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2010年湖北黄冈中学高三数学《专题十一 空间向量及其应用》


2010年湖北黄冈中学

空间 向量及应用

第一课时:

空间向量及其运算

第一课时:

空间向量及其运算

[课前导引]

第一课时:

空间向量及其运算

[课前导引]
? ? AC和BD的交点, 若 A1 B1 ? a , A1 D1 ? b , A1 A ? ? c , 则下列式子中与 1 M相等的是 ( ) B 1? 1? ? 1? 1? ? A. ? a ? b ? c B. a ? b ? c 2 2 2 2 1? 1? ? 1? 1? ? D. ? a ? b ? c C. a ? b ? c 2 2 2 2
1. 平行四面体ABCD-A1B1C1D1中, M为

[解析] 如图, B1 M ? B1 B ? BM

1 ? B1 B ? ( BA ? BC ) 2 1 1 ? A1 A ? A1 B1 ? A1 D1 2 2 A ? 1? 1? M ? c ? a ? c. 2 2
B A1
B1

D
C C1 D1

[解析] 如图, B1 M ? B1 B ? BM

1 ? B1 B ? ( BA ? BC ) 2 1 1 ? A1 A ? A1 B1 ? A1 D1 2 2 A D ? 1? 1? M ? c ? a ? c. 2 2 D1 B C A1 答案:A
B1 C1

2. P是二面角?-AB-? 棱上的一点, 分 别在?、? 平面上引射线PM、PN, 如果 ∠MPN=60?, 那么二面角?-AB-? 的大小为 ( ) A. 30? B. 60? C. 90? D. 120?
?
A

M P E N

?

F B

2. P是二面角?-AB-? 棱上的一点, 分 别在?、? 平面上引射线PM、PN, 如果 ∠MPN=60?, 那么二面角?-AB-? 的大小为 ( ) A. 30? B. 60? C. 90? D. 120?
[解析] 如图, 设PM=a, PN=b, 作ME⊥AB,

∠EPM=∠EPN=45?,

?
A

M P E N

2 2 故PE ? a , PF ? b, 2 2

?

F B

于是 EM ? FN ? ( PM ? PE ) ? ( PN ? PF ) ? PM ? PN ? PM ? PF ? PE ? PN ? PE ? PF 2 2 ? ab cos 60? ? a ? b cos 45? ? ? b cos 45? 2 2 2 2 ? a? b ? 0. ? EM ? NF 2 2 ? M 即二面角为 ?. 90 F
A

?

P

E N

B

于是 EM ? FN ? ( PM ? PE ) ? ( PN ? PF ) ? PM ? PN ? PM ? PF ? PE ? PN ? PE ? PF 2 2 ? ab cos 60? ? a ? b cos 45? ? ? b cos 45? 2 2 2 2 ? a? b ? 0. ? EM ? NF 2 2 ? M 即二面角为 ?. 90 F
答案:C
A

?

P

E N

B

[考点搜索]

[考点搜索]
1. 空间向量的概念,表示及其运算.

2. 空间向量的基本定理,以及空间向
量的数量积的定义和性质.

3. 利用向量解决有关平行、垂直问题.
4. 利用向量求空间角. 5. 利用向量求空间距离.

[链接高考]

[链接高考]
1 [例1] 在棱长为 的正方体ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M、 分别为A1 B1和BB1的中点, 那么直线 N AM与CN所成的角为( )
D1 M D N B C1 B1 C

3 10 A1 A. arccos B. arccos 2 10 3 2 C. arccos D. arccos A 5 5

[解析] ? AM ? AA1 ? A1 M , CN ? CB ? BN ,

? AM ? CN ? ( AA1 ? A1 M ) ? (CB ? BN ) 1 ? AA1 ? BN ? .而 AM ? 2 ( AA1 ? A1 M ) ? ( AA1 ? A1 M ) D 1 ? AA1 ? A1 M
2 2

C1 B1 C B

A1

M D N

1 5 ? 1? ? . 4 2

A

5 同理 CN ? , 2 AM ? CN 则 cos ? ? AM ? CN 1 2 ? 2. ? 5 5 4
A1

D1 M

C1 B1
C B

D N
A

[例2] 在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, O为AC与BD的交点, G为CC1的中点,

求证:A1O ? 平面GBD.
D1 A1 D B1 G C1

C
O

A

B

[例2] 在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, O为AC与BD的交点, G为CC1的中点,

求证:A1O ? 平面GBD. ? ? ? [证明] 设 A1 B1 ? a , A1 D1 ? b , A1 A ? c . ? ? ? ? ? ? C1 则a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0. D1
而 A1O ? A1 A ? AO 1 ? A1 A ? ( AB ? AD) 2
A1 D B1 G

