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2013版高中全程复习方略课时提能演练:选修4-1.2圆与直线、圆与四边形(北师大版·数学理)

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比例,答案解析附后。
课时提能演练(七十五)

(4 5 分钟 100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)

1.如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC

切⊙O 于 C,若∠A=25°,则∠D 等于( )

(A)40°

(B)50°

(C)60°

(D)70°

2.圆内接四边形 ABCD 中,∠A=60°,∠B=90°,AD=4,CD=3,则 BC 等于( )

(A)2 3 (C)2 3-32

(B)4 3 (D)2 3+32

3.(2011·北京高考)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与

圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论:

①AD+AE=AB+BC+CA; ②AF·AG=AD·AE; ③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是( )

(A)①②

(B)②③

(C)①③

(D)①②③

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

4.(2011·广东高考)如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,

且 PB=7,点 C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=

.

5.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长

线上一点,且 DF=CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若 CE 与圆相切,则线段 CE

的长为

.

6.(2011·湖南高考)如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,

AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为

.

三、解答题(每小题 10 分,共 70 分) 7.(2011·江苏高考)如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2), 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上),
求证:AB∶AC 为定值. 8.(2012·长春模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 是⊙O 上的点,OC 垂直于直 径 AB,过点 F 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D.连接 CF 交 AB 于点 E.
(1)求证:DE2=DB·DA; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OB= 3OE,求 EF 的长. 9.如图,直线 AB 过圆心 O,交圆 O 于 A、B,直线 AF 交圆 O 于 F(不与 B 重合), 直线 l 与圆 O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. 学*科*网Z*X*X*K]

求证:(1)∠BAC=∠CAG; (2)AC2=AE·AF. 10.如图所示,已知 PA 是⊙O 切线,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC.
(1)求证:A、P、D、F 四点共圆; (2)若 AE·ED=24,DE=EB=4,求 PA 的长. 11.如图,圆 O 的直径 AB=10,弦 DE⊥AB 于点 H,HB=2.
(1)求 DE 的长; (2)延长 ED 到点 P,过点 P 作圆 O 的切线,切点为点 C,若 PC=2 5,求 PD 的 长. 12.(2 011·辽宁高考)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的延长线交于点 E,且 EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到点 F,延长 DC 到点 G,使得 EF=EG,证明:

A,B,G,F 四点共圆. 13.已知在△ABC 中,AB=AC,点 D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合),延长 BD 至点 E.
(1)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3,求△ABC 外接圆的面积.
学.科.

答案解析
1.【解析】选 A.连接 OC,则 OC⊥DC.因为∠A=25°,OC=OA,所以∠DOC= 50°,所以∠D=40°. 2.【解析】选 C.延长 DC,AB 交于点 P,则∠P=30°,
∴AP=8,DP=4 3, ∴PC=4 3-3,
3 ∴BC=2 3- .
2 3.【解题指南】利用切割线定理、弦切角定理判断以上结论是否正确. 【解析】选 A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD +AE,故①正确; 因为 AE2=AF·AG,AD2=AF·AG, ∴AE2·AD2=(AF·AG)2, ∴AE·AD=AF·AG,故②正确; ∠AFB+∠BFG=∠FDG+∠BFG=180°, ∴∠AFB=∠FDG≠∠ADG, ∴△AFB 与△ADG 不相似,故③不正确.
Z+xx+k

4.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例,求得 AB 的值.
【解析】由弦切角定理,得∠PAB=∠ACB.又∵∠BAC=∠APB,∴△ABP∽△CBA,
AB PB ∴ = ,∴AB2=PB·BC=7×5=35,∴AB= 35.
BC AB

答案: 35 5.【解析】设 BE=x,则 AF=4x,FB=2x.因为 AF·FB=DF·FC,所以 8x2=2,

1

7

x= .又 CE2=BE·AE,即 CE= 7x= .

