中山市高一级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试 数学科试卷
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分.共 100 分,考试时间 100 分 钟.
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)
注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3、不可以使用计算器. 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A. {1}
A ? {1, 2},集合 B ? ? ,则 A ? B ?
B. {2} C. {1,2} D. ?
2.下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数
x2 D. y ? x 2 x 3. 若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, a 的 则
A. y ? ( x ) 2 B. y ? 3 x 3 C. y ? 值是 A. ? 3 4.函数 y ? ? ? x B. 1 C. 0 或 ?
3 2
D. 1 或 ? 3
?2 x , x ? 0 ? ?2 , x ? 0 ?
的图像大致为
5、根式
1 a
1 (式中 a ? 0 )的分数指数幂形式为 a
A. a
?
3 4
B. a
3 4
C. a
?
4 3
D. a
4 3
6.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是
7. 如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点, 那么称这个点为 “好 点” 。在下面的五个点 M ?1, 1? , N ?1, 2? , P ? 2, 1? , Q ? 2, 2? , G ? 2, 0.5? 中, “好点”的个数为 A.0 个 B.1 个 C. 2 个 D.3 个
8.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? 9.函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为
3
B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D. m // n, n ? ? ? m ? ?
A. (-∞,1)
B. (2,+∞)
C. (-∞,
3 ) 2
D. (
3 ,+∞) 2
10.对于集合 M、N,定义 M ? N ? ?x x ? M , 且x ? N ? , M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M ) .设
A ? y y ? x 2 ? 3x, x ? R , B ? y y ? ?2 x , x ? R ,则 A ? B 等于
A. (? ,0]
?
?
?
?
9 4
B.[ ? ,0 ]
9 4
C. (??, ? ) ? ?0, ?? ?
9 4
D. (??, ? ] ? (0, ??)
9 4
第Ⅱ卷
(非选择题
共 60 分)
二、填空题: (本大题共4个小题,每小题4分,共 16 分,请将答案填在相应题目的横线上) 11. 在空间直角坐标系中,已知 A, B 两点的坐标分别是 A?2,3,5? , B?3,1,4? ,则这两点间的 距离 AB ? _____________. 12. 根 据 表 格 中 的 数 据 , 可 以 判 定 方 程 e ? x ? 2 ? 0 的 一 个 根 所 在 的 开 区 间 为 ____
x
_____.
x
ex
x?2
-1 0.37 1
0 1 2
1 2.72 3
2 7.39 4
3 20.09 5
正视图 侧视图
13.如右图,一个空间几何体的正视图、侧视图是周长 为 4 一个内角为 60? 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么 这个几何体的表面积为________.
俯视图
14.若直线 l1 : 4 x ? y ? 4 ? 0 , l 2 : mx ? y ? 0 , l3 : 2x ? 3my ? 4 ? 0 不能构成三角形 , 则实数 m 的值是: _______________. 三、解答题: (本大题共5小题,满分44分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (本小题 9 分) 求以 N ?1,3? 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程.
P
16. (本小题 9 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中 点. 求证: . PA //平面 BDE ; (1) (2) .平面 PAC ? 平面 BDE .
E D O A B
C
17.(本小题 9 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 是偶函数,试求 a 的值; (Ⅱ)求证:无论 a 取任何实数,函数 f ( x ) 都不可能是奇函数.
18. (本小题 9 分) 20 世纪 30 年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测 震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我 们常说的里氏震级 M ,其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中, A 是被测地震的最大振幅,
A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的
偏差) 。 (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的震感已比较明显,计算 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振 幅的多少倍? (以下数据供参考: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4770 )
19. (本小题 8 分)
2 2 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .
(1)若 k ? 2 ,求函数 f (x) 的零点; (2)若函数 f (x) 在区间 (0, 2) 上有两个不同的零点,求 k 的取值范围。
中山市高一级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试
数学科试卷参考答案
一、选择题: 1 2 C B 二、填空题: 11. 6 三、解答题: 15.解:因为点 N ?1,3? 到直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离 d ? 所以所求的圆的方程是: ? x ? 1? ? ? y ? 3? ?
