fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013高考数学总复习精品课件:3-2利用导数研究函数的性质 99张(人教版)_图文

走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章

导数及其应用

第三章
第二节 利用导数研究函数的性质

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:1.用导数判定函数单调性的方法. 2.函数极值的概念及求法、函数的最值. 难点:导函数的图象与函数单调性的关系.

夯实基础

稳固根基

1.函数的单调性 (1)设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,如果f ′(x)___ 0, >
< 则f(x)在区间(a,b)内为增函数;如果f ′(x)__ 0,则f(x)在区

间(a,b)内为减函数. (2)①如果在某个区间内恒有f 数. ′(x)=0,则f(x)等于常

②对于可导函数 f(x)来说,f ′(x)>0 是 f(x)在(a,b)上为 单调增函数的充分不必要条件,f ′(x)<0 是 f(x)在(a,b)上为 单调减函数的充分不必要条件,如 f(x)=x3 在 R 上为增函数, 但 f ′(0)=0,所以在 x=0 处不满足 f ′(x)>0.

2.函数的极值 (1)函数极值的定义 已知函数 y=f(x),设 x0 是定义域(a,b)内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)),则称 f(x)在点 x0 取得极大(小)值,称 x0 是 f(x)的一个极大(小)值点.

3.函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值: 在闭区间[a, b]内可导的函数 f(x) 必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内可导的函数 f(x)不 一定有最大值与最小值. 疑难误区 点拨警示

1.利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题 (1)利用导数值的符号来求函数的单调区间,必须在函数 的定义域内解不等式 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0). ....

(2)在对函数划分单调区间时, 除了必须确定使导数等于 0 的点外,还要注意函数的不连续点或不可导点. (3)注意在某一区间内 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)是函数 f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分条件. 2.若 y=f(x)在(a,b)内可导,f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0,且 y=f(x)在(a,b)内导数 f ′(x)=0 的点仅有有限个,则 y=f(x) 在(a,b)内仍是单调函数.

3.讨论含参数的函数的单调性时,必须注意分类讨论. 4.极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值,需对极值和区间端点的函 数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大 值就是最大值,极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零,但是导数为零的点不一 ........ 定是极值点. ...... (4)极值是一个局部概念,极大值不一定比极小值大. .. ...

思想方法技巧

解题技巧 1.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求导数 f ′(x); (2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)>0 和 f ′(x)< 0; (3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单调区间.

2.判断极值的方法:当函数 f(x)在点 x0 处可导且 f ′(x0) =0. (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,那么 f(x0)为极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)<0,右侧 f ′(x)>0,那么 f(x0)是极小值.

3.求最值的步骤: (1)求导数 f ′(x); (2)求方程 f ′(x)=0 的所有实数根; (3)考察在每个根 x0 附近,从左到右,导函数 f ′(x)的符 号如何变化.如果 f ′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值; 如果由负变正,则 f(x0)是极小值. (4)将 f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较大小,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.

注:据新课标的要求,有关函数最大值、最小值的实际问 题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到 函数在区间内只有一个极值点, 那么不与端点值比较, 就可以 知道这一点就是最大(小)值点. 4.求函数的极值、最值时,要严格按解题步骤规范条理 的写出解答过程,养成列表的习惯,含参数时注意分类讨论, 已知单调性求参数的值域或取值范围时,要注意其中隐含 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立.还要注意 f(x)在区间 A 上单调 增(或减)与 f(x)的单调增(或减)区间是 A 的区别.

5.构造法 在利用导数研究函数的性质,证明不等式等解题过程中, 常常要构造函数,构造方程等来促成问题的解决. [例] 2?x-1? 证明不等式 lnx> ,其中 x>1. x+1

2?x-1? 解析:设 f(x)=lnx- x+1

(x>1).

?x-1?2 1 4 则 f ′(x)= - = , x ?x+1?2 x?x+1?2 ∵x>1,∴f ′(x)>0. ∴f(x)在(1,+∞)内为单调增函数. 又∵f(1)=0,当 x>1 时,f(x)>f(1)=0, 2?x-1? 2?x-1? 即 lnx- >0.∴lnx> . x+1 x+1

考点典例讲练

利用导数研究函数的单调性

[例 1]

(文)(2012· 山西高考联合模拟)已知函数 f(x)=lnx

1 2 - ax -2x(a<0). 2 (1)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; 1 1 (2)若 a=-2且关于 x 的方程 f(x)=-2x+b 在[1,4]上恰 有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围.

