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绥中县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

绥中县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.1﹣

B. ﹣

C.

D. ,则该双曲线离心率 e=( C. ) D. )

2. 设双曲线焦点在 y 轴上,两条渐近线为 A.5 B.

3. 抛物线 x=﹣4y2 的准线方程为( A.y=1 B.y= A.(0,2) C.x=1 D.x=

4. 函数 f(x)=x3﹣3x2+5 的单调减区间是( B.(0,3) C.(0,1)

) D.(0,5) )

5. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是( A. B. C. D.

6. 将正方形的每条边 8 等分, 再取分点为顶点 (不包括正方形的顶点) , 可以得到不同的三角形个数为 ( A.1372 7. 在△ABC 中,b= A. B.2 C. B.2024 C.3136 ) D.4495



,c=3,B=30°,则 a=( 或2 D.2

8. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数

A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i 【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力.

2 ? z2 ? ( z D. 2 ? i



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9. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问 各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且 甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题 中,甲所得为( ) A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱 10.设 f ( x ) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数,又 f (5) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的的取值范围是( A. ?5 ? x ? 0 或 x ? 5 B. x ? ?5 或 x ? 5 C. ?5 ? x ? 5 ) ) 11.设 a=sin145°,b=cos52°,c=tan47°,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 12.若函数 f(x)=3﹣|x﹣1|+m 的图象与 x 轴没有交点,则实数 m 的取值范围是( A.m≥0 或 m<﹣1 B.m>0 或 m<﹣1 C.m>1 或 m≤0 D.m>1 或 m<0 . ) D. x ? ?5 或 0 ? x ? 5

二、填空题
13.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为

14.抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,经过其准线与 y 轴的交点 Q 的直线与抛物线切于点 P ,则 ?FPQ
2

外接圆的标准方程为_________. 15.在(1+x)(x2+ )6 的展开式中,x3 的系数是 16.已知函数 f ( x) ? .

2 tan x ? ,则 f ( ) 的值是_______, f ( x ) 的最小正周期是______. 2 1 ? tan x 3

【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质等基础知识,意在考查运算求解能力. 17.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为 a,第二次朝上一面的点数为 b,则函 数 y=ax ﹣2bx+1 在(﹣∞,2]上为减函数的概率是
2



18.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________.

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三、解答题
19.已知 p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0 (1)若 a= ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

20.为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前,已有 a 人在排队等候购 票.开始售票后,排队的人数平均每分钟增加 b 人.假设每个窗口的售票速度为 c 人/min,且当开放 2 个窗口 时,25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完);若同时开放 3 个窗口,则 15min 后恰好不会出 现排队现象.若要求售票 10min 后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口?

3 2 2 21.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ?1 , a ? 0 .

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
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(2)若关于的不等式 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上有解,求实数的取值范围.

22. 本小题满分 12 分如图, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?BAD ? 60 , 点 E 、F 分别在边 CD 、CB 上. 点

E 与点 C 、D 不重合, EF ? AC , EF
平 面 ABFED . Ⅰ求 证 : BD ? 平 面 P O A;

AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ?

Ⅱ记 三 棱 锥 P ? A B D 的 体 积 为 V1 ,四 棱 锥 P ? BDEF 的 体 积 为 V2 ,且
D E A O F B C

P

V1 4 求此时线段 PO 的长. ? , V2 3

D A B F O

E C

23.(本题满分 15 分) 如图 AB 是圆 O 的直径, C 是弧 AB 上一点, VC 垂直圆 O 所在平面, D , E 分别为 VA , VC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 VBC ; (2)若 VC ? CA ? 6 ,圆 O 的半径为 5 ,求 BE 与平面 BCD 所成角的正弦值.

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【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,线面等基础知识,意在考查空间想象能力和运算求解能力.

