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【解析】北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学文试题


丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)
一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a }, C U M ? {5,7},则实数 a 的值为 (A) 1 【答案】B 解:因为 C U M ? {5, 7} ,所以 a ? 3 ,选 B. 2.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是 (B) 3 (C) 5 (D) 7

(A)

4 3

(B)

8 3

(C) 4

(D) 8

【答案】A 解:由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,

,所以 V C ? B C D ? 3.“ x ? 0 ”是“ x ?
1 x ? 2 ”的

1 3

?

1 2

? 2? 2? 2 ?

4 3

,选 A.

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件 【答案】C 解:当 x ? 0 时, x ?
1 x ? 2

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

1 1 1 1 x ? ? 2 。若因为 x , 同号,所以若 x ? ? 2 ,则 x ? 0 , ? 0 ,所以 x ? 0 x x x x

-1-

是x ?

1 x

? 2 成立的充要条件,选 C.

4.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

【答案】C 解:从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?
C 2C 2 C4
2 1 1

?

4 6

?

2 3

,选 C.

5.函数 y ? 2 sin (? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式是

(A) (C)

y ? 2 s in ( 2 x ? y ? 2 s in ( x ?

?
4

) )

(B) (D)

y ? 2 s in ( 2 x ? y ? 2 s in ( x 2 ?

?
4

) )

3? 8

7? 16

【答案】B 解:由图象可知
T 2 ? 5? 8 ?

?
8

?

?
2

,所以函数的周期 T ? ? ,又 T ?
? 2? ? ? ) 8

2?

?

? ? ,所以 ? ? 2 。所以

又 y ? 2 sin ( 2 x ? ? ) , y ? f ( ) ?s 2i n ( 2 8 所以 ? ?
?
4 ? 2 k ? ,所以 y ? 2 s in ( 2 x ?

?

?

, 所以 s in (

?
4

即 ??) ? 1,

?
4

?? ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,

?
4

) ,选 B.

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为. (A)3 【答案】D
-2-

(B)6

(C) 7

(D) 10

解:第一次循环, S ? 0 ,不满足条件, n ? 1 ;第二次循环, S ? 1 ,不满足条件, n ? 2 ;第三次循环,
S ? 1 ? 2 ? 3 ,不满足条件, n ? 3 ;第四次循环, S ? 3 ? 3 ? 6 ,不满足条件, n ? 4 ;第五次循环, S ? 6 ? 4 ? 1 0 ,此时满足条件,输出 S ? 1 0 ,选 D.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A( 1, 0 ),B(0,1),点 C 在第一象限内, ? A O C ?
???? ??? ? ??? ? O C ? ? O A ? ? O B ,则 ? , ? 的值是

?
6

,且|OC|=2,若

(A) 【答案】A

3 ,1

(B) 1, 3

(C)

3 3

,1

(D) 1,

3 3

解: 因为 ? A O C ?

?
6

, 所以 ? O A , O C ? ?

??? ???? ?

?
6

。? O C , O B ? ?

???? ??? ?

?
2

?

?
6

?

?
3

O ? 。 OC ? ?A ? OB 则

? ? ?

?? ?

? ? ?

? ?? ) 。 ( ,

???? ??? ? ???? ??? ? ? O C ?O A ? ( ? , ? ) ?(1, 0 ) ? O C O A c o s 6





? ? 2?

3 2

?

3



???? ??? ? ???? ??? ? ? 1 O C ?O B ? ( ? , ? ) ?(0 ,1) ? O C O B c o s ,即 ? ? 2 ? ? 1 ,所以 ? ? 3 2

3 , ? ? 1 ,选 A.

