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通州中学10月份月考试卷


江苏省通州高级中学高三年级第一次学分认定测试 数 学 试 题
命题:袁源 审核:严东来 张春明

(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定 位置上. 1.命题“ ? x ? R , x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

▲ .
2

2.若 a , b ? R ,集合 ?1,1 ? a ,1 ? 2 a ? ? ?1, b , b
1 x

? ,则 b ? a ?
▲ .





3.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q :

? 1 ,则 ? p 是 q 的

条件.

4.函数 f ( x ) ? lo g 5 (2 x ? 1) 的单调增区间是
n?



5.集合 M ? ? x x ? sin
?

?

? ? n? ? , n ? Z ? , N ? ? x x ? cos , n ? N ? ,则 M ? N ? 3 2 ? ? ?





2 6.对于函数① f ( x ) ? lg ( x ? 2 ? 1) ,② f ( x ) ? ( x ? 2 ) ,③ f ( x ) ? cos( x ? 2) ,判断如下三个命题的真

假: 命题甲: f ( x ? 2 ) 是偶函数;
? ? 命题乙: f ( x ) 在 ( ? ? ,) 上是减函数,在 ( 2, ? ) 上是增函数; ? 命题丙: f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 在 ( ? ? , ? ) 上是增函数.

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是





?1? ( x ? ? 1, p 为 负 常 数 ) g ( x ) ? ? ? 7. 已知 f ( x ) ? x ? , x ?1 ?2?
p

2? x

2

( x ? R ) 有相同值域, P 的值为 则

▲ .

8. 点 P 的曲线 y ? x ? x ?
3

2 3

上移动,在点 P 处的切线的倾斜角为α,则α的

取值范围是





9. 集合 ? x ? 1 ? lo g 1 1 0 ? ?
? ?
x

? ?

1

? ? , x ? N ? 的真子集的个数是 2 ? ?
高三数学学分认定测试





1

10. 已知函数 f ( x ) 为 R 上的奇函数且单调递减, x1 , x , 3x ? R 且 x1 ? x 2 ? 0 ,x 2 ? x 3 ? 0 ,x 3 ? x1 ? 0 , 若 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) 的值与 0 的大小关系为:
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )



0(填“ ? ”或“ ? ” 或“ ? ”或“ ? ”或“ ? ” ).

11.如果关于 x 的方程 a x ? 取值范围为 ▲

1 x
2

? 3 在区间 ? 0 , ? ? ? 上有且仅有一个解,则实数 a 的



12.若定义在 R 上的减函数 y ? f ( x ) ,对于任意的 x , y ? R ,不等式 f ( x ? 2 x ) ? ? f ( 2 y ? y ) 成立.且函
2 2

数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0 ) 对称,则当 1 ? x ? 4 时, 取值范围是 ▲ .

y x



13.实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 2 xy ? yz 的最大值是
2 2 2





14.设 a 是实数,且方程 x ? 3 a x ? a (1 ? 5 a ) x ? 3 a ? a ? 1 ? 0 有实根且不同的实根至多有两个,则 a
4 3 2 4 2

的值为





二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案 写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) (1) 设角 ? , ? 为锐角,且 s in ? ?
? ? 5 5 , s in ? ? 10 10

,求 ? ? ? 的值;
? ? ? ? 2? ? ? 的值. 12 ? ?

(2) 设角 ? 为第三象限角,若 c o s ? ? ?

? ?

4 ? ? ,求 s in 3 ? 5

16.(本小题满分 14 分) 已知命题: p : ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 ,命题 q : 1 ? m ? x ? 1 ? m ( m ? 0 ) . (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围;
高三数学学分认定测试 2

(2)若 m ? 5 , " p 或 q " 为真命题, " p 且 q " 为假命题,求实数 x 的取值范围.

17.(本小题满分 15 分) 设函数 f ( x ) ? x ( x ? 1) , x ? 0 .
2

(1)求 f ( x ) 的极值; (2)设 0 ? a ≤ 1 ,记 f ( x ) 在 ? 0 , a ? 上的最大值为 F ( a ) ,求函数 G ( a ) ?
F (a ) a

的最小值.

