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高一数学几何平行垂直专项练习解析卷[打印9页]

高一数学几何平行垂直专项练习解析卷
1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E, F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。
A E B F C G

H D

2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。
E A

B

C

D

3、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点, 求证: A1C // 平面 BDE 。
B
1

A
1

D
1

E

C
1

A B

D C

1/9

4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90? , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .
S

D A C B

5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

6、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

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7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD.
D1 A1 B1 F E D A B G C C1

8、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?
?BDC ? 90? ,求证: BD ? 平面 ACD

2 AC , 2

9、如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点,PA ? PB, CB ? 平面 PAB ,M 是 PC 的中点, N 是 AB 上 的点, AN ? 3NB (1)求证: MN ? AB ; P ? (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2BC ? 4 时,求 MN 的长。
M

C

A N

B

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10、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点. 求证:平面 D1 EF ∥平面 BDG .

11、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点. (1)求证: A1C // 平面 BDE ; (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE .

12、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.

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13、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 600 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小.

14、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD.

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高一数学几何平行垂直专项练习参考答案
1. 证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD, EH ? 同理, FG // BD, FG ? (2) 90° 30 °
1 BD 2 1 BD ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2

考点:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角

2. 证明: (1)

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?

又∵ CE ? DE ? E

∴ AB ? 平面 CDE

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC

考点:线面垂直,面面垂直的判定

3. 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线 ∴ EO // A1C 又 EO 在平面 BDE 内, AC 在平面 BDE 外 1 ∴ A1C // 平面 BDE 。 考点:线面平行的判定 4. 证明:∵?ACB ? 90 ° ? B C? A C 又 SA ? 面 ABC ? SA ? BC ? BC ? 面 SAC ? BC ? AD SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 又 考点:线面垂直的判定

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5. 证明: AC ? B1D1 ? O1 (1)连结 A1C1 ,设 1 1 ,连结 AO1 ∵ ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 ? A1 ACC1 是平行四边形 ∴A1C1∥AC 且 A1C1 ? AC 又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO
? AOC1O1 是平行四边形 ? C1O∥AO1 , AO1 ?

面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1
?C C ? B D 1 1 !

∴C1O∥面 AB1D1

(2)? CC1 ? 面 A1 B1C1D1

∵A C ? B1 D1 又 1 1 , ? B1 D1? 面 A1 C1 C

即A1 C? B D 1 1

同理可证

A1C ? AD1





D1B1 ? AD1 ? D1

? A1C ? 面 AB1D1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定 考点:线面垂直的判定

7.

证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD.

(2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

// 1 8. 证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG ? AC 2 1 1 1 // FG ? BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? AC ,∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 2 2 2 ? AC ? CD ? C ∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , ∴ BD ? 平面 ACD
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形
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9. 证明: (1)取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PB 的中点, ∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴ MQ ? 平面 PAB ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ PA ?PB , ∴ PD ? AB , 又 AN ? 3NB ,∴ BN ? ND [来源:学§科§网] ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB 1 (2) ?APB ? 90? ,PA ? PB, ∴ PD ? AB ? 2 , QN ? 1 , MQ ? 平面 PAB .∴ MQ ? NQ , ∵ ∴ ∵ 2 1 且 MQ ? BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2 考点:三垂线定理

10. 证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G

EB ?四边形 D1GBE 为平行四边形, D1 E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1 E ∥平面 BDG
EF ? D1 E ? E

,?平面 D1 EF ∥平面 BDG

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) 11.证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC ∥ EO 1 又 A1C ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC ∥平面 BDE 1 (2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC ,
AC ? AA1 ? A

, BD ? 平面 A1 AC ,BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? 平面 A1 AC ? ?

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定

12.证明:在 ?ADE 中, AD2 ? AE 2 ? DE 2 ,? AE ? DE ∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ?DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2DE ,? ?DPE ? 300 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

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13. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 450 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

14. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF ? DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 考点:线面垂直的判定

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