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开福区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

开福区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知 a=5 ,b=log2 ,c=log5 ,则( )

姓名__________

分数__________

A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c

? f ( x ? 5) x ? 2 ? x 2. 已知函数 f ( x) ? ?e ? 2 ? x ? 2 ,则 f (?2016) ? ( ? f (? x) x ? ?2 ?
A. e
2



B. e

C.1

D.

1 e


【命题意图】本题考查分段函数的求值,意在考查分类讨论思想与计算能力. 3. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3 4. =( ) B. 2 3 C.

3

D.

3 2

A.﹣i B.i C.1+i D.1﹣i 5. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是 ( )

A.

B. ) D.﹣

C.

D.

6. sin(﹣510°)=( A. B. C.﹣

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7. 已知 α,β 为锐角△ABC 的两个内角,x∈R,f(x)=( 式 f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0 的解集为( A.(﹣∞, )∪(2,+∞) B.( ,2) )



|x﹣2|

+(



|x﹣2| ,则关于

x 的不等

C.(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞) )

D.(﹣ ,2)

2) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k 值为( 2) , b ? (?3 , 8. 已知平面向量 a ? (1 , 11 1 A. ? B. C. 11 D. 19 9 5

【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识,意在考查基本运算能力. 9. 已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若 实数 a 的取值范围是( A. C. B. D. ) ) ,则

10.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,3},B={0,1,4},则(?UA)∪B 为( A.{0,1,2,4} B.{0,1,3,4} C.{2,4} D.{4}

10

11. 如图, 网格纸上正方形小格的边长为 1, 图中粗线画出的是某几何体的三视图, 则几何体的体积为 ( A.



8

1 6

B.

1 3

C. 1

D.

4 3

6

4

2

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图,几何体的体积等基础知识,意在考查学生空间想象能力和计算能 力.
2 5 10 15

12. A.9 B. C.3

(﹣6≤a≤3)的最大值为( D.



4

二、填空题
6

8

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10

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13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥, 圆锥的体积 V 圆锥=
2

π( )2dx=

x3| =



据此类推:将曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V= .

14.满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 的个数是
2

. .

15.若 a,b 是函数 f(x)=x ﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后 成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于

16.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且 f(x)=axg (x)(a>0 且 a≠1), 为 . + = .若数列{ }的前 n 项和大于 62,则 n 的最小值

17.如图所示是 y=f(x)的导函数的图象,有下列四个命题: ①f(x)在(﹣3,1)上是增函数; ②x=﹣1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中真命题为 (填写所有真命题的序号).

18.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为

.

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三、解答题
19.已知 F1,F2 分别是椭圆 且|PF1|=4,PF1⊥PF2. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求点 P 的坐标. =1(9>m>0)的左右焦点,P 是该椭圆上一定点,若点 P 在第一象限,

20.设函数 f(x)= x2ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[﹣2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,﹣ (1)求 ω ,φ ;

<φ <

)的部分图象如图所示;

(2)将 y=f(x)的图象向左平移 θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象的一个 对称点为( ,0),求 θ 的最小值. , ]时,方程 f(x)=m 有两个不等根,求 m 的取值范围.

(3)对任意的 x∈[

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22.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切钱 EP 交 CB 的延长线于 P,己知∠PAB=25°. (1)若 BC 是⊙O 的直径,求∠D 的大小;
2 (2)若∠DAE=25°,求证:DA =DC?BP.

23.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温. 14 12 8 6 气温(℃)

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用电量(度)

22

26

34

38 )

(1)求线性回归方程;(

(2)根据(1)的回归方程估计当气温为 10℃时的用电量.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=



= ﹣



24.如图,A 地到火车站共有两条路径



,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所

用时间落在个时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望 。

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开福区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵a=5 ∴a>c>b. 故选:C. 2. 【答案】B 【解析】 f (?2016) ? f (2016) ? f (5 ? 403 ? 1) ? f (1) ? e ,故选 B. 3. 【答案】B 【解析】 >1,b=log2 <log5 =c<0,

考点:正弦定理的应用. 4. 【答案】 B 【解析】解: 故选:B. 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力. 5. 【答案】 A 【解析】解:考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时,注水量 V 与水深 h 的函数关系. 如图所示,此时注水量 V 与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半. 对照选项知,只有 A 符合此要求. 故选 A. = = =i.

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【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 6. 【答案】C 【解析】解:sin(﹣510°)=sin(﹣150°)=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣ , 故选:C. 7. 【答案】B 【解析】解:∵α,β 为锐角△ABC 的两个内角,可得 α+β>90°,cosβ=sin(90°﹣β)<sinα,同理 cosα<sinβ, ∴f(x)=( )
|x﹣2|

+(



|x﹣2| ,在(2,+∞)上单调递减,在(﹣∞,2)单调递增,

由关于 x 的不等式 f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0 得到关于 x 的不等式 f(2x﹣1)>f(x+1),
2 ∴|2x﹣1﹣2|<|x+1﹣2|即|2x﹣3|<|x﹣1|,化简为 3x ﹣1x+8<0,解得 x∈( ,2);

故选:B. 8. 【答案】A

9. 【答案】 A 【解析】解:取 a=﹣ 时,f(x)=﹣ x|x|+x, ∵f(x+a)<f(x), ∴(x﹣ )|x﹣ |+1>x|x|, (1)x<0 时,解得﹣ <x<0; (2)0≤x≤ 时,解得 0 ;