24.甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化?印象莆田”知识竞赛活动,进行针对性训练,近 8 次的训练成绩如下(单位:分): 甲 83 81 93 79 78 84 88 94 乙 87 89 89 77 74 78 88 98 (Ⅰ)依据上述数据,从平均水平和发挥的稳定程度考虑,你认为应派哪位选手参加?并说明理由; (Ⅱ)本次竞赛设置 A、B 两问题,规定:问题 A 的得分不低于 80 分时答题成功,否则答题失败,答题成功 可获得价值 100 元的奖品,问题 B 的得分不低于 90 分时答题成功,否则答题失败,答题成功可获得价值 300 元的奖品.答题顺序可自由选择,但答题失败则终止答题.选手答题问题 A,B 成功与否互不影响,且以训练 成绩作为样本,将样本频率视为概率,请问在(I)中被选中的选手应选择何种答题顺序,使获得的奖品价值 更高?并说明理由.

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绥中县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,

连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴 影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是 故选 A.



2. 【答案】C 【解析】解:∵双曲线焦点在 y 轴上,故两条渐近线为 y=± x, 又已知渐近线为 故双曲线离心率 e= = 故选 C. 【点评】 本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 判断渐近线的斜率 = , 是解题的关键. ,∴ = ,b=2a, = = ,

3. 【答案】D 【解析】解:抛物线 x=﹣4y 即为 y2=﹣ x, 可得准线方程为 x= 故选:D. .
2

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4. 【答案】A
3 2 【解析】解:∵f(x)=x ﹣3x +5, 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x,

令 f′(x)<0,解得:0<x<2, 故选:A. 【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题. 5. 【答案】A 【解析】解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 个, 取出的 3 个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4), (2,4,5),(3,4,5)共 3 个, 故取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率 P= 故选:A. 【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件. 6. 【答案】 C 【解析】 【专题】排列组合. 【分析】分两类,第一类,三点分别在三条边上,第二类,三角形的两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶 点在另一条边,根据分类计数原理可得. 【解答】解:首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上.任选正方形的三边,使三个顶点分别在其 上,有 4 种方法,
3 3 再在选出的三条边上各选一点,有 7 种方法.这类三角形共有 4×7 =1372 个.



另外,若三角形有两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶点在另一条边上,则先取一边使其上有三角形的两 个顶点,有 4 种方法, 再在这条边上任取两点有 21 种方法,然后在其余的 21 个分点中任取一点作为第三个顶点.这类三角形共有 4×21×21=1764 个. 综上可知,可得不同三角形的个数为 1372+1764=3136. 故选:C. 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,还要结合几何图形,属于中档题.

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7. 【答案】C 【解析】解:∵b=
2 2

,c=3,B=30°,
2 2 ,整理可得:a ﹣3

2 ∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,可得:3=9+a ﹣3

a+6=0,

∴解得:a= 故选:C.

或2



8. 【答案】A 【 解 析 】

9. 【答案】B 【解析】解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即 a=﹣6d, 又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1, 则 a﹣2d=a﹣2× 故选:B. 10.【答案】B = .

考 点:函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性,数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数,所 以定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称,单调性在 y 轴两侧相反,即在 x ? 0 时单调递增,当 x ? 0 时, 函数单调递减.结合 f (5) ? 0 和对称性,可知 f (?5) ? 0 ,再结合函数的单调性,结合图象就可以求得最后的 解集.1 11.【答案】A 【解析】解:∵a=sin145°=sin35°,b=cos52°=sin38°,c=tan47°>tan45°=1, ∴y=sinx 在(0,90°)单调递增, ∴sin35°<sin38°<sin90°=1, ∴a<b<c

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故选:A 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用,正弦函数的单调性,难度不大,属于基础题. 12.【答案】A 【解析】解:∵函数 f(x)=3﹣
|x 1| ∴﹣m=3﹣ ﹣ 无解, |x﹣1| +m

的图象与 x 轴没有交点,

∵﹣|x﹣1|≤0, ∴0<3﹣
|x﹣1|

≤1,

∴﹣m≤0 或﹣m>1, 解得 m≥0 或 m>﹣1 故选:A.

