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广东省汕头市金山中学2012-2013学年度高二第二学期期中考试(文科数学)

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广东省汕头市金山中学 2012-2013 学年度高二第二学期期中考试

文科数学 试题卷
一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 50 分) 1. cos300 等于(
0



A.-

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.设 x, y ? R ,则“ x ? 0 ”是“复数 x ? yi 为纯虚数”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要

)条件 D.既不充分也不必要
2

3.在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下, 其中拟和效果最好的模型是( A.模型 1 的相关指数 R 为 0.25 C.模型 3 的相关指数 R 为 0.98
3
2 2

) B.模型 2 的相关指数 R 为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R 为 0.80 ) D.120° )
2 2

, 4.曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1 3) 处的切线的倾斜角为(
A.30° B.45° C.60°

5.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( A. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

B. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

C. x 2 ? y 2 ? x ? 0

D. x 2 ? y 2 ? x ? 0

6. 函数 f (x) 的定义域为 ( a, b) , 其导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在区间 ( a, b) 内极大值点的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

7.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则该 几何体的俯视图为( )

正) 图 (视 主

侧) 图 (视 左

8. 某学生四次模拟考试时,其英语作文的扣分情况如下表:
考试次数 x 所减分数 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5 )

显然所扣分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系, 则其线性回归方程为 (
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D. y ? ?0.7 x ? 5.25

A. y ? 0.7 x ? 5.25 B. y ? ?0.6 x ? 5.25 C. y ? ?0.7 x ? 6.25 9.已知 F1 , F2 是双曲线 ) B. (1 ? 2 ,??) C. (1, 3)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴 a2 b2 的直线与双曲线交于 A, B 两点,若△ ABF 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围 2
是( A. (1,1 ? 2 ) D. ( 3,2 2 )

10. 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2, x ? R 规定: 给出一个实数 x0 , 赋值 x1 ? f ( x0 ) , x1 ? 244 , 若 则继续赋值 x2 ? f ( x1 ) ,?, 以此类推,若 xn?1 ? 244,则 xn ? f ( xn?1 ) ,否则停止赋 值, 如果得到 xn 称为赋值了 n 次 (n ? N * ) .已知赋值了 k 次后停止, x0 的取值范围是 则 (
k ?6 k ?5 A. 3 ,3 ? B. 3 ?



?

?

k ?6

? 1,3k ?5 ? 1? ?

C.

?3

5?k

? 1,36?k ? 1? ?

D. 3

?

4?k

? 1,35?k ? 1? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.若复数 z ?

1 ? 2i ,则复数 z =_____________. i

a ? a2 ? ? ? an 12. 若数列 ?an ? , n ? N * 是等差数列,则数列 bn = 1 n

?

?

开始 输入N k=1, S =0 S =S + 1 k(k+1)


?n ? N ?也是等差数列,类比上述性质,若数列 ?c ?是等比数列,且
* n

cn ? 0 , n ? N * ,则 d n ? ____________ n ? N * 也是等比数列.
13.如右图所示, 执行程序框图, 若输入 N=99, 则输出的 S ? _________. 14. 观察下列三角形数表: 2 3 4 4

?

?

?

?

k=k+1

k<N


输出S

1 2 3

7 7 4 5 11 14 11 5 ? ? ? 第六行的最大的数字是 是 . 三、解答题(共 80 分)

---第一行 ---第二行 ---第三行 ---第四行 ---第五行 ?

结束

; 设第 n 行的第二个数为 an (n ? 2, n ? N? ) an 的通项公式

15.(本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、C 为 ?ABC 的三个内角,且其对边分别为 a 、b 、c , 若 cos B cos C ? sin B sin C ? (1)求 A ; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

1 . 2

16.(本小题满分 12 分)第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日至 27 日在中国广州进行,为
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了做好接待工作,组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿 者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余不喜爱. (1) 根据以上数据完成以下 2 ? 2 列联表: (2)能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认 为性别与喜爱运动有关? 男 (3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有 4 人会外语),抽取 2 名负责翻译工作,则抽出的志 愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是多少? 附:K2= 女 总计 6 14 30 10 16 喜爱运动 不喜爱运动 总计

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P(K2≥k) k

17. (本小题满分 14 分)已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * ) (1)求证:数列{

an }是等差数列; 2n
Sn ? 2n ? 3 . 2n

(2)求数列{ an }的通项公式; (3)设数列{ an }的前 n 项之和 S n ,求证:

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面

ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ;
(2)求证: BC ? 平面 BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E M

E F M D C B

D

C

F

A

B

A

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图1

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图2

19.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x ) ? ln x ? (1)当 a ? 2 时,求 f (x) 的最大值; (2)令 F ( x ) ? f ( x) ? 的切线的斜率 k ?