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(3)x> 时,解得



综上知,a=﹣ 时,A=(﹣ , ),符合题意,排除 B、D; 取 a=1 时,f(x)=x|x|+x, ∵f(x+a)<f(x),∴(x+1)|x+1|+1<x|x|, (1)x<﹣1 时,解得 x>0,矛盾; (2)﹣1≤x≤0,解得 x<0,矛盾; (3)x>0 时,解得 x<﹣1,矛盾; 综上,a=1,A=?,不合题意,排除 C, 故选 A. 【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识,考查数形结合思想、分类讨论思想,考查 学生分析解决问题的能力,注意排除法在解决选择题中的应用. 10.【答案】A 【解析】解:∵U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,3}, ∴CUA={2,4}, ∵B={0,1,4}, ∴(CUA)∪B={0,1,2,4}. 故选:A. 【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

11.【答案】D 【 解 析 】

12.【答案】B

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【解析】解:令 f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣ (a)的最大值为 故 故选 B. ,

+

,而且﹣6≤a≤3,由此可得函数 f

(﹣6≤a≤3)的最大值为

=



【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 8π .

【解析】解:由题意旋转体的体积 V= 故答案为:8π.
2

=

=8π,

【点评】本题给出曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的平面图形,求该图形绕 xy 轴转一周得到旋转体的体积.着重 考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题. 14.【答案】 4 . 【解析】解:由题意知, 满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有: {2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,1,4}, 故共有 4 个, 故答案为:4. 15.【答案】 9 .

【解析】解:由题意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得 a>0,b>0, 又 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 可得 解①得: ①或 ;解②得: ②. .

∴p=a+b=5,q=1×4=4,
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则 p+q=9. 故答案为:9. 16.【答案】 1 . 【解析】解:∵x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数, ∴如图,当 x∈[0,1)时,画出函数 f(x)=x﹣[x]的图象,

再左右扩展知 f(x)为周期函数. 结合图象得到函数 f(x)=x﹣[x]的最小正周期是 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.

17.【答案】 ① 【解析】解:由图象得:f(x)在(1,3)上递减,在(﹣3,1),(3,+∞)递增, ∴①f(x)在(﹣3,1)上是增函数,正确, x=3 是 f(x)的极小值点,②④不正确; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数,不正确, 故答案为:①. 18.【答案】 2 3 【解析】 试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得

BC ? AB ,即 A ? C ,所以 C ? 30? ,∴ B ? 90? , AB ? BC , S?ABC
考点:正弦定理,三角形的面积.

1 2 3 2 , sin A ? ,又 ? 2 3 sin A 2 1 ? ? AB ? BC ? 2 3 . 2

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定 理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b 、 a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正 弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形
2 2

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时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式

1 1 1 abc ab sin C , ah , (a ? b ? c)r , 等等. 2 2 2 4R

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知得:|PF2|=6﹣4=2, 在△PF1F2 中,由勾股定理得, 即 4c =20,解得 c =5. ∴m=9﹣5=4; (Ⅱ)设 P 点坐标为(x0,y0),由(Ⅰ)知, ∵ , , , ,
2 2





,解得



∴P(

).

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查了椭圆的简单性质,属中档题. 20.【答案】 【解析】解:(1) 令 ∴f(x)的单增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞); 单减区间为(﹣2,0).… (2)令 ∴x=0 和 x=﹣2,… ∴
2 ∴f(x)∈[0,2e ]…



∴m<0… 21.【答案】

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【解析】解:(1)根据函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,﹣ ? 求得 ω =2. 再根据五点法作图可得 2? +φ = ,求得 φ =﹣ = ,

<φ <

)的部分图象,可得

,∴f(x)=2sin(2x﹣

). )的图

(2)将 y=f(x)的图象向左平移 θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)=2sin=2sin(2x+2θ ﹣ 象, ∵y=g(x)图象的一个对称点为( 故 θ 的最小正值为 (3)对任意的 x∈[ . , ]时,2x﹣ ∈[ , , ],sin(2x﹣ ,0),∴2? +2θ ﹣ =kπ ,k∈Z,∴θ = ﹣



)∈,即 f(x)∈,

∵方程 f(x)=m 有两个不等根,结合函数 f(x),x∈[

]时的图象可得,1≤m<2.

22.【答案】 【解析】解:(1)∵EP 与⊙O 相切于点 A,∴∠ACB=∠PAB=25°, 又 BC 是⊙O 的直径,∴∠ABC=65°, ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠ABC+∠D=180°, ∴∠D=115°. 证明:(2)∵∠DAE=25°,∴∠ACD=∠PAB,∠D=∠PBA, ∴△ADC∽△PBA,∴ ,

2 又 DA=BA,∴DA =DC?BP.

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23.【答案】 【解析】解:(1)由表可得: 又 ∴ ∴线性回归方程为: , ; ; ; ;

(2)根据回归方程:当 x=10 时,y=﹣2×10+50=30; ∴估计当气温为 10℃时的用电量为 30 度. 【点评】考查回归直线的概念,以及线性回归方程的求法,直线的斜截式方程. 24.【答案】 【解析】(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2,用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0。1+0。2+0。3=0。6,P(A2)=0。1+0。4=0。5, P(A1) >P(A2), P(B2) >P(B1), 甲应选择 Li 乙应选择 L2。 P(B1)=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8,P(B2)=0。1+0。4+0。4=0。9, (2)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知 ,又由题意知,A,B 独立,

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