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2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:3.1.3(共44张PPT)_图文

3.1.3 空 间向量的

学习目标

思维脉络

1.理解空间两个向量
夹角的定义. 2.掌握空间向量数量 空间向量的数量积 积的定义、性质、运 空间向量的夹角

算律,会求空间向量的 数量积. 3.能够运用空间向量 的数量积解决夹角与

定义 空间向量的数量积 性质 —应用
运算律

距离问题.

12
1.空间向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作=a,=b,
则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>,向量夹角的取值范围是 [0,π].如果<a,b>=π2,那么向量 a,b 垂直,记作 a⊥b.
特别提醒 1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个 非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.
2.对空间任意两个非零向量a,b有:
①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.

12

【做一做 1】 在正四面体 ABCD 中,与的夹角等于

()

A.30° B.60°

C.150° D.120°

解析:<, >=180°-<, >=180°-60°=120°.

答案:D

12
2.空间向量的数量积 (1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b. (2)数量积的运算律: (λa)·b=λ(a·b);a·b=b·a(交换律); a·(b+c)=a·b+a·c(分配律). (3)数量积的运算性质:
①若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0. ②若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2 或|a|= ·.
③若 θ 为 a,b 的夹角,则 cos θ=||·||. ④|a·b|≤|a||b|.

12

名师点拨 1.对空间向量数量积的理解

(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、

负数或零;

(2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律,即

a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.

(3)若 a·b=k(k≠0),则不能得出 a=



=



,即空间向量不

能进行除法运算.

12
2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式|a|= ·可以解决空间中有关距离或长度的求 解问题; (2)利用公式 cos <a,b>=||·||可以解决两向量夹角,特别是两 异面直线夹角的求解问题; (3)利用关系 a⊥b?a·b=0 可以证明空间两直线的垂直.

12

【做一做 2】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长等于 2,则 ·

1等于( )

A.2

B.2 2

C.4

D.4 2

解析: ·1=||·|1|cos ∠CAD1=2 2×2 2 × 12=4.
答案:C

12

【做一做3】 已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则

a·(2a-3b)=

.

解析:a·(2a-3b)=2|a|2-3a·b=2×12-3×1×2×

-

1 2

=5.

答案:5

12
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)若a,b是空间非零向量,则<a,-b>=<-a,b>=-<a,b>. ( ) (2)若a,b,c是空间向量,则(a·b)c=a(b·c). ( ) (3)若a,b,c是空间向量,且a·b=a·c,则b=c. ( )
(4)若a·b=±|a||b|,则空间向量a,b是共线向量. ( )
(5)若a,b是空间非零向量,则(a·b)2=a2b2. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4) (5)×

探究一

探究二

探究三

求空间向量的数量积

探究四 规范解答

【例 1】 已知三棱锥 O-ABC 的各个侧面都是等边三角形, 且边长为 2,点 M,N,P 分别为 AB,BC,CA 的中点.试求:

(1) ·;(2) ·; (3) ·;(4) ·.
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义计 算求解,必要时,对向量进行分解.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

解(1) ·=||||cos <, >

=||||cos ∠AOB=2×2×cos 60°=2.

(2) ·=||||cos <, >

=||||cos 180°=1×2×(-1)=-2.

(3) · = ·( ? )

= · ? ·=2×2×cos ∠BOC-2×2×cos ∠BOA=0.

(4)

·

=



·12

=12



·

=

1 2

·(

?

)

=12 (2 ? ·)=12×(22-2)=1.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

反思感悟 空间向量运算的方法与步骤

方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos <a,b>并结合运算律进

行计算.

(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶

点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.

(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分

利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进

行运算.

步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合

形式;

(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量

的数量积;

(3)代入a·b=|a||b|cos <a,b>求解.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

变式训练 1

如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等 于 1,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,计算(1) ·;(2) · ;(3) ·;(4) ·.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

解(1)

·

=

1 2



·

=12 ||·||·cos <, >=12×1×1×cos 60°=14.

(2)

·

=

1 2

| |· |cos

< ,

>=12×1×1×cos

0°=12.