1 2 ax ? x 2

1 2 a ax ? x ? ?0 ? x ? 3? ,以其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点 2 x

1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 (3)当 a ? 0 时,方程 mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.

20.(本小题满分 14 分)已知双曲线 C1 : 左、右焦点,动点 C 在 x 轴上方.

13x 2 13y 2 ? ? 1 ,点 A 、 B 分别为双曲线 C1 的 16 36

(1)若点 C 的坐标为 C ( x0 ,3)(x0 ? 0) 是双曲线的一条渐近线上的点,求以 A 、 B 为焦点 且经过点 C 的椭圆的方程; (2)若∠ ACB ? 45 ,求△ ABC 的外接圆的方程; (3)若在给定直线 y ? x ? t 上任取一点 P ,从点 P 向(2)中圆引一条切线,切点为 Q . 问
?

是否存在一个定点 M ,恒有 PM ? PQ ?请说明理由.

参考答案
一.选择题答案栏(50 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 C

二、填空题(20 分) 11. 2 ? i 12. n c1·2 ?cn c 13.99/100 14.25; an ?

1 2 1 n ? n ? 1 ( n ? 2) 2 2

三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2

? c o sB ? C ) ? (

3 2? ? A ? B ? C ? ? ,? A ? 3 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 2? 2 2 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos 3

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

1 2

????2 分

??????6 分

???????8 分

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1 2

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????????????10 分 ?????????12 分

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

16. (本小题满分 12 分) 解:(1) 2×2 列联表如下: 喜爱运动 不喜爱运动 总计 10 男 6 女 总计 16 6 8 14 16 14 30 ???????????2 分 (2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:

30 ? ( 10 ? 8 ? 6 ? 6 )2 k? ? 1.1575? 2.706 16 ? 14 ? 16 ? 14
因此,在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.????6 分 (3)喜欢运动的女志愿者有 6 人,设分别为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 会外 语,则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE, CF,DE,DF,EF 共 15 种取法, ?????????? 9分 其中两人都会外语的有 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种.??????????11 分 故抽出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是 p ? 17. (本小题满分 14 分) 解:? a n ? 2a n ?1 ? 2 ( n ? 2, 且n ? N )
n *

6 2 ? .?????????12 分 15 5

a n a n ?1 a a ? n ?1 ? 1, 即 n ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) n n 2 2 2 2 n ?1 a 1 ? 数列{a n }是等差数列 公差为d ? 1, 首项 1 ? ,......... , .......... .......... ........ 分 4 n 2 2 a 1 1 1 (2)由(1)得 n ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , n 2 2 2 2 1 ? a n ? (n ? ) ? 2 n.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... 分 8 2 1 3 5 1 (3) ? S n ? ? 21 ? ? 2 2 ? ? 2 3 ? ? ? (n ? ) ? 2 n.......... 1) ....( 2 2 2 2 1 3 5 1 ? 2S n ? ? 2 2 ? ? 2 3 ? ? 2 4 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1.......... ......(2) 2 2 2 2 ?
1 1 (1) ? (2)得 ? Sn ? 1 ? 22 ? 23 ? ? ? (n ? ) ? 2n ?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? ) ? 2n ?1 ? 1 2 2 n 2(1 ? 2 ) 1 ? ? (n ? ) ? 2n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2n ? 3...............................................12分 1? 2 2 S Sn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ? (2 ? 3) ? 2n ,? n ? 2n ? 3...............................................14分 2n
E
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F M 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com D A G C B

N

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18. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN, BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ?

1 CD . 2

1 CD , 2 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . ??????????3 分 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . ??????????4 分 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . ??????5 分 (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . ?????????7 分
在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2, CD ? 2 , 所以 BD ? BC ? CD .所以 BC ? BD .????8 分
2 2 2

2.

