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八章立体几何8.5.1空间向量的运算及利用空间向量证明平行与垂直课件理082901154_图文

第八章 立体几何 第5讲 空间向量与立体几何 考点一 空间向量的运算及利用空间向量证明平行 与垂直 撬点· 基础点 重难点 1 空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正 方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系(如右图所示). (2)点的坐标表示 在空间直角坐标系中,任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示,这三个实数分别 是点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标. (3)空间两点间距离 P1P2= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2 设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)为空间两点,则 P1,P2 两点间的距离 . 特殊情况,点 P(x,y,z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离 OP= x2+y2+z2. 2 空间向量的运算 (1)共线向量定量 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是 存在唯一的实数 λ,使 a=λb . 推论:①对空间任意一点 O,点 P 在直线 AB 上的充要条件是存在实数 t, → → → → → → 使OP=(1-t)OA+tOB或OP=xOA+yOB (其中 x+y=1). ②如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的 → → OP =OA+ta 充要条件是存在实数 t,使 ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量,该式称为直线方程的 向量表示式. (2)共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb . → → → 存在有序实数对 ( x , y ) ,使 AP = xAB + yAC 推论: 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是 ; 或对空 → → → → 间任意一点 O,有 OP=OA+xAB+yAC ,该式称为空间平面 ABC 的向量表示式. (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这 个集合可看作是由向量 a,b,c 生成的,把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量. (4)空间向量的运算 ①空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量. ②空间向量的坐标运算. 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a.a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa= (λa1,λa2,λa3) (λ∈R), a· b= a1b1+a2b2+a3b3 , , a1 a2 a3 =b =b b 1 2 3 (λ∈R)或 ; b.a∥b? a=λb (b≠0)? a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (b1,b2,b3≠0), b=0 a⊥b? a· a = |a|= a· a1b1+a2b2+a3b3=0 ? 2 2 a1 +a2 2+a3 , , a· b cos〈a,b〉= |a||b| = a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 1+a2+a3· b1+b2+b3 ; → c.在空间直角坐标系中,已知点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 A,B 两点间的距离 dAB=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2 . 3 利用空间向量进行平行与垂直的证明 (1)直线的方向向量和平面的法向量 ①直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个. ②平面法向量的求法. 一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有无数多个,任意两个都是共线向量. 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤 如下: a.设平面的法向量为 n=(x,y,z). b.找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). ?n· a=0, c.根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组? b=0. ?n· d.解方程组,取其中的一组解,即得法向量. (2)利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直、夹角、距离 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 u,v,则 ①线线平行: l∥m?a∥b?a=kb,k∈R ; u=0 线面平行: l∥α?a⊥u?a· 面面平行: α∥β?u∥v?u=kv,k∈R b=0 ②线线垂直: l⊥m?a⊥b?a· 线面垂直: l⊥α?a∥u?a=ku,k∈R v=0 面面垂直: α⊥β?u⊥v?u· ; . ; ; . 注意点 空间向量运算中注意的问题 (1)基底的选择 ①空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. ②由于 0 与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故 0 不能作为基向量. ③基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)求法向量时注意事项 求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给 x,y,z 中的一个变量赋一特殊 值(常赋值-1,0,1),即可确定一个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但 n=(0,0,0)不能作为法向量. (3)证明平行关系时注意事项 证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共线; 证明线面平行时要说明直线不在平面内. 1.思维辨析 (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)两个不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则 l1 和 l2 的位置关系是平 行.( √ )

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