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靖江市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

靖江市第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
(A)

姓名__________

分数__________

? 1. AD, BE 分别是 ?ABC 的中线,若 AD ? BE ? 1 ,且 AD 与 BE 的夹角为 120 ,则 AB ? AC =(

????

??? ?

??? ? ??? ?
8 9



1 3

( B )

4 9

(C)

2 3

(D)

2. 某公园有 P,Q,R 三只小船,P 船最多可乘 3 人,Q 船最多可乘 2 人,R 船只能乘 1 人,现有 3 个大人 和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为( A.36 种 B.18 种 C.27 种 D.24 种 )的部分图象如图所示,则函数 y=f(x)对应的 )

3. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, 解析式为( )

A.

B.

C.

D. ,类比这个结论可

4. 设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 则 r=( A. C. ) B. D.

知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,

5. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主(正)视图和俯视图 如下,则它的左(侧)视图是( )

A.

B.

C.

D.

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6. 抛物线 y2=2x 的焦点到直线 x﹣ A. B. C. D.

y=0 的距离是(



7. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输出的

的值等于 126,则判断框中的①可以是 (



A.i>4?

B.i>5?

C.i>6?

D.i>7? )

8. 二项式(x2﹣ )6 的展开式中不含 x3 项的系数之和为( A.20 B.24 C.30 D.36 +

9. 设 F1, F2 分别是椭圆

=1 Q 两点, (a>b>0) 的左、 右焦点, 过 F2 的直线交椭圆于 P, 若∠F1PQ=60°, )

|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

10.数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an,且 a2014,a2016 是函数 f(x)= (a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( A.2 B.3 C.4
3

+6x﹣1 的极值点,则 log2

) )

D.5 D.(﹣∞,﹣1)

11.已知函数 f(x)=2ax ﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(0,1) C.(﹣1,0)

12.已知函数 f(x)的定义域为 R,其导函数 f′(x)的图象如图所示,则对于任意 x1,x2∈R( x1≠x2), 下列结论正确的是( ①f(x)<0 恒成立; ②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0; ③(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0; )

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④ ⑤

; .

A.①③

B.①③④ C.②④

D.②⑤

二、填空题
13.设函数 f(x)= 则函数 y=f(x)与 y= 的交点个数是 .

14.曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线与曲线 y=ax+ln x 相切,则 a=________. 15.若双曲线的方程为 4x2﹣9y2=36,则其实轴长为 16.(x﹣ )6 的展开式的常数项是 . (应用数字作答).

17.如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲乙两人比赛得分的中位数之和 是 .

18.已知点 A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),求向量



方向上的投影.

三、解答题
19.A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|ax﹣2=0},若 B?A,求 a.

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20.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ (Ⅰ)求 f(x)的最小值;

+b(a>0)

(Ⅱ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=

,求 a,b 的值.

21.已知函数 f(x)= sin2x?sinφ+cos2x?cosφ+ sin( π﹣φ)(0<φ<π),其图象过点( (Ⅰ)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间; (Ⅱ)若 x0∈( ,π),sinx0= ,求 f(x0)的值.

, .)

22.如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是等腰梯形,AB=CD=AD=1,BC=2,E,M,N 分别是所在棱 的中点. (1)证明:平面 MNE⊥平面 D1DE; (2)证明:MN∥平面 D1DE.

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23.如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)若 平面 ; ,判断直线 ;

中,

底面









与平面

是否垂直?并说明理由.

24.(本小题满分 12 分)

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已知椭圆 C 的离心率为

动点,且 PA?PB 的最小值为-2. (1)求椭圆 C 的标准方程;

??? ? ??? ?

2 , A 、 B 分别为左、右顶点, F2 为其右焦点, P 是椭圆 C 上异于 A 、 B 的 2

C 于 M 、N 两点,求 F2 M ?F2 N 的取值范围. (2)若过左焦点 F 1 的直线交椭圆

????? ???? ?