1 2 解析:(1)∵f(x)=lnx- ax -2x, 2 ax2+2x-1 ∴f ′(x)=- (x>0). x 依题意 f ′(x)≥0 在 x>0 时恒成立, ax2+2x-1≤0 在 即 x>0 时恒成立. 1-2x 1 则 a≤ x2 =(x-1)2-1 在 x>0 时恒成立,

1 即 a≤(( -1)2-1)min(x>0), x 1 当 x=1 时,( x-1)2-1 取得最小值-1, ∴a 的取值范围是(-∞,-1].

1 1 (2)a=- 时,方程 f(x)=- x+b 化为, 2 2 1 2 3 ∴4x -2x+lnx-b=0. 1 2 3 设 g(x)= x - x+lnx-b(x>0), 4 2 ?x-2??x-1? 则 g′(x)= ,列表如下: 2x

x g′(x) g(x)

(0,1) + ↗

1 0 极大 值

(1,2) - ?↘

2 0 极小 值

(2,4) + ?↗

∴g(x)的极小值为 g(2)=ln2-b-2,g(x)的极大值为 g(1) 5 =-b- , 4

又 g(4)=2ln2-b-2, ∵方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根. ?g?1?≥0, ? 则?g?2?<0, ?g?4?≥0, ? 5 得 ln2-2<b≤-4.

b (理)(2012· 河南洛阳统考)已知函数 f(x)=ax- -(a+ x 1)lnx(a∈R),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴垂直. (1)若 x=2 是函数 f(x)的一个极值点,求 a、b 的值; (2)当 a≤1 时,讨论 f(x)的单调性.

b a+1 解析:(1)∵f ′(x)=a+ 2- , x x 由题意知 f ′(1)=b-1=0,① b a+1 f ′(2)=a+4- 2 =0,② 1 联立①②,解得:a= ,b=1. 2 1 (2)函数 f(x)=ax- x-(a+1)lnx 的定义域为(0,+∞).
2 1 a+1 ax -?a+1?x+1 f ′(x)=a+ 2- = . x x x2

-x+1 ①当a=0时,f ′(x)= , x2 当x∈(0,1)时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减. 1 a?x- ??x-1? a ②当a≠0时,f ′(x)= , x2 ?x-1?2 当a=1时,f ′(x)= x2 ,f ′(x)≥0, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增

1 当0<a<1时, >1, a 1 1 ∵当x∈(0,1)或x∈( a ,+∞)时,f ′(x)>0,当x∈(1, a ) 时,f ′(x)<0, 1 ∴f(x)在区间(0,1)和区间(a,+∞)上单调递增; 1 在区间(1,a)上单调递减.

1 当a<0时, <0,此时,当x∈(0,1)时,f ′(x)>0, a ∴f(x)在(0,1)上单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上单调 递减. 综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在 1 (1,+∞)上单调递减;当0<a<1时,函数f(x)在(0,1),( a ,+ 1 ∞)上单调递增,在(1, )上单调递减;当a=1时,函数f(x)在 a (0,+∞)上单调递增.

(文)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞)

)

解析:f ′(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2), 由f ′(x)>0得,x>2.∴f(x)在(2,+∞)上是增函数.

答案:D

(理)(2011· 北京文,18)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值

解析:(1)f ′(x)=(x-k+1)ex, 令f ′(x)=0,得x=k-1. f(x)与f ′(x)值的情况如下: x f ′(x) f(x) (-∞,k-1) - ↘ k-1 0 -ex-1 (k-1,+∞) + ↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区 间是(k-1,+∞),

(2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递 增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek-1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.

综上有 f(x)在[0,1]上的最小值, k≤1 时为-k, 1<k<2 当 当 时为-ek-1,当 k≥2 时为(1-k)e.