C
O

A

B

? 1 ? ? ? c ? (a ? b ), 2

? ? BD ? AD ? AB ? b ? a ,

D1 C1 OG ? OC ? CG A1 B1 1 1 ? ( AB ? AD ) ? CC1 G 2 2 D C 1 ? ? 1? ? (a ? b ) ? c , A O B 2 2

? 1? 1? ? ? ? A1O ? BD ? (c ? a ? b ) ? (b ? a ) 2 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? c (b ? a ) ? (a ? b )( b ? a ) 2 D1 C1 ? ? ? ? 1 ?2 ?2 B1 ? c ? b ? c ? a ? (b ? a ) A1 2 G 1 ?2 ?2 ? ( b ? a ) ? 0. D C 2 A
O B

? 1? 1? 1? 1? 1? A1O ? OG ? (c ? a ? b ) ? ( a ? b ? c ) 2 2 2 2 2 1 ? ? 2 1 ? ? ? 1 ?2 ? (a ? b ) ? c (a ? b ) ? c 4 4 2 D1 C1 1 ?2 ?2 1 ?2 ? (a ? b ) ? c A1 B1 4 2 G 1 ?2 ?2 1 ?2 ? (a ? b )? c D C 4 2 A O B ? 0.

? A1O ? BD, A1O ? OG. 又 ? BD ? OG ? O , ? A1O ? 平面BDG.

D1 A1 D A O B1

C1 G C B

? A1O ? BD, A1O ? OG. 又 ? BD ? OG ? O ,

D1 A1 D B1

C1 G C

? A1O ? 平面BDG. A O B ? ? ? ? a [评注] 向量a垂直于向量b 的充要条件是 ? b ? 0, 据此可以证明直线与直 线垂直, 在证明 一对向量垂直时 往往用一组基底先表示 , 这 一向量, 再考虑它们的数量积是 否为0.

[例3] 如图, 在四棱锥M ? ABCD中, 底面 ABCD是边长为a的正方形, 侧棱AM的长

为b, 且AM和AB、 的夹角都等于 ?, N AD 60 是CM的中点. (1) 以 AB、 、 为基向量表示出向 AD AM 量CM , 并求出CM的长; ( 2) 求异面直线BN 和AC所成角的大小 .
M N D
C A

B

[解析]

(1) CM ? AM ? AC

? AM ? ( AB ? BC ) ? AM ? ( AB ? AD) ? AM ? AB ? AD, CM ? ( AM ? AB ? AD) ? AM ? AB ? AD
2 2 2 2 2

M N D B
A

C

? 2 AM ? AB ? 2 AM ? AD ? 2 AB ? AD

? b ? a ? a ? 2ba cos 60?
2 2 2

? 2ba cos 60? ? 2a cos 90?
2

M N D A B

? 2a ? 2ab ? b ,
2 2

? CM ? 2a ? 2ab ? b .
2 2

C

1 ( 2) ? BN ? BC ? CN ? BC ? ( AM 2 1 ? AB ? AD) ? ( AM ? AB ? AD), 2 2 2 2 2 1 ? BN ? ( AM ? AB ? AD ? 2 AM ? AB 4 M 1 2 2 ? 2 AM ? AD) ? ( 2a ? b ) 4 N D A 1 2 2 ? BN ? 2a ? b . B C 2

? AC ? AB ? AD,? AC ? 2a . 1 又 AC ? BN ? ( AM ? AB ? AD) ? ( AB ? AD) 2 1 ? ab, ? cos ? BN , AC ? M 2 1 ab N D A 2 ? 1 2 2 B C 2a ? b ? 2a 2

?

b 4a ? 2b
2 2 2 2

M N D A

b 4a ? 2b ? . 2 2 B C 4a ? 2b 所以异面直线 和AC所成的角 BN b 4a ? 2b 为 arccos . 2 2 4a ? 2b
2 2

ABCD ? [例4] 如图,已知:平行六面体 A1 B1C1 D1的底面ABCD是菱形, 且?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60?. (1) 证明:C1C ? BD; B1 A1 ( 2) 假定CD ? 2, CC1 ? D1 C1 3 , 记面C1 BD为? , 面CBD 2 B A 为? , 求二面角? ? BD ? ? O D 的平面角的余弦值; C

CD ( 3) 当 的值为多少时 能使A1C ? , CC1 平面C1 BD?请给出证明 .
B1 C1 B C O D D1 A A1

CD ( 3) 当 的值为多少时 能使A1C ? , CC1 平面C1 BD?请给出证明 . ? ? B1 A1 [解析] (1) 设CB ? a , CD ? b , D1 ? ? ? C1 CC1 ? c , 则 a ? b . ? ? B ? BD ? CD ? CB ? b ? a , A ? ? ? O D ? BD ? CC1 ? (b ? a ) ? c C ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? c ? a ? c ? b ? c cos 60? ? a c cos 60? ? 0. ? CC1 ? BD.