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靖江市第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

? 2 ???? 2 ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? 1 ??? AB ? AD ? BE AD ? ( AB ? AC ), ? ? ? ? 3 3 2 【解析】由 ? , ??? ? 1 ??? ? ???? 解得 ? ???? 4 ???? 2 ??? ? ? BE ? (?2 AB ? AC ), ? AC ? AD ? BE ? ? ? 2 3 3 ? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? ? 4 ???? 2 ??? ? 2 AB ? AC ? ( AD ? BE) ? ( AD ? BE) ? . 3 3 3 3 3 2. 【答案】 C

【解析】 排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】根据题意,分 4 种情况讨论,①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,分别求出每种情况下的乘船方法,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:分 4 种情况讨论, ①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33=6 种情况, ②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33×A22=12 种 情况, ③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,有 C32×2=6 种情况, ④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,有 C31=3 种情况, 则共有 6+12+6+3=27 种乘船方法, 故选 C. 【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用,关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、 组合公式. 3. 【答案】A 【解析】解:由函数的图象可得 A=1, 解得 ω=2, = ? = ﹣ ,

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再把点( 结合 故有 故选:A.

,1)代入函数的解析式可得 sin(2× ,可得 φ= , ,

+φ)=1,

4. 【答案】 C 【解析】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

【点评】 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象 ①找出两类事物之间的相似性或者一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 上去. 一般步骤: 得出一个明确的命题(或猜想). 5. 【答案】A 【解析】解:由题意可知截取三棱台后的几何体是 7 面体,左视图中前、后平面是线段, 上、下平面也是线段,轮廓是正方形,AP 是虚线,左视图为:

故选 A.

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【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法,三视图是常考题型,值得重视. 6. 【答案】C
2 【解析】解:抛物线 y =2x 的焦点 F( ,0),

由点到直线的距离公式可知: F 到直线 x﹣ 故答案选:C. 7. 【答案】 C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=1 S=2,i=2 不满足条件,S=2+4=6,i=3 不满足条件,S=6+8=14,i=4 不满足条件,S=14+16=30,i=5 不满足条件,S=30+32=62,i=6 不满足条件,S=62+64=126,i=7 由题意,此时应该满足条件,退出循环,输出 S 的值为 126, 故判断框中的①可以是 i>6? 故选:C. 【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这 一模块最重要的题型,属于基本知识的考查. 8. 【答案】A 【解析】解:二项式的展开式的通项公式为 Tr+1= 故展开式中含 x 项的系数为
3

y=0 的距离 d=

= ,

?(﹣1)r?x12﹣3r,令 12﹣3r=3,求得 r=3,

?(﹣1)3=﹣20,而所有系数和为 0,

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不含 x 项的系数之和为 20, 故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于中档题. 9. 【答案】 D 【解析】解:设|PF1|=t, ∵|PF1|=|PQ|,∠F1PQ=60°, ∴|PQ|=t,|F1Q|=t, 由△F1PQ 为等边三角形,得|F1P|=|F1Q|, 由对称性可知,PQ 垂直于 x 轴, F2 为 PQ 的中点,|PF2|= , ∴|F1F2|= ,即 2c= , = t,

3

由椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,即 2a=t

∴椭圆的离心率为:e= = 故选 D.

=



10.【答案】C 【解析】解:函数 f(x)= +6x﹣1,可得 f′(x)=x2﹣8x+6,

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∵a2014,a2016 是函数 f(x)= 数列{an}中,满足 an+2=2an+1﹣an, 可知{an}为等差数列,

+6x﹣1 的极值点,

2 ∴a2014,a2016 是方程 x ﹣8x+6=0 的两实数根,则 a2014+a2016=8.

∴a2014+a2016=a2000+a2030,即 a2000+a2012+a2018+a2030=16, 从而 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4. 故选:C. 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键. 11.【答案】D
2 【解析】解:若 a=0,则函数 f(x)=﹣3x +1,有两个零点,不满足条件.