18.(本小题满分 15 分) 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包 含 3 个方面:①下潜时,平均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用氧量为 c v ( c 为正常数);②在水底作业 需 5 个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;③返回水面时,平均速度为 量为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.
v 2
2

(米/单位时间), 单位时间用氧

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 3 x
3

(1)若函数在开区间 ( m ? 9, 9 ? m ) 上存在最大值与最小值,求实数 m 的取值范围; (2) g ( x ) ? ? x ? 2 x ? sin x ,且 f ( x ) ? g ( x ) ? a x co s x 在 ? 0 , ? 上恒成立,求 a 的取值范围. ? 2?
3

?

? ?

高三数学学分认定测试

3

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a | ln x ? 1 | , g ( x ) ? x | x ? a | ? 2 ? 2 ln 2, a ? 0 .
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最大值; (2)若 f ( x ) ?
3 2 a , x ? [1, ? ? ) 恒成立,求 a 的取值范围;

(3)对任意 x1 ? [1, ? ? ) ,总存在惟一的 x 2 ? [ 2, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立, 求 a 取值范围. ...

答案: 1、 ? x ? R , x ? 1 ? 0
2

2、

1 4

3、充分不必要 7、 25 64
? ?

4、 ? ?
?

?

1

? , ?? ? 2 ?

5、 ? 0 ? 9、 2
90

6、②
?1
3 2

8、 ? 0 , 12、 ? ?
? ?

? ?
1 2

? 3? ? ,? ? ?? ? 2 ? ? 4 ?

10、

?
2

11、 a ? 0 或 a ? 2
26 13

,1

? ? ?

13、

14、 ?

15、 (1)

?
4

(2)

17 50

2

16、 (1) ? 4 , ? ? ?

(2) ? ? 4 , ? 1 ? ? ? 5, 6 ?

17、解:⑴ f ? x ? ? ? 3 x ? 1 ? ? x ? 1 ? 令 f ? x ? ? 0 ,得 x1 ?
' '

1 3

, x2 ? 1 , f

? x ? 区间 ? 0 ,
?

?

1? ?1 ? ? , ? ,1 ? , ? 1, ? ? ? 3? ?3 ?

分别单调增,单调减,单调增,于是当 x ?

1 3

时,有极大值 f ?

4 ?1? ; x ? 1 极小值 f (1) ? 0 , ?? 27 ?3?

⑵由(1)知 f ? x ? 区间 ? 0 , ? , ?
?

?

1? ?1

? ,1 ? , ? 1, ? ? ? 分别单调增,单调减,单调增, 3? ?3 ?
高三数学学分认定测试 4

所以当 0 ? a ?

1 3

时, G ? a ? ?

F ?a? a

? ? a ? 1? ?
2

4 9

,特别当 a ?

1 3

时,有 G ? a ? ?

4 9





1 3

? a ? 1 时, F 4 27

? a? ?

?1? f ? ? ,则 G ? a ? ? ?3?

?1? F ? ? ?3? a

?

4 27 a

?

4 27

,所以对任意的 0 ? a ? 1 ,

G ( a ) m in ?

18、

19、 (1) ? 7 , 8 ? (2)当 a≤ 0 时, x ? sin x≥ 0≥ a x co s x 恒成立.???????????????8 分 当 a ? 0 时,令 m ( x ) ? x ? sin x ? a x co s x ,
m ' ( x ) ? 1 ? co s x ? a (co s x ? x sin x ) ? 1 ? (1 ? a ) co s x ? a x sin x

. ,

①当 1 ? a≥ 0 ,即 0 ?
? 2?

a ≤1 时, m ' ( x ) ? 1 ? ? 1 ? a ? co s x ? a x sin x ? 0

所以 m ( x ) 在 ? 0, π ? 上为单调增函数. 所以 m ( x )≥ m (0) ? 0 ? sin 0 ? a ? 0 ? cos 0 ? 0 ,符合题意. ??????10 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,令 h ( x ) ? m ' ( x ) ? 1 ? (1 ? a ) co s x ? a x sin x , 于是 h' ( x ) ? (2 a ? 1) sin x ? ax cos x . 因为 a ? 1 ,所以 2 a ? 1 ? 0 ,从而 h ' ( x )≥ 0 . 所以 h ( x ) 在 ? 0, π ? 上为单调增函数.
? 2?

