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万源市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

万源市第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 数列﹣1,4,﹣7,10,…,(﹣1)n(3n﹣2)的前 n 项和为 Sn,则 S11+S20=( A.﹣16 A.0 B.1 B.14
2

姓名__________

分数__________
) )

C.28

D.30

2. 已知 x∈R,命题“若 x >0,则 x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是( C.2 D.3

3. 某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量 P (单位:毫克/升)与时间 t (单位:
? kt k 10% 的污染物,为了消除 27.1% 小时)间的关系为 P ? P 0 , 均为正常数).如果前 5 个小时消除了 0e ( P

的污染物,则需要( A. 8 B. 10

)小时. C. 15 D. 18

【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用,体现“数学是有用的”的新 课标的这一重要思想. 4. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为( A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:2:4 D.3:1:2 )

5. 已知函数 f(x)=m(x﹣ )﹣2lnx(m∈R),g(x)=﹣ ,若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)<g (x0)成立,则实数 m 的范围是( A.(﹣∞, ] ) D.(﹣∞,0)

B.(﹣∞, ) C.(﹣∞,0]

6. 已知 A.0 B.2 C.4

,则 f{f[f(﹣2)]}的值为( D.8



7. 若不等式 1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4,则 4a﹣2b 的取值范围是( A.[5,10] B.(5,10) C.[3,12] ) 8. 函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(

) D.(3,12)

A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3) 9. 已知等差数列{an}满足 2a3﹣a A.2 B.4
2

+2a13=0,且数列{bn} 是等比数列,若 b8=a8,则 b4b12=(

) )

C.8

D.16

10. B 两点, 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, 点 O 是原点, 若|AF|=3, 则△ AOF 的面积为 (

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A. 11.设 F1,F2 为椭圆 ( A. ) B. C.

B.

C.

D.2 的值为

=1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则

D. ,则这个三角形一定是( )

12.在△ABC 中, A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角 D.等腰或直角三角形

二、填空题
13.“黑白配”游戏,是小朋友最普及的一种游戏,很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的 人(三人或三人以上)同时出示手势,以手心(白)、手背(黑)来决定胜负,当其中一个人出示的手势与其 它人都不一样时,则这个人胜出,其他情况,则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三 人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势,则一次游戏中甲胜出的概率是 14.设函数 的实数根,则实数 a 的取值范围是 .

,其中[x]表示不超过 x 的最大整数.若方程 f(x)=ax 有三个不同 .

15.已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0},那么 M∩N= 16.正六棱台的两底面边长分别为 1cm,2cm,高是 1cm,它的侧面积为 17.若函数 f(x)= ﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是 . .

. .

18.函数 f ? x ? ? xe x 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是

?

?

三、解答题
19.已知 f(x)=lg(x+1) (1)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,g(x)=f(x),求函数 y=g(x)(x∈[1,2])的 反函数.

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20.已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x),且有最小值是 . (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈R; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

21.已知等差数列{an}中,其前 n 项和 Sn=n2+c(其中 c 为常数), (1)求{an}的通项公式; (2)设 b1=1,{an+bn}是公比为 a2 等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

22.已知顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为

,求此抛物线方程.

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23.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 E,过 E 的 (1)求证:CD=DA; (2)若 CE=1,AB= 2,求 DE 的长. 切线与 AC 交于 D.

24.(本小题满分 12 分)求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ? (2) f ? x ? ?

2?

x?3 ; x ?1
.

? x 2 ? 3x ? 4 x2 ? 5x ? 6

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万源市第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
n 【解析】解:∵an=(﹣1) (3n﹣2),

∴S11=( =﹣16,

)+(a2+a4+a6+a8+a10)

=﹣(1+7+13+19+25+31)+(4+10+16+22+28) S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) =﹣(1+7+…+55)+(4+10+…+58) =﹣ =30, ∴S11+S20=﹣16+30=14. 故选:B. 【点评】本题考查数列求和,是中档题,解题时要认真审题,注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用. +

2. 【答案】C
2 2 【解析】解:命题“若 x >0,则 x>0”的逆命题是“若 x>0,则 x >0”,是真命题; 2 否命题是“若 x ≤0,则 x≤0”,是真命题; 2 逆否命题是“若 x≤0,则 x ≤0”,是假命题;

