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1.2.1排列1_图文

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探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法?

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?

上面两个问题有什么共同特征?可以用 怎样的数学模型来刻画

探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法?

分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名, 按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的 顺序排列,求一共有多少种不同的排法?

第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法.
第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6
上午
甲 乙

即共6种方法。
相应的排法
甲乙 甲丙

下午
乙 丙 甲 丙 甲 乙

乙甲 乙丙
丙甲 丙乙
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把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出 3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位 数?

第1步,确定百位上的数字,有4种方法 第2步,确定十位上的数字,有3种方法 第3步,确定个位上的数字,有2种方法 根据分步乘法计数原理,共有 4×3×2=24 种不同的排法。如下图所示

1 2
3

2 4
3 3

3

4 4 2 2 1
3 1

1

3

4
3

1 2

2 41 4 1

2
3 1

3

3 4 2 4 2

41 41

2

有此可写出所有的三位数:

123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,
312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

同样,问题2可以归结为: 从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个,然 后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排 列方法?

abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

思考?上述两个问题的共同特点是?能否推广到一般?

(1)有顺序的
(2)不论是排列之前,还是之后,所有的元素都不相等,

推广到一般(5分钟) 排列:一般的,从n个不同的元素中取出m (m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列问题实际包含两个过程:
(1)先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 (2)再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。

注意:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 “树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选2名做正、副组长

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除

(5)20位同学互通一次电话 (6)20位同学互通一封信

那些事全 排列?

(7)以圆上的10个点为端点作弦 (8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的 射线

(9)有10个车站,共需要多少种车票?

(10)安排5个学生为班里的5个班干部,每人一个职位?
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2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。 “排列”和“排列数”有什么区别和联 系? “一个排列”是指:从 n个不同元素中,任取 m 个元素
按照一定的顺序排成一列,不是数;

“排列数”是指从 n个不同元素中,任取 m 个元素的 所有排列的个数,是一个数;所以符号 Anm 只表示
排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个 2 元素的排列数,记为 A3 ,

A ? 3? 2 ? 6
2 3

问题2中是求从4个不同元素中取出3个元 素的排列数,记为 A3 ,已经算出
4

A ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
3 4

探究:从n个不同元素中取出2个元 3 m 2 素的排列数 A n是多少? A n ,An ( n ? m ) 又各是多少?
第1位
A
3 n

第2位

A
n-1 第2位 第3位

2 n

? n ( n ? 1)

n 第1位

? n ( n ? 1)( n ? 2 )
n n-1 n-2

第1位 第2位 第3位

第m位

··· ···
n n-1 n-2 n-(m-1)
n ? ( m ? 1) ? n ? m ? 1

A

m n

? n ( n ? 1) ( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1)

排列数公式 A ? n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? m ? 1)
m n

这里,n, m ? N ,并且m ? n.
观察排列数公式有何特征: (1)第一个因数是n,后面每一个因数比它 前面一个因数少1. (2)最后一个因数是n-m+1. (3)共有m个因数.

?

n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个 元素的一个全排列,这时公式中的m=n,即有

A ? n( n ? 1)( n ? 2)?? 3 ? 2 ? 1
n n

就是说,n个不同元素全部取出的排列数, 等于正整数1到n的连乘积,

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,
用n!表示,

所以n个不同元素的全排列数公式可以写成

A ?n !
另外,我们规定 0!=1
n n

A

m n

? n ( n ? 1) ( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1)

?

n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1)( n ? m ) ? ? ? 2 ? 1 ( n ? m ) ? ? ? 2 ?1

?

n! ( n ? m )!

1、用排列数公式表示: (1) 9 ? 10 ? 11 ? ? ? 99

A

91 (2) 99

13 ? 14 ? ? ? ( n ? 1) ? n A
?

n ? 12 n

a?? (3) ( x ? a )( x ? a ? 1) ? ( x 15 16 ) ( x , a ? N , x ? a ? 16 )

2、计算: (1)A3
16

A x ? 16

A ?A 3、计算: A ?A n? n 9 ? 8 ?17 ? 6 ? 5 ? 9 ?n ? 7 ? 6 8 4、求证:An ?1 ? An ? nAn ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 m 5 ? 1 m ?1 5、求证: A n ? nA n ?1 ? 1 ? 10 ?m5 ? 10 m ?1 10 m 变式:求证: A n ? mA n ? A n ? 1
5 9 6 10 4 9 5 10

练习
(2)A 16 ? 15
6 ? 14 6

(3) ? 6?5 A

4 8? 7? 6?5 4 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 8

6.若 Anm ? 17 ? 16 ? 15 ? ? ? 5 ? 4 ,则 m ? 14 . n ? 17



7、下列各式中,不等于n!的是(
A. A 、 B .
n n


n ?1 n ?1

1 n ?1

A

n ?1 n ?1

、 C .A

n n ?1

、 D .nA

8.求 A

n ?3 2n

?A

?2n ? A ? 100 A2 9.解方程: ? n ?3 x 2007 4 ? 2 ?1 3 n 1 ? 2006 A2007 ? 1 变式、A1 ? 2 A2 ? 3 A3 ? ? ? 2006 A2006 ?

n ?1 4 n ?33 2x

的值.

例题选讲

A

n ?1 n ?1

? ? n ? 1?A
1 2! ?

n n

n ?1 A ?
n ?1 n ?1

? ?

1 A 4 5!
n n

n A 5 6!
n ?1 n ?1

? A

1
n ?1 n ?1

? n

1 A
n n

5、求和:

2 3!

3 4!

?

???

( n ? 1 )!

6、解方程 (1)

An ? 2 A

n? 2

n? 4 n?4

?

10 21

A

2 n

( 2) A ? 7 A
2 n

2 n? 4

7、解不等式 A ? 6 A
x 9

x?2 9

课堂练习
1.计算:(1) 5 A53 ? 4 A42 ? 348
? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
1 (2) A4 ? A42 ? A43 ? A44 ? 64

? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3? 2 ?1 ? 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法? 3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24 3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法? 3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C )
A.  1种
3

B.3 种

C.6 种

D.27 种

A3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6

小结
排列:一般的,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列。 排列数:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不 同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
排列数公式 A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1)
m

这 里 , n , m ? N , 并 且 m ? n.

?

全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素 的一个全排列,这时公式中的m=n,即有
An ? n( n ? 1)( n ? 2)??3 ? 2 ? 1 ? n!
n

思考题

三张卡片的正反面分别写着数字 2和3,4和5,7和8,若将这三张卡片 的正面或反面并列组成一个三位数, 可以得到多少个不同的三位数?

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