二、填空题
13.【答案】 {(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} . 【解析】解:图中的阴影部分的点设为(x,y)则 {x,y)|﹣1≤x≤0,﹣ ≤y≤0 或 0≤x≤2,0≤y≤1} ={(x,y)|xy>0 且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} 故答案为:{(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1}.
2 2 14.【答案】 ? x ? 1? ? y ? 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 2 2

【解析】 试题分析:由题意知 F ? 0,1? ,设 P ? x0 ,

? ?

1 1 1 1 2? x0 ? ,由 y ' ? x ,则切线方程为 y ? x0 2 ? x0 ? x ? x0 ? ,代入 2 4 2 4 ?
2

? , 1 ? ,可得 PF ? FQ ,则 ?FPQ 外接圆以 PQ 为直径,则 ? x ? 1? ? 0, ?1? 得 x0 ? ?2 ,则 P ? 2,1 ,? ?2 2 2 2 2 2 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 .故本题答案填 ? x ? 1? ? y ? 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 .1
考点:1.圆的标准方程;2.抛物线的标准方程与几何性质. 15.【答案】 20 .
2 6 【解析】解:(1+x)(x + ) 的展开式中,

? y2 ? 2

x3 的系数是由(x2+ )6 的展开式中 x3 与 1 的积加上 x2 与 x 的积组成;

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2 6 又(x + ) 的展开式中,

通项公式为 Tr+1=

?x12﹣3r,

令 12﹣3r=3,解得 r=3,满足题意; 令 12﹣3r=2,解得 r=
3

,不合题意,舍去; =20.

所以展开式中 x 的系数是 故答案为:20. 16.【答案】 ? 3 , ? .

? ? 2 tan x ? 2? ? x ? ? k? ? tan 2 x ,∴ f ( ) ? tan ? ? 3 ,又∵ ? 【解析】∵ f ( x ) ? ,∴ f ( x ) 的定义域为 2 1 ? tan 2 x 3 3 2 ?1 ? tan x ? 0 ?
? k? ) ( ? k? , ? k? ) , k ? Z ,将 f ( x) 的图象如下图画出,从而 2 4 4 4 4 2 可知其最小正周期为 ? ,故填: ? 3 , ? . (?

?

? k? , ?

?

? k? ) ( ?

?

? k? ,

?

?

?

17.【答案】



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【解析】解:由题意,函数 y=ax ﹣2bx+1 在(﹣∞,2]上为减函数满足条件 ∵第一次朝上一面的点数为 a,第二次朝上一面的点数为 b,

2



∴a 取 1 时,b 可取 2,3,4,5,6;a 取 2 时,b 可取 4,5,6;a 取 3 时,b 可取 6,共 9 种 ∵(a,b)的取值共 36 种情况 ∴所求概率为 故答案为: . = .

18.【答案】 【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体 则截面为 即截去一个三棱锥 所以该几何体的体积为: 故答案为: 其体积为: 中,BC 中点为 E,CD 中点为 F,

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:p: ∴(1)若 a= ,则 q: ∵p∧q 为真,∴p,q 都为真; ∴ ,∴ ; ,q:a≤x≤a+1; ;

∴实数 x 的取值范围为



(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p; ∴ ,∴ ;

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∴实数 a 的取值范围为



【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 真假和 p,q 真假的关系,以及充分不必要条件的概念. 20.【答案】 【解析】解:设至少需要同时开 x 个窗口,则根据题意有, 由①②得,c=2b,a=75b,代入③得,75b+10b≤20bx, ∴x≥ , .