2

2

7 答案:
2
6.【解析】连接 AB、AO、CE、OE,则△OAB,△OCE 是边长为 2 的等边三角
形,∠ABD=60°,

3

1

1

AD= ×2= 3,BD= ×2=1.在 Rt△BEC 中,∠BCE=60°,EC= ×4=2,

2

2

2

3 BE= ×4=2 3.
2
易知△BDF∽△BEC,
DF BD ∴=,
EC BE

3 ∴DF= .
3
23 ∴A F=AD-DF= .
3
23 答案:
3
7.【解题指南】本题考查的是三角形相似的判定及其性质. 【证明】连接 O1A,则 O2 在 O1A 上.连接 O2C,O1B,则 O2A=O2C,O1A= O1B, ∴∠O2AC=∠O2CA,∠O1AC=∠O1BA, ∴∠O2CA=∠O1BA,
AB O1B r1 ∴△AO2C∽△AO1B,∴AC=O2C=r2(定值).
8.【解析】(1)连接 OF. ∵DF 切⊙O 于点 F, ∴ ∠OFD=90°, ∴∠OFC+∠CFD=90°. ∵OC=OF, ∴∠OCF=∠OFC. ∵CO⊥AB, ∴∠OCF+∠CEO=90°. ∴∠CFD=∠CEO=∠DEF,

∴DF=DE. ∵DF 是⊙O 的切线, ∴DF2=DB·DA. ∴DE2=DB·DA.
1 (2)∵OE= OB=2,CO=2 3 ,
3 ∴CE= CO2+OE2=4. 又∵CE·EF=AE·EB=(2 3+2)(2 3-2)=8, ∴EF=2. 9.【证明】(1)连接 BC.∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°=∠AGC. ∵GC 切圆 O 于点 C, ∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. (2)连接 CF, ∵EC 切圆 O 于点 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∵∠BAC=∠CAG ,

∴△ACF∽△AEC.
AC AF ∴=,
AE AC
∴AC2=AE·AF.
DE EF 10.【解析】(1)∵DE2=EF·EC,∴ = .
CE ED
又∵∠DEF=∠CED, ∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠ECD. 又∵CD∥PA,∴∠ECD=∠P, ∴∠P=∠EDF,∴A,P,D,F 四点共圆. (2)由(1)及相交弦定理,得 PE·EF=AE·ED=24, 又 BE·EC=AE·ED=24,
DE2 8 ∴EC=6,EF= = ,PE=9 ,PB=5,PC=PB+BE+EC=15,
EC 3
由切割线定理,得 PA2=PB·PC=5×15=75, ∴PA=5 3. 11.【解析】(1)∵AB 为圆 O 的直径,AB⊥DE,DH=HE, ∴DH2=AH·BH=(10-2)×2=16, ∴DH=4,DE=8. (2)∵PC 切圆 O 于点 C,∴PC2=PD·PE, 即(2 5) 2=PD·(PD+8),解得 PD=2. 12.【证明】(1)∵EC=ED,∴∠EDC=∠ECD.

∵A,B,C,D 四点在同一圆上, ∴∠EDC=∠EBA, ∴∠ECD=∠EBA,∴CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE, ∵EF=EG, ∴∠EFD=∠EGC, ∴∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,∴∠FAE=∠GBE. 又∵CD∥AB,∠EDC=∠ECD,∴∠FAB=∠GBA. ∴ ∠AFG+∠GBA=180°. ∴A,B,G,F 四点共圆. 13.【解析】(1)如图,设点 F 为 AD 延长线上一点. ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC. ∵AB=AC, ∴∠ ABC=∠ACB, ∠ADB=∠ACB, Z§xx§k ∴∠ADB=∠CDF. ∵∠EDF=∠ADB,∴∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. (2)设点 O 为△ABC 外接圆的圆心,连接 AO 并延长交 BC 于点 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,则∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,

∴∠OCH=60°.

3 设圆半径为 r,则 r+ r=2+
2

3,解得 r=2. 学&科&网 Z&X&X&K]

∴△ABC 外接圆的面积为 4π.


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