8.已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ,且 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 ,则
2

(A) ? x ? ? 0,1 ? , 都有 f(x)>0 (C) ? x 0 ? ? 0,1 ? , 使得 f(x0)=0 【答案】B

(B) ? x ? ? 0,1 ? , 都有 f(x)<0 (D) ? x 0 ? ? 0,1 ? , 使得 f(x0)>0

解: a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 可知 a ? 0, c ? 0 , 由 抛物线开口向上。 因为 f (0 ) ? c ? 0 ,f (1) ? a ? b ? c ? 0 , 即 1 是方程 a x ? b x ? c ? 0 的一个根,所以 ? x ? ? 0,1 ? , 都有 f ( x ) ? 0 ,选 B.
2

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽样法 抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 【答案】20 解:高三的人数为 400 人,所以高三抽出的人数为
45 900 ? 4 0 0 ? 2 0 人。

______.

? x ? 2, ? 10.不等式组 ? y ? 0 , 表示的平面区域的面积是___________. ?y ? x ?1 ?

【答案】

1 2

-3-

解: 平面区域的面积 S ? B C D ? 11.设 f ( x ) ? ? 【答案】3
? 3e ?
x ?1

不等式组表示的区域为三角形 B C D ,由题意知 C (1, 0 ), D ( 2, 0 ), B ( 2,1) ,所以
1 2 C D ?B D ? 1 2 ?1?1 ? 1 2



, x< 2 ,
2

? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 . ?

则 f ( f ( 2 ))的 值 为

.

解: f ( 2 ) ? lo g 3 ( 2 ? 1) ? lo g 3 3 ? 1 ,所以 f ( f ( 2 )) ? f (1) ? 3 。
2

12.圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y=x 相切于第三象限,则 a 的值是
2 2



【答案】 ? 2 解:因为圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y=x 相切于第三象限,所以 a ? 0 。则有圆心 ( a , 0 ) 到直线 x ? y ? 0 的
2 2

距离 d ?

a 2

? 1 ,即 a ?

2 ,所以 a ? ?

2

13.已知 ? A B C 中,AB= 3 ,BC=1,tanC= 3 ,则 AC 等于______. 【答案】2 解:由 tan C ?
3 ? 0 ,所以 C ?

?
3

。根据正弦定理可得

BC s in A

?

AB s in C

,即

1 s in A

?

3 3 2

? 2 ,所以

s in A ?

1 2

,因为 A B ? B C ,所以 A ? C ,所以 A ?
2

?
6

,即 B ?

?
2

,所以三角形为直角三角形,所以

AC ?

( 3) ?1 ? 2 。

14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一 行 的 公 比 都 相 等 , 记 第 i 行 第 j 列 的 数 为 a ij ( i ? j , i , j ? N
*

) 则 a 53 等 于 ,



-4-

a m n ? _ _ _ _ ( m ? 3) .

【答案】

5 16

,

m 2
n ?1

解:由题意可知第一列首项为
1 4 1 4
1 4 m

1 4

,公差 d ?
1 8 ? 5 8

1 2

?

1 4

?

1 4

,第二列的首项为
a 52 a 51 1 2

1 4

,公差 d ?

3 8

?

1 4

?
5 8

1 8

,所以
5 16

a 51 ?

? 4?

?

5 4

a , 52 ?

1 4

? 3?

, 所以第 5 行的公比为 q ?

?

, 所以 a 5 3 ? a 5 2 q ?

?

1 2

?



由题意知 a m 1 ?

? ( m ? 1) ?

1 4

?

m 4

,am 2 ?

1 4

? (m ? 2) ?

1 8

?

m 8

,所以第 m 行的公比为 q ?

am 2 a m1

?