综上,以上 3 个命题中真命题的个数是 2. 故选:C 3. 【答案】15 【 解 析 】

4. 【答案】D 【解析】解:设球的半径为 R,则圆柱、圆锥的底面半径也为 R,高为 2R, 则球的体积 V 球= 圆柱的体积 V 圆柱=2πR
3

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圆锥的体积 V 圆锥= 故圆柱、圆锥、球的体积的比为 2πR : 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是旋转体, 球的体积,圆柱的体积和圆锥的体积, 其中设出球的半径,并根据圆柱、 圆锥的底面直径和高都等于球的直径,依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键. 5. 【答案】 B 【解析】解:由题意,不等式 f(x)<g(x)在[1,e]上有解, ∴mx<2lnx,即 < 令 h(x)= 在[1,e]上有解, ,
3



=3:1:2

,则 h′(x)=

∵1≤x≤e,∴h′(x)≥0, ∴h(x)max=h(e)= , ∴ <h(e)= , ∴m< . ∴m 的取值范围是(﹣∞, ). 故选:B. 【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,解题时要认真审题,注意导数性 质的合理运用. 6. 【答案】C 【解析】解:∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=0 ∴f(f(﹣2))=f(0) ∵0=0 ∴f(0)=2 即 f(f(﹣2))=f(0)=2 ∵2>0
2 ∴f(2)=2 =4

即 f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4 故选 C.

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7. 【答案】A 【解析】解:令 4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b) 即 解得:x=3,y=1 即 4a﹣2b=3(a﹣b)+(a+b) ∵1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4, ∴3≤3(a﹣b)≤6 ∴5≤(a﹣b)+3(a+b)≤10 故选 A 【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划,其中令 4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b),并求出满足条件的 x, y,是解答的关键. 8. 【答案】C 【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反. 9. 【答案】D 【解析】解:由等差数列的性质可得 a3+a13=2a8,
2 即有 a8 =4a8,

解得 a8=4(0 舍去), 即有 b8=a8=4,
2 由等比数列的性质可得 b4b12=b8 =16.

故选:D. 10.【答案】B
2 【解析】解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1.

∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴1+xA=3 ∴xA=2,

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∴yA=±2

, = .

∴△AOF 的面积为 故选:B.

【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键. 11.【答案】C 【解析】解:F1,F2 为椭圆 =1 的两个焦点,可得 F1(﹣ ,0),F2( ).a=2,b=1.

点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,PF1⊥F1F2, |PF2|= = ,由勾股定理可得:|PF1|= = .

= = . 故选:C. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力. 12.【答案】A 【解析】解:∵ 又∵cosC= ∴ = , ,
2 2 ,整理可得:b =c ,

∴解得:b=c.即三角形一定为等腰三角形. 故选:A.

二、填空题
13.【答案】 .

3 【解析】解:一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种,所以总共有 2 =8 种方案,

而甲胜出的情况有:“甲黑乙白丙白”,“甲白乙黑丙黑”,共 2 种, 所以甲胜出的概率为 故答案为 .

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【点评】本题考查等可能事件的概率,关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目. 14.【答案】 (﹣1,﹣ ]∪[ , ) .

【解析】解:当﹣2≤x<﹣1 时,[x]=﹣2,此时 f(x)=x﹣[x]=x+2. 当﹣1≤x<0 时,[x]=﹣1,此时 f(x)=x﹣[x]=x+1. 当 0≤x<1 时,﹣1≤x﹣1<0,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1+1=x. 当 1≤x<2 时,0≤x﹣1<1,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1. 当 2≤x<3 时,1≤x﹣1<2,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣1=x﹣2. 当 3≤x<4 时,2≤x﹣1<3,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣2=x﹣3. 设 g(x)=ax,则 g(x)过定点(0,0), 坐标系中作出函数 y=f(x)和 g(x)的图象如图: 当 g(x)经过点 A(﹣2,1),D(4,1)时有 3 个不同的交点,当经过点 B(﹣1,1),C(3,1)时,有 2 个不同的交点, 则 OA 的斜率 k= ,OB 的斜率 k=﹣1,OC 的斜率 k= ,OD 的斜率 k= , 或 ,

故满足条件的斜率 k 的取值范围是 故答案为:(﹣1,﹣ ]∪[ , )

【点评】 本题主要考查函数交点个数的问题, 利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本 题的根据,利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想. 15.【答案】 {1,﹣1} .

【解析】解:合 M={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2}, N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0}={3,﹣1,1},

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则 M∩N={1,﹣1}, 故答案为:{1,﹣1}, 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 16.【答案】 cm2 .

【解析】解:如图所示,是正六棱台的一部分, 侧面 ABB1A1 为等腰梯形,OO1 为高且 OO1=1cm,AB=1cm,A1B1=2cm. 取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1, 则 C1C 为正六棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形. 根据正六棱台的性质得 OC= ∴CC1= = ,O1C1= . = ,

又知上、下底面周长分别为 c=6AB=6cm,c′=6A1B1=12cm. ∴正六棱台的侧面积: S= = =
2 (cm ).