所以 h (0 )≤ h ( x ) ≤ h

? π ? ,即 2 ? a≤ h ( x )≤ π a ? 1 , 2 2
高三数学学分认定测试 5

亦即 2 ?

a ≤ m ' ( x )≤

π a ? 1 .????????????????12 2



(i)当 2 ?

a≥ 0 ,即 1 ? a ≤ 2
? 2?

时, m ' ( x )≥ 0 ,
0

所以 m ( x ) 在 ? 0, π ? 上为单调增函数.于是 m ( x )≥ g (0 ) ? (ii)当 2 ? a
? 0

,符合题意.??14 分

,即 a

? 2

时,存在 x 0 ?

? 0, π ? ,使得 2

当 x ? (0,x 0 ) 时,有 m ' ( x ) ? 0 ,此时 m ( x ) 在 (0, x 0 ) 上为单调减函数, 从而 m ( x ) ? m (0 ) ? 0 ,不能使 m ( x ) ? 0 恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围为 a ≤ 2 .???????????16 分

20、解: (Ⅰ)当 a

2 ? 1 , x ? [1, e ] 时 f ( x ) ? x ? ln x ? 1 , f ? ( x ) ? 2 x ?

1 x

? f ? (1) ? 1 ,

所以 f ( x ) 在 [1, e ] 递增,所以 f ( x ) m ax ? f ( e ) ? e … …………………………4 分
2

2 (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x



? a ? 0 ,? f ( x ) ? 0 恒成立,

? f ( x ) 在 [ e , ?? ) 上增函数,故当 x ? e 时, y min ? f ( e ) ? e ……… ……………5 分
2

2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

?

2 x

(x ?

a 2

)( x ?

a 2

),

(i)



a 2

? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ? ( x ) 在 x ? (1, e ) 时为正数,

所以 f ( x ) 在区间 [1, e ) 上为增函数, 故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f ( e ) ? e …… ……………………7 分
2

(ii)当 1 ?

a 2

? e ,即 2 ? a ? 2 e 时,
2

f ? ( x ) 在 x ? (1,

a 2

) 时为负数,在间 x ? (

a 2

, e ) 时为正数,

所以 f ( x ) 在区间 [1,

a 2

) 上为减函数,在 (

a 2

, e ] 上为增函数,

故当 x ?

a 2 a 2

时, y min ?

3a 2

?

a 2

ln

a 2



且此时 f (

) ? f ( e ) ? e ……………………………………… ……………………8 分
2

高三数学学分认定测试

6

(iii)当

a 2

2 ? e ,即 a ? 2 e 时, f ? ( x ) 在 x ? (1, e ) 时为负数,

所以 f ( x ) 在区间[1,e]上为减函数, 故当 x ? e 时, y min ? f ( e ) ? e …………… ………………………………………9 分
2

综上所述,函数 y ? f ( x ) 的最小值为 y min

? 1 ? a ,0 ? a ? 2 ? 3a a a 2 ? ? ? ln , 2 ? a ? 2 e 2 2 ? 2 2 2 e , a ? 2e ?

………10 分

所以当 1 ? a ? 当
3 2 a? a 2 3 2 ln a 2

3 2

a 时,得 0 ? a ? 2 ; 3 2
2

?

a ( 2 ? a ? 2 e )时,无解;
2

当e ?
2

a ( a ? 2 e )时,得 a ?

2 3

e 不成立.

综上,所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 …………………………………………11 分 (Ⅲ)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 单调递增, 由 g ( 2)? 6 ? 2 a ? 2 ln 2 ? 1 ? a ,得 ②当 1 ? 得
a 2 ? a 2 a 2 ln a 2 a 2 ) , h ? ( t ) ? 2 ? ln t ? 0 (1 ? t ? 2 ) , ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 5 3 ? 2 3 3a 2 ? a 2 ln a 2 ln 2 ? a ? 2 … ………………12 分

? 2 时, g ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 先减后增,由 g ( 2)? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 ?

