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福建省三明市2019年质检数学卷及答案

2019 年三明市初中毕业升学质检数学试题

一、选择题(共 10 题,每题 4 分,满分 40 分) 1.下列计算结果等于-1 的是( )

A.-1+2

B.(-1)o

C.-12

D.(-1) -2

2.第十六届海峡交易会对接合同项目 2049 项,总投资 682 亿元.将 682 亿用科学记数法

表示为( )

A.0.682×1011

B.6.82×1010

C.6.82×109 D.682×108

3.如图所示几何体的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

(第 3 题)
4.一个不透明的袋子中只装有 4 个黄球,它们除颜色外完全相同,从中随机摸出一个球.

下列说法正确的是( )

A.摸到红球的概率是 1 4
C.摸到红球是随机事件

B.摸到红球是不可能事件 D.摸到红球是必然事件

5.如图,已知 DE 为△ABC 的中位线,△ADE 的面积为 3,

则四边形 DECB 的面积为( )

A.6

B.8

C.9

D.12

6.如图,点 A,B,C 在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长

为 1,则 tan∠BAC 的值为( )

A

D

E

B

C

(第 5 题)

A. 3 3

B. 3

C. 1 2

D.1

7. 若 2n+2n= 1,则 n 的值为( ) A.-1 B.-2 C.0 D. 1 2
8.如图,AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,垂足为 D,若⊙O

的半径为 5,BC=8,则 AB 的长为( )

(第 6 题)
A

O

B

D

C

(第 8 题)

A.8 B.10 C. 4 3 D. 4 5 9.二次函数 y=x2-6x+m 满足以下条件:当-2<x<-1 时,它的图象位于 x 轴的下方; 当 8<x<9 时,它的图象位于 x 轴的上方,则 m 的值为( )
A.27 B.9 C.-7 D.-16

三明质检卷 第 1 页,总 10 页

10.如图,四边形 ABCD 为正方形,AB=1,把△ABC 绕点 A

逆时针旋转 60°得到△AEF,连接 DF,则 DF 的长为( )

A

F D

A. 6 ? 2 2

B. 2 ?1 C. 3

2

2

二、填空题(共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)

D. 2 2

E

B

C

(第 10 题)

11.如图,已知 a∥b ,∠1=55°,则∠2 的度数是

.

12.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组,参加区 青少年科技创新大赛,下

表反映的是各组平时成绩的平均数 x (单位:分)及方差 s2.如果要选出一个成绩较好且状

态较稳定 的小组去参赛,那么应选的小组是 _______ . 甲乙丙丁

x

7

s2

1

8

8

7

1.2 0.9 1.8

13.不等式组

?2x ? 4 ? 0 ??x ? 3(x ? 2)

?

4

的解集是

______.

14.《直指算法统宗》中记载了一个数学问题,大意是:有 100 个

1a
b 2
(第 11 题)

A

D

和尚分 100 个馒头,如果大和尚 1 人分 3 个,小和尚 3 人分 1 个,

正好分完.问大、小和尚各有多少人?若设大和尚有 x 人,小和尚 有 y 人,则可列方程组为_____.

B

E

C

(第 15 题)

15.如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,以点 A 为圆心,AD 长为半径画弧,交 BC 边于点 E,

若 E 恰为 BC 的中点,则图中阴影部分的面积为_______.

y

16.如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 为菱形,OA 在 x 轴 的正半轴上,∠AOC=60°,过点 C 的反比例函数 y ? 4 3 的图象 x 与 AB 交于点 D,则△COD 的面积为_______.

C

B

D

x

O

A

(第 16 题)

三、解答题(共 9 题,满分 86 分) 17.(本题满分 8 分)

先化简,再求值: (x ? 3x ? 4) ? x2 ? 4 ,其中 x ? 1 .

x ?1 x ?1

2

三明质检卷 第 2 页,总 10 页

18.( 8 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,DE∥AC,CE∥BD.

求证:四边形 OCED 是矩形.

A

B

D

O

C

E

19. (8 分)在平面直角坐标系中,直线 l 经过点 A(-1,-4)和 B(1,0),求直线 l 的函数表

达式.

20. (8 分)如图,△ABC 中,∠A=90°,AB=AC.

(1)请用尺规作图的方法在边 AC 上确定点 P,使得点 P 到边 BC 的距离等于 PA 的长;(保留

作图痕迹,不写作法)

(2)在(1)的条件下,求证:BC=AB+AP.

A

B

C

21.(8 分)某景区的水上乐园有一批 4 人座的自划船,每艘可供 1 至 4 位游客乘坐游湖, 因景区加大宣传,预计今年游客将会增加,水上乐园的工作人员随机抽取了去年某天中出租 的 100 艘次 4 人自划船,统计了每艘船的乘坐人数,制成了如下统计图.

(1)扇形统计图中,“乘坐 1 人”所对应的圆 心角度数为_______ ;

抽查结果扇形统计图

(2)所抽取的自划船每艘乘坐人数的中位数是_____ ; (3)若每天将增加游客 300 人,那么每天需多安排多少
艘次 4 人座的自划船才能满足需求?