故答案为:

cm2.

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【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法,是中档,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

17.【答案】 ﹣2 【解析】解:函数 f(x)= 由函数 f(x)= 即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2,
2 即有 f′(x)=﹣2x +2x=﹣2(x﹣1)x, 2 ﹣m 的导数为 f′(x)=mx +2x,

﹣m 在 x=1 处取得极值,

可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题. 18.【答案】 2e 【解析】 试题分析:

f ? x ? ? xex ,? f ' ? x ? ? ex ? xex ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e .

考点:利用导数求曲线上某点切线斜率.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)f(1﹣2x)﹣f(x)=lg(1﹣2x+1)﹣lg(x+1)=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1), 要使函数有意义,则 由 解得:﹣1<x<1. <1 得:1< <10,

由 0<lg(2﹣2x)﹣lg(x+1)=lg ∵x+1>0, ∴x+1<2﹣2x<10x+10, ∴ 由 . ,得:



(2)当 x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1],
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∴y=g(x)=g(x﹣2)=g(2﹣x)=f(2﹣x)=lg(3﹣x), 由单调性可知 y∈[0,lg2], 又∵x=3﹣10 , ∴所求反函数是 y=3﹣10 ,x∈[0,lg2]. 20.【答案】 【解析】解:(1)二次函数 f(x)图象经过点(0,4),任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x) 则对称轴 x= , f(x)存在最小值 , 则二次项系数 a>0
2 设 f(x)=a(x﹣ ) + . x y

将点(0,4)代入得: f(0)= 解得:a=1
2 2 ∴f(x)=(x﹣ ) + =x ﹣3x+4.



(2)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x =x2﹣2tx+4=(x﹣t)2+4﹣t2,x∈[0,1]. 当对称轴 x=t≤0 时,h(x)在 x=0 处取得最小值 h(0)=4; 当对称轴 0<x=t<1 时,h(x)在 x=t 处取得最小值 h(t)=4﹣t ; 当对称轴 x=t≥1 时,h(x)在 x=1 处取得最小值 h(1)=1﹣2t+4=﹣2t+5. 综上所述: 当 t≤0 时,最小值 4; 当 0<t<1 时,最小值 4﹣t ; 当 t≥1 时,最小值﹣2t+5. ∴ .
2 2

(3)由已知:f(x)>2x+m 对于 x∈[﹣1,3]恒成立,
2 ∴m<x ﹣5x+4 对 x∈[﹣1,3]恒成立, 2 ∵g(x)=x ﹣5x+4 在 x∈[﹣1,3]上的最小值为



∴m<



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21.【答案】 【解析】解:(1)a1=S1=1+c,a2=S2﹣S1=3,a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 因为等差数列{an}, 所以 2a2=a1+a3 得 c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (4 分) ∴a1=1,d=2,an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)a2=3,a1+b1=2∴ ﹣(8 分) ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴ 分)

【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法,考查学生的运算求解能力,属中档题.

22.【答案】
2 【解析】解:由题意可设抛物线的方程 y =2px(p≠0),直线与抛物线交与 A(x1,y1),B(x2,y2)

联立方程 则

2 可得,4x +(4﹣2p)x+1=0



,y1﹣y2=2(x1﹣x2) = = = =

解得 p=6 或 p=﹣2
2 2 ∴抛物线的方程为 y =12x 或 y =﹣4x

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用

23.【答案】 【解析】解:(1)证明:

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如图,连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, AC,DE 均为⊙O 的切线, ∴∠AEC=∠AEB=90°, ∠DAE=∠DEA=∠B, ∴DA=DE. ∠C=90°-∠B=90°-∠DEA=∠DEC, ∴DC=DE, ∴CD=DA. (2)∵CA 是⊙O 的切线,AB 是直径, ∴∠CAB=90°, 由勾股定理得 CA2=CB2-AB2, 又 CA2=CE×CB,CE=1,AB= 2, ∴1·CB=CB2-2, 即 CB2-CB-2=0,解得 CB=2, ∴CA2=1×2=2,∴CA= 2. 1 2 由(1)知 DE= CA= , 2 2 2 所以 DE 的长为 . 2 【解析】

24.【答案】(1) ? ??, ?1?

?1, ??? ;(2) ??1, 2? ?3, 4? .

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考 点:函数的定义域. 1 【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的 求解、集合的交集运算等综合考查,着重考查了学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确把 握函数的定义域,列出相应的不等式或不等式组是解答的关键,同时理解函数的定义域的概念,也是解答的一 个重要一环.

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