所以 BC ? 平面 BDE . (3)解法一:由(2)知, BC ? 平面 BDE

??????????10 分 ????????11 分 ?????????12 分

又因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE 2 6 ? ? BE 3 3
?????????14 分

6 . 3 解法二:由(2)知, BC ? BE, BC ? BD
所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
?????????12 分

S ?BCE ?
又 VE ? BCD 则

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2 ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h .
所以

1 1 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h 3 3

h?

S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2
?????????14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 19. (本小题满分 14 分)
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6 . 3

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2 '

解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , f ( x) ? 解 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?

1 ? 1 ? 2x x

??1 分 ??2 分

1 (舍去) 2

当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增, 当 x ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递减 所以 f (x) 的最大值为 f (1) ? 0 (2) F ( x) ? ln x ? 由k ? ??3 分 ??4 分 ??6 分 ??7 分 ??8 分 ??9 分

a 1 a (0 ? x ? 3), k ? F ' ( x0 ) ? ? 2 (0 ? x0 ? 3) x x0 x0

1 1 2 1 1 2 恒成立得 a ? x0 ? x0 ? ? ( x0 ? 1) ? 恒成立 2 2 2 2 1 1 1 2 因为 ? ( x0 ? 1) ? ? ,等号当且仅当 x0 ? 1 时成立 2 2 2 1 所以 a ? 2
设 g ( x) ? x 2 ? mx ? m ln x ? 0 ,解 g ' ( x ) ? 2 x ? m ?

2 (3) a ? 0 时,方程 mf ( x) ? x 2 即 x ? mx ? m ln x ? 0

m ?0 x

m ? m 2 ? 8m m ? m 2 ? 8m 得 x1 ? (<0 舍去), x2 ? 4 4 g (x) 在 (0, x2 ) 单调递减,在 ( x2 ,??) 单调递增,最小值为 g ( x2 )
因为 mf ( x) ? x 2 有唯一实数解, g (x) 有唯一零点,所以 g ( x2 ) ? 0 由?

??11 分 ??12 分

? g ' ( x2 ) ? 0 得 x2 ? 2 ln x2 ? 1 ? 0 , g ( x2 ) ? 0 ?
??13 分 ??14 分

因为 h( x) ? x ? 2 ln x ? 1 单调递增,且 h(1) ? 0 ,所以 x2 ? 1 从而 m ? 1 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)双曲线 C1 的左、右焦点 A 、 B 的坐标分别为 (?2,0) 和 ( 2,0) , ∵双曲线的渐进线方程为: y ? ?

3 x, 2 3 x 上的点,即点 C 的坐标为 (2,3) 。 2

∴点 C 的坐标为 C ( x0 ,3)(x0 ? 0) 是渐进线 y ?

∵ AC ? 5, BC ? 3 ∴椭圆的长轴长 2a ? AC ? BC ? 8 ? AB ? 4 ∵半焦距 c ? 2 ,∴椭圆的方程 C1 : (2)∵

x2 y2 ? ?1 16 12

……………………..5 分

AB sin C

? 2 R ,∴ 2R ? 4 2 ,即 R ? 2 2

又圆心在线段 AB 的垂直平分线上,故可设圆心 (0, s)(s ? 0)
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由 4 ? s 2 ? 8, s ? 2 。∴△ ABC 的外接圆的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ……………..9 分 (3)假设存在这样的定点 M (m, n) 设点 P 的坐标为 ( x, x ? t ) ∵恒有 PM ? PQ ,∴ ( x ? m) 2 ? ( x ? t ? n) 2 ? x 2 ? ( x ? t ? 2) 2 ? 8 即 (2m ? 2n ? 4) x ? (m 2 ? n 2 ? 2nt ? 4t ? 4) ? 0 对 x ? R 恒成立。 从而 ?

?2 m ? 2 n ? 4 ? 0
2 2 ?m ? n ? 2nt ? 4t ? 4 ? 0

,消去 m ,得 n 2 ? (t ? 2)n ? (2t ? 4) ? 0(?)

∵方程 (?) 的判别式 ? ? t ? 4t ? 12
2

∴①当 ? 2 ? t ? 6 时,方程 (?) 无实数解,∴不存在这样的定点 M ; ②当 t ? ?2或t ? 6 时,方程 (?) 有实数解,此时

0?2?t 2

? 2 2 ,即直线 y ? x ? t 与圆相

离或相切,故此时存在这样的定点 M ;……………..14 分

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