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方法技巧3 排列与组合混合模型_图文

方法技巧3 排列与组合混合模型

【考情快递】 此类问题在高考常考选择题或填空题,难度中 等. 方法1:分类(步)处理

解题步骤

①将问题分类; ②将每一类问题分成若干步解决. 某些问题总体不好解决时,常常分成若干类去 解决.

适用情况

【例1】?用6种不同的颜色给如图所示的4个格子涂色,每个格 子涂1种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子不同 色,不同的涂色方法共有________种.

解析 若用2种颜色涂,有C 2 种选法,满足相邻格异色、1个格 6
2 子1种颜色的涂法有A 2 种,共有C 2 A 2 =30(种);若用3种颜色 6 2

涂,有C 3 种选法,任选两个不相邻的格子,有3种选法,再与 6 另两格一起涂3种颜色,则有3×A 360(种), 综上,所求涂色方法总共有390种,故填390. 答案 390
3 3

种,共有C

3 6

×A

3 3

×3=

方法2:元素(位置)优先法 ①特殊元素优先排,一般元素后排; ②特殊位置优先排,其余位置后排. 对于有特殊位置或特殊元素的问题可以采用 此法.

解题步骤

适用情况

【例2】?用0,1,2,?,9这十个数字组成无重复数字的四位 数,若千位数字与个位数字之差的绝对值是2,则这样的四位 数的个数为________. 解析 若个位数字为0,则千位数字为2,这样的四位数有A
2 8

个;若个位不为0,则个位与千位应为1与3,2与4,3与5,4与6,5与
2 2 1 2 7,6与8,7与9,这样的四位数有A 2 A 2 C 1 ,所以共有A 8 +C 7 A 2 A 8 8 7 2

=840个符合条件的四位数.故填840. 答案 840

方法3:捆绑或插空法

①插空法:先排没有限制条件的元素,有限制条件
的元素按要求插入排好的元素之间; 解题步骤 ②捆绑法:将若干特殊元素“捆绑”为一个大元素 ,然后再与其余“普通元素”全排列,再将特殊元 素在位置上全排列. 适用情况

某些元素不能相邻或要在特殊位置上用插空法;某
些元素必须相邻用捆绑法.

【例3】?一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至 少有2个空椅子,共有________种不同的坐法. 解析 法一 先将3个人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排

列如图(×□□×□□×),这时共占据了7张椅子,还有2张空 椅子,一是分开插入,空当如图中箭头所示
2 (↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有C 4 种

插法;二是2张同时插入,有C 1 种插法,再考虑3个人可交换, 4
3 有A3种方法.所以,共有A3(C2+C1)=60(种).故填60. 3 4 4

法二

下面再看另一种构造方法:先将3个人与2张空椅子排成

一排,从5个位置中选出3个位置排人,另2个位置排空椅子,
3 有A 5 C 2 种排法,再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间, 2 3 只有1种插法,所以所求的坐法数为A5· 2=60.故填60. C2

答案

60

方法运用训练3 1.地面上有A,B,C,D四个科研机构在接收嫦娥卫星发回 的某类信息,它们两两之间可以互相接发信息,由于功率限 制,卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息,每个科研 机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息,某日 四个机构之间发送了三次信息后,都获得了卫星发回的同一条 信息,那么A接收到该信息后互相联系的方式共有( A.16种 B.17种 C.34种 D.48种 ).

解析

本题应先分类求解,再在每一类中分步:

第一类:A直接发送给B,C,D三处,有C3=1(种). 3 第二类:A直接发送给B,C,D中的两处,再由其中一处通知 第四处,有C2· 1=6(种). 3 C2 第三类:A直接发送给B,C,D中的一处,再由该处通知另两 处,有C1· 1+1)=9(种). 3 (C2 所以共有1+6+9=16种不同的方式,故选A. 答案 A

2.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如下 图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分 不能栽种同样颜色的花,问不同的栽种方法有多少种?

解析

由于6部分种4种颜色的花,故必有两部分或两部分以上

的区域种同种颜色的花,从而从同颜色的花进行分类.另外, 本题也可以用“树支结构”解答. 法一 从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看知必有2

组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求. (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有N1= 4×3×2×2×1=48(种); (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有N2= 4×3×2×2×1=48(种); (3)②与④且③与⑥同色,则共有N3=4×3×2×1=24(种). 所以共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120(种)

法二

记颜色为A、B、C、D四色,先安排1、2、3有24种不

同的栽法,不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C,则4、5、6栽 种方法共5种,由以下树状图清晰可见.

根据分步乘法计数原理,不同栽种方法有N=24×5=120. 答案 120

3.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成 没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有 ________人. 解析 符合条件的四位数的个位必须是0,5,但0不能排在首

位,故0是其中的特殊元素,应优先安排,按照0排在个位,0 排在十、百位和不含0为标准分为三类:
1 ①0排在个位能被5整除的四位数有A1· 1C4)A3=144个; (C4 2 3 1 ②0排在十、百位,但5必须排在个位有A2· 1(C1C1)A2=48个; A1 4 3 2 1 ③不含0,但5必须排在个位有:A1C1C2A3=108个. 3 4 3

分类加法计数原理得所求四位数共有300个. 答案 300

4.(2011· 淮阳中学1次月考)安排5名歌手的演出顺序时,要求 某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排 法的总数是________(用数字作答). 解析 分两种情况:(1)不最后一个出场的歌手第一个出场,

4 有A4种排法; 1 (2)不最后一个出场的歌手不第一个出场,有A 1 A 3 A 3 种排法, 3 3

故共有78种不同排法. 答案 78

5.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 ________种(用数字作答). 解析 题设中“两个各2人”就可以看成把4人分成两组,每组

中有2人,把每组中有2人“捆”在一起,这样就形成两个独立 的元素.于是该题的解答应该是:先分组,考虑到有2个是平 C2C2 C1C1 6 4 2 1 均分组,得两个两人组 A2 ,两个一人组 A2 ,再全排列得: 2 2 C2C2 C1C1 4 6 4 2 1 A 2 A2 ·A2 · 4=1 080. 2 答案 1 080

6.马路上有编号为1,2,3,?,10的十只路灯,为节约用电又 不影响照明,可以把某中的3只路灯熄灭,但不能同时熄灭相 邻的两只或三只路灯,问满足条件的熄灭3只路灯的方法有多 少种? 解 不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯,实质上是熄灭的任 意两只路灯不能相邻.亮着的7只路灯是不加区别的,其排列 的情况只有一种,这7只路灯之间有8个间隙,将3只熄灭的路 灯插入间隙,共有C 3 种插法,所以,满足条件的熄灭3只路灯 8 的方法有1×C3=56种. 8


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