乘坐3人 45%

乘坐2人 20%
乘坐4人 30%

乘坐1人

三明质检卷 第 3 页,总 10 页

22. (10 分)某商场用 24000 元购进某种玩具进行销售,由于深受顾客喜爱,很快脱销,该 商场又用 50000 元购进这种玩具,所购数量是第一次购进数量的 2 倍,但每套进价比第一次 多了 10 元. (1)该商场第一次购进这种玩具多少套?
(2)该商场以每套 300 元的价格销售这种玩具,当第二次购进的玩具售出 4 时,出现了滞销, 5
商场决定降价促销,若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于 12%,剩余的玩具每套售
价至少要多少元?

23.( 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 D,E 在⊙O 上,∠B=2∠ADE,点 C 在 BA 的延长 线上.
(1)若∠C=∠DAB,求证:CE 是⊙O 的切线;
D
(2)若 OF=2,AF=3,求 EF 的长.

CA F

B

O

E

三明质检卷 第 4 页,总 10 页

24. (12 分)如图,在△ABC 中,点 P 是 BC 边上的动点,点 M 是 AP 的中点,PD⊥AB,垂 足为 D,PE⊥AC,垂足为 E,连接 MD,ME. (1)求证:∠DME=2∠BAC;
(2)若∠B=45°,∠C=75°,AB=6 2 ,连接 DE,求△MDE 周长的最小值.
A

M
D E

B

P

C

25.( 14 分)已知二次函数 y1 ? mx2 ? nx ? m ? n (m>0).
(1)求证:该函数图象与 x 轴必有交点; (2)若 m-n=3,
①当-m≤x<1 时,二次函数的最大值小于 0,求 m 的取值范围;
②点 A(p,q)为函数 y2 ? mx2 ? nx ? m ? n 图象上的动点,当-4<p<-1 时,点 A 在直线
y=-x+4 的上方,求 m 的取值范围.

三明质检卷 第 5 页,总 10 页

2019 年三明市初中毕业班教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准

说明:以下各题除本参考答案提供的解法外,其他解法参照本评分标准,按相应给分点评分. 一、选择题 (每题 4 分,共 40 分) 1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.D 10.A 二、填空题(每题 4 分,共 24 分)

11.125

12.丙 13. - 2 < x ? 1

14.

ì ? í ?

x + y =100, 3x + 1 y =100

15. 3 3 2

2π 3

?3

16. 4 3

三、解答题(共 86 分)

17.解:原式=

x2

?

x ? 3x x ?1

?

4

?

x x2

?1 ?4

…………3



= (x ? 2)2 ? x ?1 …………5 分 x ?1 (x ? 2)(x ? 2)

= x - 2 .…………6 分 x +2



x=

1 2

时,原式=

1
2 1

+

2 2

…………7



2

= - 3 .…………8 分

5

A

18. 解: ∵DE∥AC,CE∥BD,

∴四边形 OCED 是平行四边形. ………………3 分

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,

B

D

O

∴∠COD=90°.

………………6 分

∴四边形 OCED 是矩形.

………………8 分

C

E

19.解:设直线 l 的表达式为 y=kx+b( k ? 0 ),………1 分
依题意,得

(第 18 题)

?- k ? b ? ?4 ??k ? b ? 0

…………3



解得:

?k ??b

? ?

2 -2

.…………7



所以直线 l 的表达式为 y ? 2x ? 2 .…………8 分

三明质检卷 第 6 页,总 10 页

20.解:(Ⅰ)作图略…………4 分 (Ⅱ)过点 P 作 PD⊥BC 于点 D, 由(Ⅰ)知 PA=PD. 又∵∠A=90°,PD⊥BC,BP=BP,

∴Rt△ABP≌Rt△DBP.

∴AB=DB.…………6 分

A

∵∠A=90°,AB=AC,

P

∴∠C=45°. ∴∠1=90°-45°=45°. ∴∠1=∠C.

1

B

D

C

∴DP=DC.

∴DC=AP.…………7 分

∴BC=BD+DC=AB+AP. …………8 分 21. 解: (Ⅰ)18 …………2 分

(Ⅱ)3 …………2 分

(Ⅲ)每艘船乘坐人数的平均数约为1? 5% 2? 20% 3? 45% 4? 30% 3.…………3 分

所以每天需多安排 4 人座的自划船的艘次为 300 ? 3 100 . 22.解:(Ⅰ)设惠好商场第一次购进这种玩具 x 套,

依题意,得

24000 ? 50000 ?10 .

x

2x

解得 x=100.

…………3 分

…………2 分

…………4 分

经检验,x=100 是该方程的根.…………4 分

答:惠好商场第一次购进这种玩具 100 套.…………5 分

(Ⅱ)设剩余玩具每套的售价为 y 元,则:

第二次进价为 50000 ? 200=250(元/套),…………6 分

(300-250)× 4 ×200+(1- 4 )×200×(y-250)≥50000×12%…………8 分

5

5

解得 y≥200.

