D 1 所成角的正弦值。

16.如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是棱 SA , SC 的中点。 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA 。
S

E F A

G C

B

立体几何三
1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 为 BD 的中点,G 为 PD 的中点,△DAB △DCB,EA=EB=AB=1,PA= ,连接 CE 并延长交 AD 于 F (1) 求证:AD⊥平面 CFG; 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值

2.如图, A B 是 圆 的 直 径 , P A垂 直 圆 所 在 的 平 面 , C 是 圆 上 的 点 .
(I)求证: 平 面 P A C ? 平 面 P B C ; (II) 若 A B ? 2, A C ? 1 , P A ? 1 , 求 证 : 二 面 角 C ? P B ? A的 余 弦 值 .

3.如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ, BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值

4.如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,
A B ? A A1 ?

. (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D;
2

(Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 的大小.

D1 A1 B1

C1

D A O B C

A ? 5. 如图, 在三棱柱 A B C ? A1 B1C 中, 侧棱 A A1 ? 底面 A B C , B ? A C ? 2 A A1 , B A C ? 1 2 0 ,

?

D , D 1 分别是线段 B C , B1C 1 的中点, P 是线段 A D 的中点.

(Ⅰ)在平面 A B C 内,试作出过点 P 与平面 A1 B C 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l ? 平 面 A D D 1 A1 ; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 A B 于点 M ,交 A C 于点 N ,求二面角 A ? A1 M ? N 的余弦值.

C A C1 A1 P

D B D1 B1

6. 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为
2 6

, 求线段 AM 的长.

7.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60° . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 C C1

B A

B1

A1

B P 8. 在四棱锥 P ? A B C D 中, A ⊥底面 A B C D , C ? C D ? 2 ,A C ? 4 , A C B ? ? A C D ? ?
F 为 P C 的中点, A F ⊥ P B . (Ⅰ)求 P A 的长; (Ⅱ)求二面角 B ? A F ? D 的余弦值.

?
3




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