(3)

·

=

1 2



· =12

| |·| |cos

< ,

>

=12×1×1×cos 120°=-14.

(4)

·

=

1 2

(

+

)·12

(

+

)

=14 [·(-)+·(-)+ · + ·]

=14[- · ? ·+( ? )· + ·]

=14

-

1 2

-

1 2

+

1 2

-

1 2

+

1 2

=-18.

探究一

探究二

探究三

利用数量积求夹角

探究四 规范解答

【例 2】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量1与 的夹角的大小.

思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与 另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用 两个向量的数量积定义 a·b=|a||b|cos <a,b>,求出 cos <a,b>=||·|| 的值,然后确定<a,b>的大小.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

解(方法 1)因为1 = 1,所以∠D1AC 即为向量1与的 夹角.
因为△D1AC 为等边三角形,所以∠D1AC=60°,即
<1, >=60°. 所以向量1与的夹角为 60°. (方法 2)设正方体的棱长为 1,
则1 ·=( + 1)·( + ) =( + 1)·( + ) = · + 2 + 1 · + 1 · =0+2+0+0=2=1.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

又|1|= 2,||= 2,

所以 cos <1, >=|11|·|| =

1 2×

2 = 12.

因为<1, >∈[0°,180°],

所以<1, >=60°.

所以向量1与的夹角为 60°.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

反思感悟 两个非零向量夹角求法的两个途径. (1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三 角形的知识求解;
(2)利用数量积求夹角:运用公式 cos<a,b>=||·||进行求解.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b

的夹角为( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为

AB,OC 的中点,则向量与向量所成角的余弦值



.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

解析:(1)设 a 与 b 的夹角为 θ,则由(2a+b)·b=0,得 2|a||b|cos

θ+|b|2=0.

又因为|a|=|b|,所以 cos θ=-12,所以 θ=120°.

(2)由已知得

=

1 2

(

+

),

=



?



=

1 2



?

, 因此||=12 | + |

=12

4

+

4

+

2

×

2

×

2

×

1 2

=

3,

| |=

1 2

-

=

1 4

×

4

+

4-2

×

2

×

1 2

=

3.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

又因为

·

=

1 2

(

+

)· 12

-

=

14×2-12×2+12×2-4=-2,

所以向量与向量所成角的余弦值 cos θ= · =

||||

-2 3×

3=-23.

答案:(1)C (2)-23

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

利用数量积证明垂直问题
【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底 面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.

思路分析要证 B1O⊥平面 PAC,只须证明 B1O⊥AC 与 B1O⊥PA,
即只需证明1 ·=0 和1 ·=0,可先将1, , 均用正 方体的棱所在的向量线性表示,再求数量积证明.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

证明取 =a, =b,1 =c,且|a|=|b|=|c|=1.

则有 = + =a+b,1 = + 1

=12



+

1

=

1 2

(

?

)+1

=

12a-12b+c,



·1

=(a+b)· 12

-

1 2



+



=12|a|2+12a·b-12a·b-12|b|2+a·c+b·c=12 ? 12=0.

∴ ⊥ 1,即 AC⊥OB1.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答



=



+

1 2

1 =b+12c,

∴1 · =

1 2

-

1 2



+



·



+

1 2



=12a·b-12|b|2+c·b+14a·c-14b·c+12|c|2

=-12 + 12=0,

∴1 ⊥ ,即 OB1⊥AP. 又∵AC∩AP=A,

∴OB1⊥平面 ACP.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

反思感悟 利用数量积证明垂直问题的一般方法: 将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量, 并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积 运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为 BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

证明如图,设=a,=b,=c,又 P,M 分别为 OA,BC 的中
点,
∴ = ? =12(b+c)-12a=12[(b-a)+c].
同理, = 12(a+c)-12b=-12[(b-a)-c].
∴ ·=-14(|b-a|2-|c|2).
又 AB=OC,即|b-a|=|c|,
∴ ·=0,∴ ⊥ ,即 PM⊥QN.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

利用数量积求距离或长度

【例 4】在正四面体 ABCD 中,棱长为 a.M,N 分别是棱 AB,CD 上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=12|ND|,求|MN|.
思路分析转化为求向量 的模,然后将向量 分解,再根

据数量积运算性质进行求解.

