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甘肃省张掖市高台县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题Word版含答案

一、单选题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共计 60 分). 1.
1 ? 2i

?1 ? i ?

2

?




1 B. ?1 ? i 2 1 C. 1 ? i 2 1 D. 1 ? i 2

1 A. ?1 ? i 2

1 ? ? 2.已知集合 A ? ? x | y ? log 2 ( x 2 ? 1)? , B ? ? y | y ? ( ) x ?1 ? ,则 A ? B ? ( 2 ? ?

)

1 A. ( ,1) B. (1, 2) C. (0, ??) D. (1, ??) 2 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(



A. y ? ? x 2 ? 1

B. y ? lg | x |

C. y ?

1 x

D. y ? e ? x )

4. 在各项都为正数的等比数列 {a n } 中, 首项为 3, 3 项和为 21, a3 等于 前 则 ( A.15 B.12 C.9 D.6 )
? x ? x ? 4 ?, x ? 0, ? 5.已知函数 f ? x ? ? ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为( ? x ? x ? 4 ?, x ? 0. ?

C. 3 D. 4 ??? ???? ? ??? ? 6.在 ?ABC 中, ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值是( A、

A. 1

B. 2



2

B、 2

C、 6

D、 6

7 . 若 关 于 x 的 不 等 式 x 2 ? ax ? c ? 0 的 解 集 为 {x |? 2 x ? 1} 且 函 数 , ?
y ? ax3 ? mx 2 ? x ?
1 c 在区间 ( ,1) 上不是单调函数,则实数 m 的取值范围为 2 2



) A. (?3,? 3 ) C. (??,?2) ? ( 3 ,??) B. [?3,? 3 ] D. (??,?2] ? (? 3,??)

?? ? ?? ? ?? ? 8 . 已 知 向 量 m ? ? ? ? 1 , ?1 , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 m ? n ? m ? n, 则 ? ?

?

? ?

?



) A. ?4

B. ?3

C. ?2

D. ?1

9.已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m ? ? , n / /? , 则m / / n ③若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? 其中真命题的序号为( ) A.①② B.②③ ②若 m ? ? , n / /? , 则m ? n ④若 m / /? , n / /? , 则m / / n C.③④ D.①④

?x ? y ? 2 ? 10.已知 O 是坐标原点,点 A ? ?1,1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 上的一 ?y ? 2 ? ??? ???? ? ? 个动点,则 OA ? OM 的取值范围是( )

A. ? ?1, 0? 11.双曲线 A.
5 3

B. ? 0,1?

C. ? 0, 2 ? ) C.
3 5

D. ? ?1, 2?

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 16 9

B.

5 4

D.

4 5

12.曲线 y ? e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A. e 2 B. 2e2 C. 4e2 D.
e2 2



第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 4 分,满分 20 分. 1 ? 13.设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( , ? ) ,则 cos 2? 的值是____ 2 2

.

? x ? 1, x ? 0, ? 14.已知函数 f ( x) ? ?0, x ? 0, 是奇函数,则 g (?2) 的值是 ? g ( x), x ? 0 ?

.

? ? 15 . 如 果 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 ? a 5? a 7 12 , 那 么 a1 ? a2 ? ? a9的 值



.

16 . 已 知 函 数 f

? x?4 ?

a ? __________. 17.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.

a x? ? x

x?0 , a? 0在 x ? 3 时 取 得 最 小 值 , 则 ?

三、解答题(本大题共 5 个大题,每题 12 分,共计 60 分).
18. (12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? x ? R ? . (1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值;

?? 2 ? (2)若 ? 为锐角,且 f ? ? ? ? ? ,求 tan 2? 的值. 8? 3 ?

19. (12 分) 如图, 在三棱锥 V ? ABC 中,VC ? 底面 ABC , AC ? BC, D 为 AB 的 中点, AC ? BC ? VC ? a . (1)求证: AB ? 平面 VCD ; (2)求点 C 到平面 VAB 的距离。

20. (12 分)对某校高一年级学生参加社区服务次数统计,随机抽取了 M 名学生 作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频 率的统计表如下: (1)求出表中 M , r, m, n 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求 至少一人参加社区服务次数在区间 ? 25,30 ? 内的概率.

21. (12 分)设函数 f ? x ? ? 的两个根分别为 1 、 4 .

a 3 ,且方程 f ? ? x ? ? 9 x ? 0 x ?bx 2 ? cx ? d (其中 a ? 0 ) 3

(1)当 a ? 3 且曲线 y ? f ? x ? 过原点时,求 f ? x ? 的解析式; (2)若 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 无极值点,求 a 的取值范围.

22. (12 分)已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , F2 关于直线 5

x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时, 求直线 l 的方程.

选做题(本大题共 3 个小题,每题 10 分,考生只能在第 22,23,24 题中任选一题 作答, 多做无效, 只按所做的第一题给分, 请在答题卡上写清所做题目的题号) .

23.(10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF·EC. (Ⅰ)求证:CE·EB = EF·EP; (Ⅱ)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长.

24.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).若以坐标原 4 ? y ? ?1 ? t 5 ? 点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? 2 sin(? ? ) . 4
(Ⅰ) 求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

25.(10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (Ⅰ)ab+bc+ac ? ; 3 (Ⅱ)
a 2 b2 c 2 ? ? ?1 b c a

(2)点 C 到平面 VAB 的距离为

3 a 3

此时 x ? 0 为函数 f ? x ? 的极小值点,不合乎题意; 故 a ? 0 ,由于函数 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 无极值点,则 ? ? ? 9 ? 5a ? ? 4 ? a ? 4a ? 0 ,
2

即 ? 9 ? 5a ? 4a ?? 9 ? 5a ? 4a ? ? 0 ,化简得 9 ? a ? 1?? a ? 9 ? ? 0 ,解得 1 ? a ? 9 , 故实数 a 的取值范围是 ?1, 9 ? . 22. (Ⅰ)圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 ; (Ⅱ)直线的方程是 x ? ? 3 y ? 2.
2 2

解析: (Ⅰ) 设圆 C 和圆 D 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称,由题意知圆 D 的直径为 心

F1F2 ,

所以圆

D ? 0, 0 ?

,半径 r ? c ?

a 2 ? b 2 ? 2 , 圆心 D 与 圆 心 C 关 于直 线 x ? y ? 2 ? 0 对 称

2 2 ?C ( 2, 2) ,故圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 ;

(I)∵ DE 2 ? EF ? EC , ∴ ?EDF ? ?C , 又∵ ?P ? ?C ,∴ ?EDF ? ?P , ∴ ?EDF ∽ ?PAE ∴ EA ? ED ? EF ? EP


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