( 2) 连AC、 , 设AC ? BD ? O , 连OC1 , BD 则?C1OC为二面角? ? BD ? ?的平面角 . 1 ? CO ? (CB ? CD) B1 A1 2 1 ? ? D1 C1 ? (a ? b ), 2 B A C1O ? CO ? CC1 O D 1 ? ? ? C ? (a ? b ) ? c , 2

1 ? ? 1 ? ? ? ? CO ? C1O ? (a ? b ) ? [ (a ? b ) ? c ] 2 2 ? ? ?2 1 ? ? 1 ? ? 1 ?2 ? ( a ? 2a ? b ? b ) ? a ? c ? b ? c 4 2 2 1 B1 A1 ? (4 ? 2 ? 2 ? 2 cos 60? ? 4) 4 D1 C1 1 2 ? ? 2 ? ? cos 60? ? 2 3 B A 1 3 3 ? 2 ? cos 60? ? . O D C 2 2 2

3 又 CO ? 3, 1O ? , C 2 ? cos ?C1OC ? CO ? C1O CO ? C1O
B C1

B1

A1

D1 A
O D

3 ? . 3

C

CD 2 ( 3) 设 ? x , CD ? 2, 则CC1 ? . CC1 x ? BD ? 平面AA1C1C , ? BD ? A1C . ? 只须求x满足 A1C ? C1 D ? 0. B1 A1 ? 设 A1 A ? a , D1 C1 ? ? AD ? b ? DC ? c , ? ? ? B A ? A1C ? a ? b ? c , ? ? O D C C1 D ? (a ? c ),

? ? ? ? ? ? A1C ? C1 D ? (a ? b ? c ) ? (a ? c ) ?2 ? ? ? ? ?2 4 2 ? a ? a ? b ? b ? c ? c ? 2 ? ? 6. x x 2 4 2 令 6 ? ? 2 ? 0, 即3 x ? x ? 2 ? 0. x x B1 A1 2 解得x ? 1, x ? ? ( 舍去), D1 C1 3 CD ?当 ? 1时, B A CC1 A1C ? 平面C1 BD. O D C

[评注] 本题蕴涵着转化思想,即把空

间垂直关系的判定、二面角的求解以
及待定值的探求全部转化为平面向量 的基本运算,给人耳目一新、思路清 晰之感,确实为解决立体几何问题开 拓了一条全新的思路.

第二课时:

空间向量的坐标运算及应用

第二课时:

空间向量的坐标运算及应用

[课前导引]

第二课时:

空间向量的坐标运算及应用

[课前导引]
(长郡原创) 1. 如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是异面直线A1D与AC的 公垂线段. 则AF= ( )
A1

1 1 A. AC B. AC 4 3 1 2 C. AC D. AC 2 3

D1 M

C1 B1 C B

E D A F

[解析] 如图建立空间直角坐标系, 设 正方形边长为1, 则A(1, 0, 0), C(0, 1, 0), A1(1, 0, 1), D(0, 0, 0). 设 AF ? ? AC ,
DE ? ? DA1 , 则 DE ? ( ? ,0, ? ), z D1 DF ? DA ? AF M A1 ? (1,0,0) ? ? ( ?1,1,0) ? (1 ? ? , ? ,0). E D 即E ( ? ,0, ? ), F (1 ? ? , ? ,0), A F x ? EF ? (1 ? ? ? ? , ? ,? ? ).
C1 B1 C B y

又 AC ? ( ?1,1,0), DA1 ? (1,0,1), 且EF是AC、DA1的公垂线, ? AC ? EF ? 0 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ?? ?? ? DA1 ? EF ? 0 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? z 1 ? D1 C1 ?? ? 3 ,? AF ? 1 AC . A M ?? 1 B1 1 3 ?? ? 3 ? C E D
A x

F

y

B

又 AC ? ( ?1,1,0), DA1 ? (1,0,1), 且EF是AC、DA1的公垂线, ? AC ? EF ? 0 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ?? ?? ? DA1 ? EF ? 0 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? z 1 ? D1 C1 ?? ? 3 ,? AF ? 1 AC . A M ?? 1 B1 1 3 ?? ? 3 ? C E D

答案:B

A x

F

y

B

2. 已知两点A(1,?2,3), B(2,1,?1), 则 AB连线与平面xOz的交点坐标是______.