1 2

,所

n ?1 ? 以 a mn ? a m1q

1 n ?1 m ?( ) ? n ?1 , m ? 3 . 4 2 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (本题共 13 分 )函数 f ( x ) ? lg ( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x ) ? x ? a (0 ? x ? 4 ) 的值域
2

为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本题共 13 分 )如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝
y

角 ? 的
B A

终边分别与单位圆交于 A , B 两点. ,点 B 的纵坐标是 ,求 sin (? ? ? ) 的 5 13 ??? ??? ? ? 3 (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求 O A ? O B 的值. 2 (Ⅰ)若点 A 的横坐标是 17. (本题共 13 分 ) 如图,三棱柱 ABC — A1 B 1 C 1 中, AA 1 ? 平面 ABC,AB ? BC , 别为 A1C1 与 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1. 18. (本题共 14 分 )
-5-

3

12

值;
O x

A1

M B1 N

C1

点M , N分

A B

C

已知函数 f ( x ) ? ( a x ? b x ? c ) e ( a ? 0 ) 的导函数 y ? f '( x ) 的两个零点为-3 和 0.
2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极小值为-1,求 f ( x ) 的极大值. 19. (本题共 13 分 ) 曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C 1 的短 轴,是 C 2 的长轴.直线 l : y ? m (0 ? m ? 1) 与 C 1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m= (Ⅱ)若 O C
3 2
? AN

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

,求 m 的值.

20. (本题共 14 分 ) 已 知 曲 线
C : y ? 2 x (? y
2

0 ) A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, A n ( x n , y n ), ? ? ? ,
? 1, 2, ? ? ?)

是 曲 线 C 上 的 点 , 且 满 足

0 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ?

,一列点 B i ( a i , 0 )( i

在 x 轴上,且 ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 是坐标原点)是以 A i 为直角

顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式; (Ⅲ)令 b i ?
4 ai , ci ?

?

2

?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,若存在,求出 N 的最

小值;若不存在,说明理由.

-6-

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20; 13.2; 三.解答题
( 15 . 本 题 共 13 分 ) 设 关 于 x 的 函 数 f ( x ) ? l g x ? (
2

1 B

2 A

3 C

4 C

5 B

6 D

7 A

8 B

10.

1 2


5 16 ,

11. 3;
m 2
n ?1

12.- 2 (写 ? 2 给 3 分) ;

14.

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

2? x

3 的 )定 义 域 为 集 合 A , 函 数

g ( x ) ? x ? a , (0 ? x ? 4 ) ,的值域为集合 B.

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= { x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,
2

= { x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = { x | x ? ? 1, 或 x ? 3} , ….…………………..……4 分 B ? { y | ? a ? y ? 4 ? a} . ..……………………………………………….…...7 分
-7-

(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ...….…………………………………………… 9 分 ∴ 4 ? a ? ?1 或 ?a ? 3 , ∴实数 a 的取值范围是{a| a ? 5 或 a ? ? 3 }.….………………..…………………..13 分 16. (本题共 13 分)如图,在平面直角坐标系中,角 ? 和角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是
s i n (? ? ? ) 的值;

3 5

,点 B 的纵坐标是

12 13

,求

y B A

(Ⅱ) 若∣AB∣=

3 2

, 求 O A ? O B 的值.

??? ??? ? ?

O

x

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,
c o? ? s s in ? ? 12 13 3 5



,……………………………………………………2 分

∵ ? 的终边在第一象限,∴ s in ? ? ∵ ? 的终边在第二象限,∴

4 5


5 13 4 5

……………………………………3 分 . ………………………………4 分
?(? 5 13 )+ 3 5 ? 12 13

cos ? ? ?

∴ sin (? ? ? ) = sin ? co s ? ? co s ? sin ? =
??? ?

=

16 65

.………7 分

(Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| A B |=| O B ? O A | ?
??? ? ??? ?
2

??? ?

??? ?

3 2

,……………………………9 分
??? ??? ? ?

又∵ | O B ? O A | ? O B ? O A ? 2 O A ? O B ? 2 ? 2 O A ? O B , ∴ 2 ? 2O A ? O B ? ∴OA ?OB ? ?
??? ??? ? ? 1 8 ??? ??? ? ? 9 4

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

…………11 分



. ……………………………………………………………13 分
| OA | ? | OB | ? | AB |
2 2 2

方法(2)∵ c o s ? A O B ?
??? ??? ? ?
??? ? ??? ?