即至少同时开 5 个窗口才能满足要求. 21. 【答案】 (1) f ( x ) 的单调递增区间是 ? ??, ?2? 和 ? 【解析】 试题分析:(1) a ? 2 时,利用导数与单调性的关系,对函数求导,并与零作比较可得函数的单调区间; (2) 对函数求导,对参数分类讨论,利用函数的单调性求函数的最小值,使最小值小于或等于零,可得的 取值范围. 试题解析:(1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ?1 , 所以 f '( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) ,
2

2 ?2 ? , ?? ? ,单调递减区间为 ( ?2, ) ;(2)[1, ??) . 3 ?3 ?

由 f '( x) ? 0 ,得 x ?

2 或 x ? ?2 , 3
2 3

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?2, ) . (2)要使 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上有解,只要 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最小值小于等于 0. 因为 f '( x) ? 3x ? 2ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,
2 2

令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ?

a ? 0 , x2 ? ?a ? 0 .1 3

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考点:导数与函数的单调性;分类讨论思想. 22.【答案】 【解析】Ⅰ证明:在菱形 ABCD 中, ∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO . ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF , ∵平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ∵ AO Ⅱ设 AO
PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . BD ? H .由Ⅰ知, PO ? 平面 ABFED ,

平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF ,

∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D 及四棱锥 P? BDEF 的高,

V 4 1 1 ∴ V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO ,∵ 1 ? , 3 3 V2 3
3 3 1 ∴ S梯形BFED ? S?ABD ? S?CBD ,∴ S?CEF ? S?CBD , 4 4 4
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∵ BD ? AC, EF ? AC , ∴ EF / / BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD . ∴(
CO 2 S?CEF 1 ) ? ? , CH S ?CBD 4

1 1 1 ∴ CO ? CH ? AH ? ? 2 3 ? 3 , ∴ PO ? OC ? 3 . 2 2 2

3 146 . 146 【解析】(1)∵ D , E 分别为 VA , VC 的中点,∴ DE / / AC ,…………2 分
23.【答案】(1)详见解析;(2) ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? BC ,…………4 分 又∵ VC ? 圆 O ,∴ VC ? AC ,…………6 分

BC ? C ,∴ DE ? 面VBC ;…………7 分 1 1 (2)设点 E 平面 BCD 的距离为 d ,由 VD?BCE ? VE ?BCD 得 ? DE ? S ?BCE ? ? d ? S ?BCD ,解得 3 3 3 2 ,…………12 分 设 BE 与平面 BCD 所成角为 ? ,∵ BC ? AB2 ? AC 2 ? 8 , d? 2 d 3 146 .…………15 分 ? BE ? BC 2 ? CE 2 ? 73 ,则 sin ? ? BE 146
∴ DE ? BC , DE ? VC ,又∵ VC 24.【答案】 【解析】解:(I)记甲、乙两位选手近 8 次的训练的平均成绩分别为 . .… , 、 ,方差分别为 、



.… 因为 , ,所以甲、乙两位选手的平均水平相当,但甲的发挥更稳定,故应派甲参加.…

(II)记事件 C 表示为“甲回答问题 A 成功”,事件 D 表示为“甲回答问题 B 成功”,则 P(C)= ,P(D)= , 且事件 C 与事件 D 相互独立. … 记甲按 AB 顺序获得奖品价值为 ξ,则 ξ 的可能取值为 0,100,400. P(ξ=0)=P( )= ,P(ξ=100)=P( 即 ξ 的分布列为: )= ,P(ξ=400)=P(CD)= .

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ξ P

0

100

400

所以甲按 AB 顺序获得奖品价值的数学期望 记甲按 BA 顺序获得奖品价值为 η,则 η 的可能取值为 0,300,400. P(η=0)=P( )= ,P(η=300)=P( 即 η 的分布列为: 0 η P 300 )=

.…

,P(η=400)=P(DC)= 400



所以甲按 BA 顺序获得奖品价值的数学期望 因为 Eξ>Eη,所以甲应选择 AB 的答题顺序,获得的奖品价值更高.…

.…

【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望 等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.

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