2. 已知两点A(1,?2,3), B(2,1,?1), 则 AB连线与平面xOz的交点坐标是______.

[解析] 设AB与平面xOz的交点
为C(x, 0, z), 则

AC ? ? AB,

即( x ? 1,2, z ? 3) ? ? (1,3,4).

2 ? ?? ? 3 ?x ?1 ? ? ? 5 ? ? ? ?2 ? 3? ? ?x ? , 3 ? z ? 3 ? ?4? ? ? 1 ? ?z ? 3 ? 5 1 ? AB与平面xOz的交点为( ,0, ). 3 3

[考点搜索]

[考点搜索]
1. 理解空间向量坐标的概念,掌握 空间向量的坐标运算. 2. 掌握用直角坐标计算空间向量数 量积公式,掌握空间两点间的距离公式. 3. 掌握用空间向量坐标证明有关垂 线和平行问题. 4. 利用空间向量坐标计算空间角和 距离.

[链接高考]

[链接高考]
[例1] 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1 , 底面

?ABC中, CA ? CB ? 1, ?BCA ? 90?, 棱AA1 ? 2, M、N分别是A1 B1、A1 A的中点. (1) 求 BN的长; ( 2) 求 cos ? BA1 ? CB1 ? 的值; ( 3) 求证A1 B ? C1 M .
C1 A1 M C A B1

N
B

[解析] 以C为原点建立

C1 A1 M C A

空间直角坐标系 ? xyz . O (1) 依题意得B(0,1,0), N (1,0,1),
2

B1

N B

所以 BN ? (1 ? 0) ? (0 ? 1) ? (1 ? 0)
2

2

? 3.

( 2) 依题意有A1 (1,0,2), B(0,1,0), C (0,0,0), B1 (0,1,2), 所以BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6 , CB1 ? 5 . BA1 ? CB1
A1 N C1 M

B1

C
A

B

1 ? cos ? BA1 ? CB1 ?? ? 30 . BA1 ? CB1 10

1 1 ( 3) 依题意得C1 (0,0,2), M ( , ,2), 2 2 1 1 A1 B ? ( ?1,1?,2), C1 M ? ( , ,0), 2 2 1 1 C1 B1 ? A1 B ? C1 M ? ? ? ? 0 A 1 2 2 M ? 0,
N

? A1 B ? C1 M .

C
A

B

[例2] 如图所示, M、N、P分别是正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1中的棱CC1、BC、 的 CD 中点.求证:A1 P ? 平面DMN .
D1 A1 C1

B1 D M P C N B

A

[例2] 如图所示, M、N、P分别是正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1中的棱CC1、BC、 的 CD 中点.求证:A1 P ? 平面DMN .
[解析] 建立如图所示
z
A1 D1 C1

的空间直角坐标系 , 设正方体棱长为 2, 则D(0,0,0), A1 ( 2,0,2),

B1 D M P C y N B

A x

P (0,1,0), M (0,2,1), N (1,2,0).

?向量 A1 P ? (0,1,0) ? ( 2,0,2) ? ( ?2,1,?2), DM ? (0,2,1) ? (0,0,0) ? (0,2,1), DN (1,2,0).
A1 D A x z D1 B1 M P C N y B C1

? A1 P ? DM ? ( ?2,1,?2) ? (0,2,1) ? ( ?2) ? 0 ? 1 ? 2 ? ( ?2) ? 1 ? 0.

A1 P ? DN ? ( ?2,1,?2) ? (1,2,0) ? ( ?2) ? 1 ? 1 ? 2 ? ( ?2) ? 0 ? 0. ? A1 P ? DM , A1 P ? DN , 即直线A1 P ? DM , A1 P ? DN , 又 ? DM ? DN ? D, ? A1 P ? 平面DMN .
A1
D A x z D1 B1 M P C y N B C1

[评注] 证明线面垂直,本质上就是 证明线线垂直,而利用空间向量的坐

标运算证明线线垂直,只要证明两直
线上的向量的数量积为0即可.