2 2
3 D
4 B
5 A
6 C
7 C
8 D
9 A
10 C
12. (1,2)
13.
?
14.
? 1或 ?
1 2 或 或4 6 3
3? 4?3? 7 5
?
16 ,? (5 分) 5
256 .???? (9 分) 25
?? (1 分)
16. 证明: (1) 连接 AC 、 OE , AC ? BD ? O ,
在△ PAC 中,∵ E 为 PC 中点, O 为 AC 中点.∴ PA // EO ,? (2 分) 又∵ EO ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , P ∴ PA //平面 BDE ? (4 分) (2)∵ PO ? 底面 ABCD , BD ? 平面 ABCD E ∴ PO ? BD . ????????( 6 分) 又∵底面 ABCD 是正方形,∴ BD ? AC , AC , PO 是平 面 PAC 内的两条相交直线 D ∴ BD ? 平面 PAC . ??????? (8 分) O 又 BD ? 平面 BDE ,∴平面 PAC ? 平面 BDE .??? (9 分) A B 17. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) 在 R 上恒成立, 即 (? x)2 ? | ? x ? a | ?1 ? x2 ? | x ? a | ?1, 化简整理,得 ax ? 0 在 R 上恒成立, ∴a ? 0. (另解 :由 f ( x ) 是偶函数知, f (?1) ? f (1) 即 (?1)2 ? | ?1 ? a | ?1 ? 12 ? |1 ? a | ?1 整理得 | a ? 1|?| a ? 1| ,解得 a ? 0
2 再证明 f ( x) ? x ? | x | ?1是偶函数,所以 a ? 0 )
C
????3 分 ????5 分
证 明 : 用 反 证 法 。 假 设 存 在 实 数 a , 使 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 , 则 f (? x) ? ? f ( x) 在 R 上恒成立,∴ f (0) ? ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , 但无论 a 取何实数, f (0) ?| a | ?1 ? 0 ,与 f (0) ? 0 矛盾。 矛盾说明,假设是错误的,所以无论 a 取任何实数,函数 f ( x ) 不可能是奇函数.??9 分 18. 解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001 ? lg
(Ⅱ)
20 ? lg 20000? lg 2 ? lg104 ? 4.3 0.001
因此,这次地震的震级为里氏 4.3 级. ???? (4 分)
(2)由 M ? lg A ? lg A0 可得 M ? lg
A A ,即 ? 10M , A ? A0 ? 10M . A0 A0
当 M ? 8 时 , 地 震 的 最 大 振 幅 为 A1 ? A0 ? 108 ; 当 M ? 5 时 , 地 震 的 最 大 振 幅 为
A2 ? A0 ?105 ;所以,两次地震的最大振幅之比是:
A1 A0 ? 108 ? ? 108?5 ? 1000? (8 分) A2 A0 ? 105
?1? 3 2
答:8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1000 倍. ???? (9 分) 19.解: (1)当 x ? 1或x ? ?1 时, 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x ?
1 , 2 ?1? 3 1 所以函数 f (x) 的零点为 ,? .???? (3 分) 2 2 ?kx ? 1, x ? (0,1] (2) f ( x) ? ? ???? (4 分) 2 ?2 x ? kx ? 1, x ? (1,2)
当 ? 1 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ①两零点在 (0,1], (1,2) 各一个: 当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? kx ? 1, f (1) ? 0 ? k ? ?1 当 x ? (1,2) 时, f ( x) ? 2 x2 ? kx ? 1, ?
? f (1) ? 0 7 ? ? ? k ? ?1, ???? (6 分) 2 ? f (2) ? 0 ② 两 零 点 都 在 (1,2) 上 时 , 显 然 不 符 合 x1 x 2 ? ?1 ? 0 . 综 上 , k 的 取 值 范 围 是 :
?
7 ? k ? ?1, ???? (8 分) 2