? ?

1 8

,………………10 分

2 | O A || O B |

∴ O A ? O B = | O A || O B | c o s ? A O B ? ?

1 8

.…………………………………13 分 平 面

17. (本题共 13 分)如图三棱柱 ABC — A1 B 1 C 1 中, AA 1 ? ABC,AB ? BC , 点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1.

-8-

解:(Ⅰ)连结 BC1 ∵点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点, ∴ M N ∥BC1.........................................................4 分 ∵ M N ? 平 面 B C C 1 B1 , B C 1 ? 平 面 B C C 1 B1 , ∴MN∥平面 BCC1B1..................................... ....6 分 (Ⅱ)∵ A A1 ? 平 面 A B C ,
B C ? 平面 A B C ,

∴ A A1 ? B C ....................................................................................................... 9 分 又∵AB ? BC,
A A1 ? A B ? A ,

∴ B C ? 平 面 A1 A B B1 ........................................................................................ 12 分 ∵ B C ? 平 面 A1 B C , ∴平面 A1BC ? 平面 A1ABB1................................................................................ 13 分 18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x ) ? ( a x ? b x ? c ) e ( a ? 0 ) 的导函数 y ? f '( x ) 的两个零点为-3 和 0.
2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极小值为-1,求 f ( x ) 的极大值.
x 2 x 2 x 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? ( 2 a x ? b ) e ? ( a x ? b x ? c ) e ? [ a x ? ( 2 a ? b ) x ? b ? c ]e .…2 分

令 g ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2

∵e ? 0 ,
x
2 ∴ y ? f '( x ) 的零点就是 g ( x ) ? a x ? ( 2 a ? b ) x ? b ? c 的零点,且 f ? ( x ) 与 g ( x ) 符号相同.

又∵ a ? 0 , ∴当 x ? ? 3, 或 x ? 0 时, g ( x ) >0,即 f ? ( x ) ? 0 , 当 ? 3 ? x ? 0 时, g ( x ) <0,即 f ? ( x ) ? 0 , ………………………………………6 分 ∴ f ( x ) 的单调增区间是(-∞,-3)(0,+∞) , ,单调减区间是(-3,0) .……7 分

-9-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =0 是 f ( x ) 的极小值点,所以有
? c ? ? 1, ? ?b ? c ? 0, ? 9 a ? 3( 2 a ? b ) ? b ? c ? 0 , ?

解得 a ? 1, b ? 1, c ? ? 1 .

………………………………………………………11 分
2 x

所以函数的解析式为 f ( x ) ? ( x ? x ? 1) e . 又由(Ⅰ)知, f ( x ) 的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞) ,单调减区间是(-3,0). 所以,函数 f ( x ) 的极大值为 f ( ? 3) ? (9 ? 3 ? 1) e
?3

?

5 e
3

. ……………….…14 分

19. (本题共 13 分)曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标是(0,1), 线段 MN 是 C 1 的短轴,是 C 2 的长轴 . 直线 l : y ? m (0 ? m ? 1) 与 C 1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m= (Ⅱ)若 O C
3 2
? AN

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

,求 m 的值.
? y ? 1 ,C2 的方程为
2

解:设 C1 的方程为

x a

2 2

x b

2 2

? y ? 1 ( a ? 1, 0 ? b ? 1 ) .
2

…..2 分

∵C1 ,C2 的离心率相同, ∴
a ?1
2

a

2

? 1 ? b ,∴ a b ? 1 ,………………………………..……………………3 分
2

∴C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

当 m=

3 2

时,A ( ?
5 4 5 4

a 2

,

3 2

) ,C (

1 2a

,

3 2

) .………………………………….……5 分

又∵ A C ? ∴
1 2a ? a 2 ?