利用导数求函数的极(最)值

[例 2]

(2012· 河南豫北六校精英联考)已知函数 f(x)=(2

-a)x-2lnx,(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

2 解析:(1)由题可知 f ′(x)=2-a- x (x>0), 2 2 令 f ′(x)=0 得 2-a- =0,∴x= , x 2-a 又因为函数 f(x)在 x=1 处取得极值,所以 a=0. 2 (2)①若 a=2,f ′(x)=- <0(x>0),f(x)=-2lnx 的单调 x 递减区间为(0,+∞); 2 ②若 2-a<0,即 a>2 时,f ′(x)=2-a-x在(0,+∞)上 小于 0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减;

2 ③若 2-a>0,即 a<2 时,当 x> 时 f ′(x)>0,f(x)单调 2-a 2 递增,0<x< 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 2-a 综上:a≥2 时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞); 2 a<2 时,f(x)的单调递增区间为( ,+∞),单调递减区 2-a 2 间为(0, ). 2-a

已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值为 3, 那么此函数在[-2,2]上的最小值是( A.-37 C.-5 )

B.-29 D.以上都不对

解析:f ′(x)=6x2-12x,由 f ′(x)=0 得 x=0 或 x=2, 当 x<0 或 x>2 时,f ′(x)>0,当 0<x<2 时,f ′(x)<0, ∴f(x)在[-2,0]上单调增,在[0,2]上单调减, 由条件知 f(0)=m=3,∴f(2)=-5,f(-2)=-37,故选 A.
答案:A

已知函数的单调性,求参数值或参数的取值范围

[例 3]

(文)已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减

函数,求 a 的取值范围.

解析:f ′(x)=3ax2+6x-1. ∵f(x)是 R 上的减函数.∴f ′(x)≤0 恒成立. 即 3ax2+6x-1≤0 在 x∈R 上恒成立, ∴a<0 且 Δ=36+12a≤0,∴a≤-3. 点评:此类问题的易错点是 a=-3 时,该函数也是 R 上 的减函数,符合题目要求,好多学生在解此类问题时,往往丢 掉等号.

(理)已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函 数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递减,则实 数 m 等于________.

解析:∵f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数, ∴m2-4=0,∴m=± 2. ∵g(x)在(-∞,+∞)内单调递减, ∴g′(x)=-3x2+4x+m≤0 恒成立, 4 则 16+12m≤0,解得 m≤-3,∴m=-2.
答案:-2

(文)函数 y=x3+ax+b 在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞) 上为增函数,则( A.a=1,b=1 ) B.a=1,b∈R

C.a=-3,b=3 D.a=-3,b∈R

解析:f ′(x)=3x2+a,由条件 f ′(1)=0, ∴a=-3,b∈R.

答案:D

(理)(2011· 陕西咸阳彩虹中学模拟)已知 a 为实数, f(x)=(x2 -4)(x-a). (1)求导数 f ′(x); (2)若 f ′(-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是单调增函数, 求 a 的取值范围.

解析:(1)由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a, 所以 f ′(x)=3x2-2ax-4. 1 (2)由 f ′(-1)=0,得 a=2, 1 此时有 f(x)=(x -4)(x- ),f ′(x)=3x2-x-4. 2
2

4 由 f ′(x)=0,得 x=3,或 x=-1, 4 50 9 又 f( )=- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0, 3 27 2

9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- . 2 27 (3)f ′(x)=3x2-2ax-4 的图象为开口向上且过点(0,- 4)的抛物线, 由条件得 f ′(-2)≥0,f ′(2)≥0,
?4a+8≥0, ? 即? ?8-4a≥0, ?

所以-2≤a≤2.

所以 a 的取值范围为[-2,2].

已知函数极值求参数值或参数的取值范围

[例 4]

(文)已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大

值和极小值,则实数 a 的取值范围是________.

解析:由于 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有 f ′(x)=3x2+ 2ax+(a+6). 若 f(x)有极大值和极小值,则 Δ=4a2-12(a+6)>0,从而 有 a>6 或 a<-3.

答案:a<-3 或 a>6

(理)(2011· 聊城模拟)函数 f(x)=x3-2ax+a 在(0,1)内有极 小值,则实数 a 的取值范围是( A.(0,3) 3 B.(0,2) )

C.(0,+∞) D.(-∞,3) 分析:由 f(x)在(0,1)内有极小值知,f ′(x)=3x2-2a=0 在(0,1)内有解 x=x0, x<x0 时, ′(x)≤0, 0 时, ′(x)≥0. 且 f x>x f

解析:f ′(x)=3x2-2a,∵f(x)在(0,1)内有极小值, ∴f ′(x)=0 在(0,1)内有解,∴f ′(0)<0 且 f ′(1)>0,∴a 3 ∈(0,2),故选 B.

答案:B

点评:设 f ′(x)=0 的解为 x=x0,x0∈(0,1),则 x∈(0, x0)时,f ′(x)=3x2 -3x 2 =3(x+x0)(x-x0)<0,x∈(x0,1)时,f 0 ′(x)>0,∴f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增,因 此 x0 是 f(x)的极小值点.由于是选择题,故解答过程中上述验 证 f(x)能够取得极小值的过程可省略,若是解答题,省去上述 过程则解答过程不完整.