若 a≠0,函数的 f(x)的导数 f′(x)=6ax ﹣6x=6ax(x﹣ ), 若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0, 若 a>0,由 f′(x)>0 得 x> 或 x<0,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 0<x< ,此时函数单调递减, 故函数在 x=0 处取得极大值 f(0)=1>0,在 x= 处取得极小值 f( ),若 x0>0,此时还存在一个小于 0 的 零点,此时函数有两个零点,不满足条件. 若 a<0,由 f′(x)>0 得 <x<0,此时函数递增, 由 f′(x)<0 得 x< 或 x>0,此时函数单调递减, 即函数在 x=0 处取得极大值 f(0)=1>0,在 x= 处取得极小值 f( ), 若存在唯一的零点 x0,且 x0>0,
3 2 则 f( )>0,即 2a( ) ﹣3( ) +1>0, 2 ( ) <1,即﹣1< <0,

2

解得 a<﹣1, 故选:D

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【点评】本题主要考查函数零点的应用,求函数的导数,利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键.注意 分类讨论. 12.【答案】 D 【解析】解:由导函数的图象可知,导函数 f′(x)的图象在 x 轴下方,即 f′(x)<0,故原函数为减函数, 并且是,递减的速度是先快后慢.所以 f(x)的图象如图所示. f(x)<0 恒成立,没有依据,故①不正确; ②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号,即 f(x)为减函数.故②正确; ③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号,即 f(x)为增函数.故③不正确, ④⑤左边边的式子意义为 x1,x2 中点对应的函数值,即图中点 B 的纵坐标值, 右边式子代表的是函数值得平均值,即图中点 A 的纵坐标值,显然有左边小于右边, 故④不正确,⑤正确,综上,正确的结论为②⑤. 故选 D.

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二、填空题
13.【答案】 4 .

【解析】解:在同一坐标系中作出函数 y=f(x)= 示, 由图知两函数 y=f(x)与 y= 的交点个数是 4. 故答案为:4.

的图象与函数 y= 的图象,如下图所

14.【答案】 【解析】由 y=x2+3x 得 y′=2x+3, ∴当 x=-1 时,y′=1, 则曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线方程为 y+2=x+1, 即 y=x-1,设直线 y=x-1 与曲线 y=ax+ln x 相切于点(x0,y0), 1 由 y=ax+ln x 得 y′=a+ (x>0), x 1 a+ =1 x0

? ? ∴?y =x -1 ,解之得 x =1,y =0,a=0. ? ?y =ax +ln x
0 0 0 0 0 0 0

∴a=0. 答案:0 15.【答案】 6 .
2 2 【解析】解:双曲线的方程为 4x ﹣9y =36,即为:

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=1,

可得 a=3, 则双曲线的实轴长为 2a=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查双曲线的实轴长,注意将双曲线方程化为标准方程,考查运算能力,属于基础题.

16.【答案】 ﹣160

6 【解析】解:由于(x﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣2)r?x6﹣2r, =﹣160,

6 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ ) 展开式的常数项为﹣8

故答案为:﹣160. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于基础题. 17.【答案】 64 .

【解析】解:由图可知甲的得分共有 9 个,中位数为 28 ∴甲的中位数为 28 乙的得分共有 9 个,中位数为 36 ∴乙的中位数为 36 则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 64 故答案为:64. 【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析.另外茎叶图的茎是高位,叶是低位,这一点一定要注意. 18.【答案】 【解析】解:∵点 A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4), ∴向量 ∴向量 =(1+1,2﹣1)=(2,1), 在 = 方向上的投影是 = . =(3+2,4+1)=(5,5);

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:解:集合 A={x|x ﹣3x+2=0}={1,2} ∵B?A, ∴(1)B=?时,a=0 (2)当 B={1}时,a=2 (3))当 B={2}时,a=1 故 a 值为:2 或 1 或 0. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=ax+ +b≥2 +b=b+2
2

当且仅当 ax=1(x= )时,f(x)的最小值为 b+2 (Ⅱ)由题意,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= f(1)= ,∴a+ +b= ① f'(x)=a﹣ ,∴f′(1)=a﹣ = ② ,可得:

由①②得:a=2,b=﹣1 21.【答案】 【解析】(本小题满分 12 分)φ 解:(Ⅰ)f(x)= = = + ) )知: + ﹣

由 f(x)图象过点(

所以:φ= 所以 f(x)=

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令 即:

(k∈Z)

所以:函数 f(x)在[0,π]上的单调区间为: (Ⅱ)因为 x0∈(π,2π), 则: 2x0∈(π,2π) 则: sin 所以 = )= =

【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数单调区间的确定,三角函数的求值问 题,属于基础题型. 22.【答案】 【解析】证明:(1)由等腰梯形 ABCD 中, ∵AB=CD=AD=1,BC=2,N 是 AB 的中点,∴NE⊥DE, 又 NE⊥DD1,且 DD1∩DE=D, ∴NE⊥平面 D1DE, 又 NE?平面 MNE, ∴平面 MNE⊥平面 D1DE.… (2)等腰梯形 ABCD 中, ∵AB=CD=AD=1,BC=2,N 是 AB 的中点,∴AB∥DE,∴AB∥平面 D1DE, 又 DD1∥BB1,则 BB1∥平面 D1DE, 又 AB∩BB1=B,∴平面 ABB1A1∥平面 D1DE, 又 MN?平面 ABB1A1,∴MN∥平面 D1DE.…

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23.【答案】 【解析】【知识点】垂直平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为 所以 因为 所以 又因为 所以平面 又因为 所以 平面 平面 . 底面 , 底面 , 平面 , 平面 , 平面 , . . 平面 . , 平面 , , 平面 , 平面 ,

(Ⅱ)证明:因为 所以 又因为 所以 又因为 所以 . , 平面 底面 . .





(Ⅲ)结论:直线 证明:假设 由 由棱柱 可得 又因为 所以 平面 , 平面 平面

与平面 ,

不垂直.

,得 中, , , ,

. 底面 ,

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所以 又因为 所以 所以 这与四边形 故直线

. , 平面 . 为矩形,且 与平面 不垂直. 矛盾, ,

24.【答案】(1) 【解析】

????? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 ;(2) F2 M ?F2 N ?[?2,7) . 4 2

试 题解析:(1)根据题意知 ∴

c2 1 c 2 ,即 2 ? , ? a 2 a 2

a 2 ? b2 1 ? ,则 a 2 ? 2b2 , a2 2 设 P ( x, y ) , ??? ? ??? ? ∵ PA? PB ? (?a ? x, ? y)? (a ? x, ? y) , a2 x2 1 2 ? x ? a ? y ? x ? a ? ? ? (x ? a2 ) , 2 2 2
2 2 2 2 2

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∵ ? a ? x ? a ,∴当 x ? 0 时, ( PA?PB) min ? ? ∴ a ? 4 ,则 b ? 2 .
2 2

??? ? ??? ?

a2 ? ?2 , 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

11 11]

4(k 2 ? 1) 4 2k 2 x x ? , , 1 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k ????? ???? ? ∵ F2 M ? ( x1 ? 2, y1 ) , F2 N ? ( x2 ? 2, y2 ) , ????? ???? ? ∴ F2 M ? F2 N ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? ( 2k 2 ? 2)( x1 ? x2 ) ? 2k 2 ? 2
4(k 2 ? 1) ?4 2k 2 2 ? (1 ? k 2 )? ? 2( k ? 1) ? ? 2k 2 ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 9 ?7? . 1 ? 2k 2 1 2 ? 1. ∵ 1 ? 2k ? 1 ,∴ 0 ? 1 ? 2k 2 9 ? [?2, 7) . ∴7 ? 1 ? 2k 2 ????? ???? ? 综上知, F2 M ? F2 N ?[?2,7) .
考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程;2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

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【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题 一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将 圆锥曲线中最值问题转化为函数问题, 然后根据函数的特征选用参数法、 配方法、 判别式法、 三角函数有界法、 函数单调性法以及均值不等式法.

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