[例3] 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,

底面是以?ABC为直角的等腰直角三 角形, AC ? 2a , BB1 ? 3a , D为A1C1的中 点, E为B1C的中点. (1) 求直线BE 与A1C所成的角;
B B1 A1 D E F A C1

C

( 2) 在线段AA1上是否存在点 , 使CF F ? 平面B1 DF , 若存在, 求出 AF ; 若不存在, 说明理由.
B1 A1 D E F A C C1

B

( 2) 在线段AA1上是否存在点 , 使CF F ? 平面B1 DF , 若存在, 求出 AF ; 若不存在, 说明理由.
[解析] (1) 以B为原点,
z B1 A1 D C1

建立如图所示的空间 直角坐标系 .

E B F A x

y C

? AC ? 2a , ?ABC ? 90?, AB ? BC ? 2a ,

? B(0,0,0), C (0, 2a ,0), A( 2a ,0,0), A1 ( 2a ,0,3a ), C1 (0, 2a ,3a ), B1 (0,0,3a ), 2 2 2 3 ? D( a, a ,3a ), E (0, a , a ). 2 2 2 2 z ? CA1 ? 2a ,? 2a ,3a ),
B1

11 BE ? a, 2 ? CA1 ? 13a , BE ?

A1 D

C1

2

E B F 11 a, A x

y C

9 2 7 2 ? CA1 ? BE ? 0 ? a ? a ? a , 2 2
2

? cos ? ?

CA1 ? BE CA1 ? BE

z B1 A1 D

C1

7 143 ? . 143

E B F A x

y C

7 143 故BE与A1C所成的角为arccos . 143

( 2) 假设存在点F , 要使CF ? 平面 B1 DF , 只要CF ? B1 F 且CF ? B1 D. 不妨设AF ? b, 则F ( 2a ,0, b ). CF ? ( 2a ,? 2a , b ), B1 F ? ( 2a ,0, b ? 3a ), 2 2 B1 D ? ( a, a ,0), 2 2
z C1

B1

A1 D

E B F A x

y C

? CF ? B1 D ? a ? a ? 0,
2 2

? CF ? B1 D,? CF ? B1 D恒成立. 而 B1 F ? CF ? 2a ? b(b ? 3a ) ? 0
2

? b ? a或b ? 2a , 故当 AF ? a或 2a时, CF ? 平面B1 DF .

z

B1

A1 D

C1

E B F A x

y C

[例4] 如图,以正四棱锥V ? ABCD底面中 心O为坐标原点建立空间直 角坐标系O ? xyz , 其中Ox // BC , Oy // AB, E为VC中点, 正 四棱锥底面边长为 a , 高为h. 2

(1) 求 cos ? BE , DE ?; ( 2) 记面BCV为? , 面 DCV为? , 若?BED是二 面角? ? VC ? ?的平面角, A 求?BED.

z V E

D
x

O

B

C y

[解析] (1) 依题意, B(a , a ,0), C ( ?a , a ,0), a a h z D( ? a ,? a ,0), E ( ? , , ), V 2 2 2 E 3a a h ? BE ? ( ? ,? , ), C 2 2 2 D a 3a h O B y A DE ? ( , , ). x 2 2 2 3a a a 3a h h ? BE ? DE ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 3a h ?? ? , 2 4

3a 2 a 2 h 2 BE ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ) 2 2 2 1 2 2 ? 10a ? h z 2 V 3a 2 a 2 h 2 E DE ? ( ) ? ( ) ? ( ) 2 2 2 C D 1 2 2 O B y ? 10a ? h , A x 2 由向量的数量积公式有 ,

cos ? BE ? DE ??
2

BE ? DE BE ? DE
2

3a h ? ? 2 4 ? 1 2 2 1 2 2 10a ? h ? 10a ? h 2 2 2 2 ? 6a ? h ? . A 2 2 10a ? h

z V E

D x
O B

C y

( 2) ? ?BED是二面角? ? VC ? ? 的平面角,? BE ? CV , 即有 BE ? CV ? 0. 又由C ( ?a , a ,0), V (0,0, h)得 z CV ? (a ,?a , h), 3a a h 且 BE ? ( ? ,? , ), 2 2 2 2 2 2 3a a h A ? BE ? CV ? ? ? ? 2 2 2 ? 0,
V
E D x

O

B

C y

即 h ? 2a . ? 6a ? h 此时有 cos ? BE , DE ?? 2 2 10a ? h z 2 2 V ? 6a ? ( 2 a ) 1 ? ?? , E 2 2 3 10a ? ( 2a )
2 2

? ?BED ?? BE , DE ? A 1 1 ? arccos( ? ) ? ? ? arccos . 3 3

D x O

B

C y

[评注] 本题除考查概念是否清楚、

公式记忆是否准确、运算是否熟练
外,突出的是考查同学们运用向量 研究空间图形的数学思想方法是否

明确.


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