(2011· 江苏盐城模拟)函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小 值,则 a 的取值范围是( A.0≤a<1 1 C.0<a<2 )

B.-1<a<1 D.0<a<1

[答案]

D

[解析]

f ′(x)=3x2-3a,

由于 f(x)在(0,1)内有最小值,故 a>0, 令 f ′(x)=0,得 x1= a,x2=- a. 则 a∈(0,1),∴0<a<1,故选 D.

导函数与原函数图象的关系

[例 5]

已知函数 y=xf ′(x)的图象如右图所示(其中 f

′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象

大致是(

)

分析:导函数 f ′(x)与原函数 f(x)的图象之间的关系,应 抓住 f ′(x)>0 时,f(x)单调增,f ′(x)<0 时,f(x)单调减.f(x) 的极值点是 f ′(x)=0 的点.

解析:当 0<x<1 时,xf ′(x)<0, ∴f ′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数, 当 x>1 时,xf ′(x)>0,∴f ′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞) 上为增函数,因此否定 A、B、D.故选 C.

答案:C

(文)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ′(x)在(a, b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在(a, b)内的极大值点有( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

解析:由导函数的图象知,f(x)在(a,b)内变化情况为增→ 减→增→减,故有两个极大值点.

答案:B

(理)已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)的图象如图所示,那么 函数 f(x)的图象最有可能的是( )

解析:由图可知,当 x>0 时,f ′(x)<0,∴函数 f(x)的图 象在(0,+∞)上是单调递减的;当 x<-2 时,f ′(x)<0,∴函 数 f(x)的图象在(-∞, -2)上也是单调递减的, 所以只有 A 符 合,故选 A.

答案:A

综合应用

[例 6]

(2011· 辽宁文)设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y

=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a、b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

分析:(1)由 f(x)的图象过点 P 可得 a,b 的一个方程,再 由 f(x)在点 P 处的切线斜率得出 a,b 的另一个方程,解方程 组可得 a,b 的值. (2)欲证 f(x)≤2x-2, 即证 f(x)-2x+2≤0, 可令 g(x)=f(x) -2x+2,利用导数可求 g(x)的最大值 M,则只要 x>0 时, M≤0,即可获证.

b 解析:(1)f ′(x)=1+2ax+ . x
?f?1?=0, ? 由已知条件得? ?f ′?1?=2. ? ?1+a=0, ? 即? ?1+2a+b=2. ?

解得 a=-1,b=3. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知 f(x)=x-x2+3lnx. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则

?x-1??2x+3? 3 g′(x)=-1-2x+ =- . x x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2.

(文)(2012· 哈尔滨质检)已知 f(x)=ax3-2ax2+b(a≠0). (1)求出 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间[-2,1]上最大值是 5, 最小值是-11, f(x) 求 的解析式.

4 解析: ′(x)=3ax -4ax, f ′(x)=0?x=0 或 x= . (1)f 令 3
2

当 a>0 时, x y′ y (-∞,0) + 增函数 0 0 4 (0, ) 3 - 4 3 0 4 ( ,+∞) 3 + 增函数

极大值 减函数 极小值

所以当 x=0 时,y 取得极大值 b, 4 32 当 x=3时,y 取得极小值 b-27a, 同理当 a<0 时,x=0 时,y 取得极小值 b, 4 32 x= 时,y 取得极大值 b- a. 3 27

(2)当 a>0 时,f(x)在[-2,0)上单调递增,在(0,1]上单调递 减, 所以 f(x)max=f(0)=b=5. 又 f(-2)=b-16a<f(1)=b-a, 所以 b-16a=-11,a=1. 当 a<0 时,f(x)在[-2,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, 所以 f(x)min=f(0)=b=-11. 又 f(-2)=b-16a>f(1)=b-a, 所以 b-16a=5,a=-1. 综上,f(x)=x3-2x2+5 或 f(x)=-x3+2x2-11.

(理)(2011· 台州一模)已知函数 f(x)=xlnx. (1)求 f(x)的最小值; (2)讨论关于 x 的方程 f(x)-m=0(m∈R)的解的个数.