, ,解得 a=2 或 a=
x
2

1 2

(舍), ……………………………...………..6 分

∴C1 ,C2 的方程分别为

? y ? 1 , 4 x ? y ? 1 . …………………………..7 分
2

2

2

4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(- a 1 ? m ,m),C( ∵OC⊥AN,

1 a

1? m

2

,m) .……………….……………9 分

- 10 -

???? ???? O C ? A N ? 0 ( ? ) ……………………………............................................…10 分 .

∵ O C =(

????

1 a

1? m

2

,m) A N =( a 1 ? m ,-1-m), ,
2

????

代入( ? )并整理得 2m2+m-1=0, ………………………………………………12 分 ∴m= ∴m=
1 2 1 2

或 m=-1(舍负) , . ……………………………………………………………………13 分
: y ? 2 x( y ? 0)
2

20. (本题共 14 分)已知曲线 C 足0 ?
x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ?

, A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x 2 , y 2 ), ? ? ?, An ( x n , y n ), ? ? ? 是曲线 C 上的点,且满 在 x 轴上,且 ? B i ? 1 Ai B i ( B 0 是坐标原点)是以 A i 为直

,一列点 B i ( a i , 0 )( i

? 1, 2, ? ? ?)

角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B 1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { y n } 的通项公式; (Ⅲ)令 b i ?
4 ai , ci ?

?

2

?

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,若存在,求出 N

的最小值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)∵?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴直线 B0A1 的方程为 y=x.
?y ? x ? 2 , ) ( 由 ? y ? 2 x 得, x1 ? y1 ? 2 ,得 A1(2,2) B 1 0 , 4 ?y ? 0 ?

. ….…….…….…......3 分

(Ⅱ)根据

? B n ? 1 A n B n 和 ? B n An ? 1 B n ? 1

分 别 是 以 An 和 An ?1 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 可

得,

? an ? xn ? yn ,即 x n ? y n ? x n ? 1 ? y n ? 1 . (*)…….………………………..5 分 ? ? a n ? x n ?1 ? y n ?1

∵ A n 和 A n ? 1 均在曲线 C ∴ y n2 ∴ xn
2

: y ? 2 x( y ? 0)
2

上,

? 2 x n , y n ?1 ? 2 x n ?1 ,
? yn 2
2

, x n ?1 ?

y n ?1 2

2

,代入(*)式得 y n2 ? 1
*

? y n ? 2 ( y n ?1 ? y n )
2



∴ y n ?1

? yn ? 2 ( n ? N

).…………………

…………………………..…..….…..7 分

∴数列 { y n } 是以 y 1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列,

- 11 -

故其通项公式为 y n

? 2n ( n ? N
2

*

) . …………....…………………………...……..8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, x n ?

yn 2

? 2 n , ….……………………………………………9 分
2

∴ a n ? x n ? y n ? 2 n ( n ? 1) ,……………………..……………………………….…10 分 ∴ bi ?
4 2 i ( i ? 1)
2 1? 2

?

2 i ( i ? 1)
2 2?3
? 1 2 ?

, ci ?

?

2

?

? yi

?

1 2
i



∴ ? bi ?
i ?1

n

?

?? ?

2 n ( n ? 1)
1 n ? 1 n ?1 ) = 2 (1 ? 1 n ?1 ) ,…………….……..11 分

= 2 (1 ?

1 2

1 3

?? ?

1

?c
i ?1

n

i

?

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ? 1?

? 2

1 2
n



…………………….……12 分

欲使 ? b i ?
i ?1

n

?c
i ?1

n

i

,只需 2 (1 ?

1 n ?1

) <1 ?

1 2
n



只需
?

n ?1 n ?1

? ?

1 2
n

, ………………………………………………….…………13 分
*

n ?1 n ?1

? 0 ( n ? N ), ?

1 2
n

? 0 ,
n n

∴不存在正整数 N,使 n≥N 时,

?b
i ?1

i

?

?c
i ?1

i

成立.…………………….14 分

- 12 -


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