广东省中山市08-09学年高一上学期期末(数学)

中山市高一级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试 数学科试卷
本试卷分第 I 卷（选择题） 、第 II 卷（非选择题）两部分．共 100 分，考试时间 100 分 钟．

第Ⅰ卷（选择题

共 40 分）

注意事项： 1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上． 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上． 3、不可以使用计算器． 4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交． 一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A. {1}

A ? {1, 2}，集合 B ? ? ，则 A ? B ?
B. {2} C. {1,2} D. ?

2．下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数

x2 D. y ? x 2 x 3． 若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直， a 的 则
A. y ? ( x ) 2 B. y ? 3 x 3 C. y ? 值是 A. ? 3 4．函数 y ? ? ? x B. 1 C. 0 或 ?

3 2

D. 1 或 ? 3

?2 x , x ? 0 ? ?2 , x ? 0 ?

的图像大致为

5、根式

1 a

1 （式中 a ? 0 ）的分数指数幂形式为 a

A． a

?

3 4

B． a

3 4

C． a

?

4 3

D． a

4 3

6．如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是

7． 如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点， 那么称这个点为 “好 点” 。在下面的五个点 M ?1, 1? , N ?1, 2? , P ? 2, 1? , Q ? 2, 2? , G ? 2, 0.5? 中， “好点”的个数为 A．0 个 B．1 个 C． 2 个 D．3 个

8．已知 m ， n 为两条不同的直线， ? ， ? 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A． m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C． m ? ? , m ? n ? n // ? 9．函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为
3

B． ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D． m // n, n ? ? ? m ? ?

A． （－∞，1）

B． （2，+∞）

C． （－∞，

3 ） 2

D． （

3 ，+∞） 2

10．对于集合 M、N，定义 M ? N ? ?x x ? M , 且x ? N ? , M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M ) ．设

A ? y y ? x 2 ? 3x, x ? R , B ? y y ? ?2 x , x ? R ，则 A ? B 等于
A． (? ,0]

?

?

?

?

9 4

B．[ ? ,0 ]

9 4

C． (??, ? ) ? ?0, ?? ?

9 4

D． (??, ? ] ? (0, ??)

9 4

第Ⅱ卷

（非选择题

共 60 分）

二、填空题： （本大题共４个小题，每小题４分，共 16 分，请将答案填在相应题目的横线上） 11. 在空间直角坐标系中，已知 A, B 两点的坐标分别是 A?2,3,5? , B?3,1,4? ，则这两点间的 距离 AB ? _____________. 12. 根 据 表 格 中 的 数 据 ， 可 以 判 定 方 程 e ? x ? 2 ? 0 的 一 个 根 所 在 的 开 区 间 为 ____
x

_____.

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5
正视图 侧视图

13．如右图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长 为 4 一个内角为 60? 的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么 这个几何体的表面积为________．

俯视图

14．若直线 l1 : 4 x ? y ? 4 ? 0 ， l 2 : mx ? y ? 0 ， l3 : 2x ? 3my ? 4 ? 0 不能构成三角形 ， 则实数 m 的值是： _______________. 三、解答题： （本大题共5小题，满分44分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. (本小题 9 分) 求以 N ?1,3? 为圆心，并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程.

P
16. (本小题 9 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中， 底面 ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO ? 底面 ABCD ， E 是 PC 的中 点． 求证： ． PA //平面 BDE ； （1） （2） ．平面 PAC ? 平面 BDE ．

E D O A B

C

17.（本小题 9 分） 设 a 为实数，函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1， x ? R ． （Ⅰ）若 f ( x ) 是偶函数，试求 a 的值； （Ⅱ）求证：无论 a 取任何实数，函数 f ( x ) 都不可能是奇函数．

18. (本小题 9 分) 20 世纪 30 年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测 震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我 们常说的里氏震级 M ,其计算公式为： M ? lg A ? lg A0 ，其中， A 是被测地震的最大振幅，

A0 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的
偏差） 。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20， 此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到 0.1） ； （2）5 级地震给人的震感已比较明显，计算 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振 幅的多少倍？ （以下数据供参考： lg 2 ? 0.3010 ， lg3 ? 0.4770 ）

19. (本小题 8 分)
2 2 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .

（1）若 k ? 2 ,求函数 f (x) 的零点; （2）若函数 f (x) 在区间 (0, 2) 上有两个不同的零点,求 k 的取值范围。

中山市高一级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷参考答案
一、选择题： 1 2 C B 二、填空题： 11． 6 三、解答题： 15．解：因为点 N ?1,3? 到直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离 d ? 所以所求的圆的方程是： ? x ? 1? ? ? y ? 3? ?
2 2

3 D

4 B

5 A

6 C

7 C

8 D

9 A

10 C

12. (1,2)

13.

?

14.

? 1或 ?

1 2 或 或4 6 3

3? 4?3? 7 5

?

16 ，? (5 分) 5

256 .???? (9 分) 25
?? (1 分)

16. 证明： (1) 连接 AC 、 OE ， AC ? BD ? O ，

在△ PAC 中，∵ E 为 PC 中点， O 为 AC 中点．∴ PA // EO ，? (2 分) 又∵ EO ? 平面 BDE ， PA ? 平面 BDE ， P ∴ PA //平面 BDE ? (4 分) （2）∵ PO ? 底面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD E ∴ PO ? BD ． ????????( 6 分) 又∵底面 ABCD 是正方形，∴ BD ? AC ， AC , PO 是平 面 PAC 内的两条相交直线 D ∴ BD ? 平面 PAC ． ??????? (8 分) O 又 BD ? 平面 BDE ,∴平面 PAC ? 平面 BDE .??? (9 分) A B 17. 解： （Ⅰ）∵ f ( x ) 是偶函数，∴ f (? x) ? f ( x) 在 R 上恒成立， 即 (? x)2 ? | ? x ? a | ?1 ? x2 ? | x ? a | ?1， 化简整理，得 ax ? 0 在 R 上恒成立， ∴a ? 0． （另解 ：由 f ( x ) 是偶函数知， f (?1) ? f (1) 即 (?1)2 ? | ?1 ? a | ?1 ? 12 ? |1 ? a | ?1 整理得 | a ? 1|?| a ? 1| ，解得 a ? 0
2 再证明 f ( x) ? x ? | x | ?1是偶函数，所以 a ? 0 ）

C

????3 分 ????5 分

证 明 ： 用 反 证 法 。 假 设 存 在 实 数 a ， 使 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 ， 则 f (? x) ? ? f ( x) 在 R 上恒成立，∴ f (0) ? ? f (0) ，∴ f (0) ? 0 ， 但无论 a 取何实数， f (0) ?| a | ?1 ? 0 ，与 f (0) ? 0 矛盾。 矛盾说明，假设是错误的，所以无论 a 取任何实数，函数 f ( x ) 不可能是奇函数．??9 分 18. 解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001 ? lg

（Ⅱ）

20 ? lg 20000? lg 2 ? lg104 ? 4.3 0.001

因此，这次地震的震级为里氏 4.3 级. ???? (4 分)

(2)由 M ? lg A ? lg A0 可得 M ? lg

A A ,即 ? 10M ， A ? A0 ? 10M . A0 A0

当 M ? 8 时 , 地 震 的 最 大 振 幅 为 A1 ? A0 ? 108 ; 当 M ? 5 时 , 地 震 的 最 大 振 幅 为

A2 ? A0 ?105 ;所以，两次地震的最大振幅之比是：

A1 A0 ? 108 ? ? 108?5 ? 1000? (8 分) A2 A0 ? 105
?1? 3 2

答：8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1000 倍. ???? (9 分) 19．解： （1）当 x ? 1或x ? ?1 时， 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ， x ?

1 ， 2 ?1? 3 1 所以函数 f (x) 的零点为 ,? .???? (3 分) 2 2 ?kx ? 1, x ? (0,1] （2） f ( x) ? ? ???? (4 分) 2 ?2 x ? kx ? 1, x ? (1,2)
当 ? 1 ? x ? 1 时， 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ①两零点在 (0,1], (1,2) 各一个： 当 x ? (0,1] 时， f ( x) ? kx ? 1, f (1) ? 0 ? k ? ?1 当 x ? (1,2) 时， f ( x) ? 2 x2 ? kx ? 1， ?

? f (1) ? 0 7 ? ? ? k ? ?1, ???? (6 分) 2 ? f (2) ? 0 ② 两 零 点 都 在 (1,2) 上 时 ， 显 然 不 符 合 x1 x 2 ? ?1 ? 0 . 综 上 ， k 的 取 值 范 围 是 ：

?

7 ? k ? ?1, ???? (8 分) 2