解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 1 f ′(x)=lnx+1,令 f ′(x)=0,得 x= e. 当 x∈(0,+∞)时,f ′(x),f(x)的变化情况如下: x f ′(x) f(x) 1 (0, ) e - ?↘ 1 e 0 极小值 1 ( ,+∞) e + ?↗

1 1 所以,f(x)在(0,+∞)上最小值是 f(e )=-e.

1 1 (2)当 x∈(0, )时,f(x)单调递减且 f(x)的取值范围是(- , e e 0); 1 1 当 x∈( , +∞)时, f(x)单调递增且 f(x)的取值范围是(- , e e +∞). 1 ∴当 m<- e时,直线 x=m 与函数 f(x)的图象无交点,∴ 原方程无解;

1 当 m=- 或 m≥0 时,直线 x=m 与函数 f(x)的图象有一 e 个公共点,∴原方程有唯一解; 1 当- <m<0 时, 直线 x=m 与函数 f(x)的图象有两个交点, e ∴原方程有两个解.

课堂巩固训练

一、选择题 1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[-2,1]上的最大值、最小 值分别是( ) B.1;-8

A.12;-8

C.12;-15 D.5;-16
[答案] A

[解析]

y′=6x2-6x-12, y′=0?x=-1 或 x=2(舍 由

去).x=-2 时 y=1,x=-1 时 y=12,x=1 时 y=-8. ∴ymax=12,ymin=-8.故选 A.

2.(文)(2012· 湖南衡阳模拟)函数 f(x)=x-a x在 x∈[1,4] 上单调递减,则实数 a 的最小值为( A.1 B.2 C.4 ) D.5

[答案] C

[解析]

当 x∈[1,4]时,f ′(x)=1-

a 2 x

≤0,

∴a≥2 x恒成立,∴a≥4.

(理)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,+∞) ) B.(-∞,1)
? 1? D.?0,2? ? ?

[答案]

D

[解析]

∵f ′(x)=3x2-6b,由题意知,函数 f ′(x)图象如右图.
?f ? ∴? ?f ?

′?0?<0, ′?1?>0, 1 ∴0<b<2.

?-6b<0, ? ∴? ?3-6b>0, ?

二、填空题 3.(文)(2011· 银川二模)已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, 1 f(1))处的切线方程为 y=2x+2,则 f(1)+f ′(1)=________.

[答案]

3

[解析]

1 ∵切点 M 在切线 y= x+2 上, 2

1 5 ∴f(1)=2×1+2=2, 1 1 又切线斜率 k= ,∴f ′(1)= , 2 2 5 1 ∴f(1)+f ′(1)=2+2=3.

(理)设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=1 和 x=-1 处均有极 值,且 f(-1)=-1,则 a+b+c=________.

[答案]

1

[解析]

f ′(x)=3ax2+2bx+c, 由题意知 f ′(1)=3a+2b

+c=0,f ′(-1)=3a-2b+c=0, 又 f(-1)=-a+b-c=-1, 1 3 可解得 a=- ,b=0,c= .∴a+b+c=1. 2 2

三、解答题 1 3 1 2 4.(文)(2011· 泰安模拟)若函数 f(x)=3x -2ax +(a-1)x +1 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试 求实数 a 的取值范围.

[解析]

函数 f(x)的导数 f ′(x)=x2-ax+a-1.

令 f ′(x)=0,解得 x=1,或 x=a-1. 当 a-1≤1 即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数, 不合题意; 当 a-1>1 即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数, 在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.

依题意当 x∈(1,4)时,f ′(x)<0; 当 x∈(6,+∞)时,f ′(x)>0. 所以 4≤a-1≤6,解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围为[5,7].

(理)(2011· 淄博模拟)设函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函 数,其图象在 x=1 处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函 数 f ′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上 的最大值和最小值.

[解析]

(1)∵f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x), 即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0. ∵f ′(x)=3ax2+b 的最小值为-12, ∴a>0,∴b=-12. 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为6, 因此 f ′(1)=3a+b=-6, ∴a=2,b=-12,c=0.

(2)f(x)=2x3-12x, f ′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2). 列表如下:
x f ′(x) f(x) (-∞,- 2) + ↗? - 2 0 极大值 (- 2, 2) - ?↘ 2 0 极小值 ( 2,+∞) + ↗?

所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞, 2), 2, - ( +∞). ∵f(-1)=10,f( 2)=-8 2,f(3)=18, ∴f(x)在[-1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f( 2)= -8 2.

课后强化作业(点此链接)


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图