…………9 分

答:剩余玩具每套售价至少要 200 元.…………10 分

23. 解:(Ⅰ) 连接 OE,∵AB 为直径,
三明质检卷 第 7 页,总 10 页

∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠B=90°.…………1 分

∵∠ADE 和∠AOE 都对着 AE ,
∴∠AOE=2∠ADE.…………2 分 又∵∠B=2∠ADE, ∴∠AOE=∠B.…………3 分 又∵∠C=∠DAB, ∴∠C+∠AOE=∠DAB+∠B=90°. ∴∠CEO=90°,∴OE⊥CE. …………4 分 ∴CE 是⊙O 的切线.…………5 分 (Ⅱ)连接 AE,

D

CA F

B

2

O

1

E

∵ AD = AD ,∴∠1=∠B.

由(Ⅰ)知∠AOE=∠B,∴∠1=∠AOE.…………6 分

又∵∠2=∠2,

∴△EAF∽△OAE.…………7 分

∴ AE ? OA ? OE ,即 AE = 5 = 5 .…………8 分

AF AE EF

3 AE EF

∴EF=AE,AE2=3×5=15.…………9 分

∴EF=EA= 15 .…………10 分

24.解: (Ⅰ) 解法一:∵ PD⊥AB,PE⊥AC,M 为 AP 中点,

∴DM=EM= 1 AP=AM.…………2 分 2

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

…………3 分

D

∴∠5=∠1+∠2=2∠1,∠6=∠3+∠4=2∠3. …………5 分
B
∴∠DME=∠5+∠6=2∠1+2∠3=2∠BAC.…………6 分

解法二:∵ PD⊥AB,PE⊥AC,M 为 AP 中点, ∴DM=EM= 1 AP=AM=PM.…………2 分
2
∴点 A,D,P,E 在以 M 为圆心,MA 为半径的圆上.…………5 分

∴∠DME=2∠BAC.…………6 分

A

13 2M
564
E

P

C

三明质检卷 第 8 页,总 10 页

(Ⅱ)过点 M 作 MN⊥DE 于 N,

由(Ⅰ)知 DM=EM,

∴∠DMN=∠EMN= 1 ∠DME,DN=EN.…………7 分

D

2

∵∠B=45°,∠C=75°,

∴∠BAC=60°.

B

由(Ⅰ)知∠DME=2∠BAC=120°.

∴∠DMN=60°.

…………8 分

∴DN=DM ?sin ∠DMN= 3 DM, 2

∴DE=2DN= 3 DM.
△MDE 周长=DM+DE+DE
=DM+DM+ 3 DM

…………9 分

= (2+ 3 )DM = (2+ 3 )× 1 AP.…………10 分
2
∴当 AP 最短时,△MDE 周长最小. 此时 AP⊥BC.…………11 分 当 AP⊥BC 时,

∵∠B=45°,∴AP=

2
AB=

2 ? 6 2 =6.

2

2

∴△MDE 周长最小值为(2+ 3 )× 1 ×6=6+3 3 .…………12 分 2
25.(Ⅰ)证明:

∵ ? ? (?n)2 ? 4m(?m ? n)

= (n ? 2m)2 ≥0
∴该函数图象与 x 轴必有交点. (Ⅱ) (ⅰ)∵m-n=3,
∴n=m-3.
∴ y1 ? mx2 ? nx ? m ? n

…………3 分 …………4 分

= mx2 ? (m ? 3)x ? 3 .

三明质检卷 第 9 页,总 10 页

A

M

N

E

PC

当 y1=0 时, mx2 ? (m ? 3)x ? 3 =0,

解得

x1

?1,

x2

?

?

3 m

.…………5



∴二次函数图象与 x 轴交点为(1,0)和( ? 3 ,0) m

∵当-m≤x<1 时,二次函数的最大值小于 0,

∴ ? 3 ? ?m ? 1 .…………7 分 m

又∵m>0,

∴ 0 ? m ? 3 .…………8 分

(ⅱ) ∵ y2 ? mx2 ? nx ? m ? n ,m-n=3,

∴当

x

?

?

3 m



x>1

时,y2=

mx2

?

(m

?

3)x

?

3





?

3 m

?

x

?

1 时,y2=

?mx2

?

(m

?

3)x

?

3

.

∵当-4<p<-1 时,点 A 在直线 y=-x+4 上方,

∴当 ?1 ? ? 3 ,即 m>3 时,有 m

m ? (?1)2 ? (m ? 3) ? (?1) ? 3 ? ?(?1) ? 4 ,…………10 分

解得 m ? 11 . 2

当 ? 3 ? ?4 ,即 m ? 3 时,有

m

4

…………11 分

?m ? (?1)2 ? (m ? 3) ? (?1) ? 3 ? ?(?1) ? 4

且 ?m? (?4)2 ? (m ? 3) ? (?4) ? 3 ? ?(?4) ? 4 ,…………13 分

∴m? 7 . 20

又∵m>0,

∴0?m? 7 . 20

综上, 0 ? m ? 7 或 m ? 11 .

20

2

…………14 分

三明质检卷 第 10 页,总 10 页


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