解因为 = + +

=23 +( ? )+13 ( ? )

=-13



+

1 3



+

2 3

,

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

所以 · =

-

1 3



+

1 3



+

2 3



·

-

1 3



+

1 3



+

2 3



=19

2

?

2 9



·

?

4 9



·

+

4 9



·

+

1 9

2

+

4 9

2

=19a2-19a2-29a2+29a2+19a2+49a2=59a2.

所以|MN|= 35a.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

反思感悟 求两点间的距离或线段长度的方法如下: (1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|= 2,通过计算求出|a|,即得所求距离.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

变式训练 4 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 2,E,F 分别 是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是( )

A.2

B. 3

C. 5

D. 7

解析:因为 = + 1 + 1,

所以| |=

2
( + 1 + 1)

=

1+4+1+2

0

+

0-

1 2

=

5,即 EF 的长是 5.

答案:C

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

利用向量的数量积求两异面直线所成角

【典例】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1= 2,求异面直线BA1与AC所成角的 余弦值.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

【审题策略】 求异面直线 BA1 与 AC 所成的角,可转化为求
向量1与所成的角,因此可先求1 ·,再求|1|,||,最 后套用夹角公式求得,但要注意两直线夹角与两向量夹角的区 别.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

【规范展示】 因为1 = + 1 = + 1,

= ? ,且 · = 1 · = 1 ·=0,

所以1 ·=( + 1)·( ? )

= · ? 2 + 1 · ? 1 ·=-1.

又||= 2,|1|= 1 + 2 = 3.

所以

cos

<1

,

>= 1·
|1|||

=

-16=-

66.

则异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为 66.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

【答题模板】 第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量, 用相关向量表示.
? 第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.
? 第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.
? 第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;

(2)解题时若忽视直三棱柱的条件,不能正确地求出1 ·;

(3)忽视两直线夹角与两向量夹角的区别,得出-

6的错误结
6

果.

探究一

探究二

探究三

探究四 规范解答

跟踪训练在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BA1与直线

AC所成的角为

.

解析:由条件知,|1|= 2a,||= 2a,1 ·=(1 ?

)·( + )=1 ·-||2+1 · ? ·

=-| |2=-a2,

所以 cos <1, >=|11|·||=

-2 2·

2=-12.

因此向量1与所成的角为 120°,从而直线 BA1 与直线

AC 所成的角为 60°.

答案:60°

12345
1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各对向量夹角为 45°的是 () A.与11 B.与11 C.与11 D.与11
解析:四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.
答案:A

12345

2.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E,F 分别是 BC,AD 的中点,则

·等于( )

A.0

B.12

C.-14

D.14

解析:



·

=

1 2

(

+

)·12



=

1 4

(

·

+



·

)=14 ( · + · + ·)=14.

答案:D

12345

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与 CE的位置关系是( ) A.重合 B.平行 C.垂直 D.无法确定

解析: 1 = + + 1, = 1 + 1 = 1 ?

1 2

(

+

),于是1

· =(

+



+

1)·1-

1 2

(

+

) =0-12-0+0-0-12+1-0=0,

故1 ⊥ ,即 AC1 与 CE 垂直.

答案:C

12345

4.若e1,e2是两个夹角为60°的单位空间向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的

夹角为

.

解析:a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=1-12-2=-32,又|a|= (1 + 2)2 =

3,|b|= (1-22)2 =

3,于是 cos<a,b>=

-32 3×

3=-12,因此夹角等于

120°.

答案:120°

12345
5.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形, 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.

12345
证明设=a,=b,1=c, 则|a|=|b|.
∵ = ? =b-a, ∴ ·1=(b-a)·c=b·c-a·c
=|b||c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0.
∴1 ⊥ ,即 C1C⊥BD.


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