,

设 h ( t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2 ( t ?

所以 h ( t ) 单调递增且 h ( 2 ) ? 0 ,所以 h ( t ) ? 0 恒成立得 2 ? a ? 4 … … …………14 分 ③当 2 ?
a 2 ? e 时, f ( x ) 在 [ 2 ,
2

a 2

] 递增,在 [ ? a 2 ln a 2

a 2

, a ] 递减,

y

在 [ a , ? ? ) 递增,所以由 g ( ) ?
2
a
2

a

3a 2

,
a

a

x



?

3a 2

?

a 2

ln

a 2

2 2 ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,设 m ( t ) ? t ? 3 t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2 ,

4

则 m ? ( t ) ? 2 t ? 2 ? ln t ? 0 ( t ? ( 2, e ) ,所以 m ( t ) 递增,且 m ( 2 ) ? 0 ,
2

所以 m ( t ) ? 0 恒成立,无解. ④当 a ? 2 e 时, f ( x ) 在 [ 2 , ] 递增,在 [
2

a

a 2

, a ] 递减,在 [ a , ? ? ) 递增,

2

高三数学学分认定测试

7

所以由 g ( ) ? e 得
2

a

a

2

? e ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 无解.
2

4
5 2 3 ln 2 , 4 ) ………………16 分

综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ?
3
? 1 ? 2 ? ? ?? 1 ? 4 ? ? ? ? 1? 2? ? 0

21、 A ? 1

22、

23、 (1) y ? ?

x c o s x ? s in x ? ln 2 x ? 1 x
2

(2)

2? ? ? y ? ? 2 s in ? 4 x ? ? ln x ? 3 ? ?

? ? 2 ? s in ? 2 x ? ? 3 ? ?
x

24、 【解析】 (1)以 D 为原点,建立空间直 角坐标系 D ? xyz , 如图所示,则 A ? 3, 0 , 0 ? , C 1 ? 0 , 3, 3 ? , A C 1 ? ? ? 3, 3, 3 ? ,
???? ? D 1 ? 0, 0, 3 ? , E ? 3, 0, 2 ? , D 1 E ? ? 3, 0, ? 1 ? .
高三数学学分认定测试 8

???? ?

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? A C 1 ? D1 E ?9 ? 3 2 30 ? ? , 所以 c o s ? A C 1 , D 1 E ? ? ???? ???? ? ? ? 15 3 3 ? 10 A C 1 D1 E
2 30 15

即两条异面直线 A C 1 与 D 1 E 所成角的余弦值为
??? ? ???? ? ?

.

(2) B ? 3, 3, 0 ? , B E ? ? 0 , ? 3, 2 ? , D 1 E ? ? 3, 0 , ? 1 ? . 设平面 B E D 1 F 的一个法向量为 n ? ? x , y , z ? ,
? ???? ? ? n ? D1 E ? 0 ? 3x ? z ? 0 ? 由 ? ? ??? 得? , ? ??3 y ? 2 z ? 0 ? n ? BE ? 0 ?

所以 ?

? y ? 2x ? z ? 3x

,则 n ? ? x , 2 x , 3 x ? , 不妨取 n ? ? 1, 2, 3 ? ,

?

?

设 直线 A C 1 与平面 B E D 1 F 所成角为 ? ,则
???? ? ? ?3 ? 6 ? 9 2 42 s in ? ? c o s ? A C 1 , n ? ? ? . 21 3 3 ? 14

所以直线 A C 1 与平面 B E D 1 F 所成角为

2

42 21

.

高三数学学分认定测试

9

月考检测阅卷分工
填空题:任辉 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23: 24: 张益新 汤建峰 黄俊 王新 瞿红梅 马俊 叶明华 曹兵 姚振飞 邵春燕 曹芬 薛国均 王淦华 袁源 管宏斌 严东来 邢飞 秦娟

高三数学学分认定测试

10


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