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2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.1 向量的概念及表示 Word版含解析


学业分层测评(十四)

向量的概念及表示

(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 必定________. 【解析】 平行向量主要考虑方向相同或相反,依题意可知,c,b 同向或

者反向,所以 c 与 b 必定平行(或共线). 【答案】 平行(或共线)

2.如图(1),某人想要从点 A 出发绕阴影部分走一圈,他可按图(2)中提供的 向量行走,则这些向量的排列顺序为________.

图 217 【答案】 a e d c b

3.已知 a,b 为两个向量,给出以下 4 个条件: ①|a|=|b|;②a 与 b 的方向相反;③|a|=0 或|b|=0;④a 与 b 都是单位向量. 由条件________一定可以得到 a 与 b 平行. 【解析】 长度相等或都是单位向量不能得到 a∥b,但方向相反或其中一

个为零向量可以说明 a∥b.故填②③. 【答案】 ②③

→ → 4.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量AB是平行向量,与BC是 共线向量,则 m=________. 【解析】 ∴m=0. 【答案】 0 → → → → ∵AB与BC不共线,且 m∥AB,m∥BC,

5.如图 218 所示,已知 AD=3,B,C 是线段 AD 的两个三等分点,分别 以图中各点为起点和终点,模长度大于 1 的向量有________.

图 218 【解析】 满足条件的向量有以下几类:

→ → → → 模长为 2 的向量有:AC,CA,BD,DB; → → 模长为 3 的向量有:AD,DA. 【答案】 → → → → → → AC,CA,BD,DB,AD,DA

6.给出以下 5 个条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a 与 b 的方向相反; ④|a|=0 或|b|=0; ⑤a 与 b 都是单位向量. 其中能使 a 与 b 共线的是________.(填所有正确的序号) 【解析】 根据相等向量一定是共线向量知①正确;

|a|=|b|但方向可以任意,∴②不成立; a 与 b 反向必平行或重合,∴③成立; 由|a|=0 或|b|=0,得 a=0 或 b=0.根据 0 与任何向量共线,得④成立;两单 位向量的模相等但方向不定,∴⑤不成立. 【答案】 ①③④

7.如图 219,四边形 ABCD 是平行四边形,E,F 分别是 AD 与 BC 的中 点,则在以 A,B,C,D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中,与向 → 量EF方向相反的向量为________.

图 219 【解析】 ∵AB∥EF,CD∥EF,

→ → → ∴与EF方向相反的向量为CD,BA. 【答案】 → → CD,BA

8.如图 2110 所示,四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形.

图 2110 → (1)与向量ED相等的向量有________; → → (2)若|AB|=3,则向量EC的模等于________. → → → 【解析】 相等向量既模相等, 又方向相同, 所以与ED相等的向量有AB, DC. → 若|AB|=3, → → 则|ED|=|DC|=3, → 所以,|EC|=2×3=6. 【答案】 二、解答题 9.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务,先从 A 地向北偏东 30° 方向行驶 2 千米到 D 地,然后从 D 地沿北偏东 60° 方向行驶 6 千米到达 C 地,从 C 地又向 南偏西 30° 方向行驶 2 千米才到达 B 地. → → (1)AB,DC (2)6

图 2111 → → → → (1)在如图 2111 所示的坐标系中画出AD,DC,CB,AB; (2)求 B 地相对于 A 地的方位. 【导学号:06460041】 【解】 → → → → (1)向量AD,DC,CB,AB如图所示.

→ → (2)由题意知AD=BC, ∴AD 綊 BC,则四边形 ABCD 为平行四边形,

→ → ∴AB=DC,则 B 地相对于 A 地的方位是“北偏东 60° ,6 千米”. 10.如图 2112 所示,O 为正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED, OCFB 都是正方形.

图 2112 → (1)写出与AO相等的向量; → (2)写出与AO共线的向量; → → (3)向量AO与CO是否相等? 【解】 → → → → (1)与AO相等的向量有:OC,BF,ED.

→ → → → → → → → → → (2)与AO共线的向量有:OA,OC,CO,AC,CA,ED,DE,BF,FB. → → → → (3)向量AO与CO不相等,因为AO与CO的方向相反,所以它们不相等. [能力提升] → 1.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,则|BD|=________ . 【解析】 【答案】 → 结合菱形的性质可知|BD|= 3×2=2 3. 2 3

2. 如图 2113 所示, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形, 把各边三等分后, → 连结相应分点,共有 16 个交点,从中选取 2 个交点组成向量,则与AC平行且长 度为 2 2的向量个数有________.

图 2113 【解析】 图中共有 4 个边长为 2 的正方形,每个正方形中有符合条件的向 量 2 个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量,方向相反),故满足条件的向量

共有 8 个. 【答案】 8个

3.如图 2114 所示,已知四边形 ABCD 是矩形,O 为对角线 AC 与 BD 的 → 交点,设点集 M={O,A,B,C,D},向量的集合 T={PQ|P,Q∈M,且 P,Q 不相等},则集合 T 有________个元素.

图 2114 【解析】 以矩形 ABCD 的四个顶点及它的对角线交点 O 五点中的任一点

为起点,其余四点中的一个点为终点的向量共有 5×4=20(个).但这 20 个向量 → → → → → → 不是各不相等的,它们有 12 个向量各不相等,即为AO(OC),OA(CO),DO(OB), → → → → → → → → → → → → → → AD(BC),DA(CB),AB(DC),BA(CD),BO(OD),AC,CA,BD,DB,由元素的 互异性知 T 中有 12 个元素. 【答案】 12

4.如图 2115,在正方形 ABCD 中,M,N 分别为 AB 和 CD 的中点,在以 A,B,C,D,M,N 为起点和终点的所有向量中,相等的向量分别有多少对?

图 2115 【解】 不妨设正方形的边长为 2,则以 A,B,C,D,M,N 为起点和终

→ → → → → → → 点的向量中:①模为 2 的相等向量共有 8 对,AB=DC,BA=CD,AD=BC,DA → → → → → =CB,AD=MN,DA=NM, → → → → BC=MN,CB=NM. → → → → ②模为 1 的相等向量有 12 对,其中与AM同向的有MB,DN,NC,这四个 → → → → → → → → → 向量组成相等的向量有 6 对,即AM=MB,AM=DN,AM=NC,MB=DN,MB

→ → → → =NC,DN=NC,同理与AM反向的也有 6 对. → → → → → → → → ③模为 5的相等向量共有 4 对,AN=MC,NA=CM,MD=BN,DM=NB.


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