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2008年全国数学优秀说课课件---等差数列的前n项和_图文


等差数列的前n项和 (第一课时)

一、教材分析
?教材地位、作用 ?教学目标 ?教学重点、难点

教材地位与作用
数列是刻画离散现象的函数,是一种重要的数学模型。人们往 往通过离散现象认识连续现象,因此就有必要研究数列。
高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课 的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。 在推导等差数列前n项和公式的过程中,采用了:1.从特殊到 一般的研究方法;2.等差数列的基本元表示 ;3.逆序相加求和。 不仅得出了等差数列前n项和公式,而且对以后推导等比数列前n项 和公式有一定的启发,也是一种常用的数学思想方法。 等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与数学课程的 其它内容(函数、三角、不等式等)有着密切的联系。

教学目标
知识与技能目标: 掌握等差数列前n项和公式,能较熟练应用等差数列前 n项和公式求和。 过程与方法目标: 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验 从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。 情感、态度与价值观目标: 获得发现的成就感,逐步养成科学严谨的学习态度,提 高代数推理的能力。

教学重点、难点
?等差数列前n项和公式是重点。 ?获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

二、教法分析
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知 识阶段。 探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介 绍“逆序相加”求和,无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出 来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫,从 特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。 应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式, 可采用设计变式题的教学手段,通过“选择公式”,“变用 公式”,“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的 形成。

三、学法分析
建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动的建构知 识的过程,学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中, 让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、 操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习,认识和理 解数学知识,学会学习,发展能力。

三、教学过程
?问题呈现阶段 ?探究发现阶段 ?公式应用阶段

问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

设计说明
?源于历史,富有人文气息.
?图中算数,激发学习兴趣.

?承上启下,探讨高斯算法.

计算 1+ 2 +3+

+100

探究发现
学生叙述高斯首尾配对的方法
学生对高斯的算法是熟悉的,知道采用 首尾配对的方法来求和,但是他们对这种方 法的认识可能处于模仿、记忆的阶段 。 为了促进学生对这种算法的进一步理解, 设计了下面问题。

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石? 这是求奇数个项和的问题,不

能简单模仿偶数个项求和的办法, 需要把中间项11看成首、尾两项 1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识:高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。 进而提出有无简单的方法?

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
借助几何图形之 直观性,引导学生使 用熟悉的几何方法: 把“全等三角形”倒 置,与原图补成平行 四边形。

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
3 2 1 21 20 19

获得算法:

(1 ? 21) ? 21 s21 ? 2
21 1

设计说明
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借 助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重 要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的 理解。因此在教学中,要鼓励学生借助几何直观 进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗 透了数形结合的数学思想。

探究发现
问题2:求1到n的正整数之和。
即 sn ? 1 ? 2 ? 3 ?
? ?2 ? (1 ? n)

? (n ?1) ? n
?1

sn ? 1 ?

2 ? 3

? (n ? 1) ? n

sn ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 sn ? (1 ? n) ? (1 ? n) ?
n

sn ?

n(n ? 1) 2

从求确定的前n个 正整数之和到求一般 项数的前 n 个正整数之 和,旨在让学生体验 “逆序相加求和”这 一算法的合理性,从 心理上完成对“首尾 配对求和”算法的改

探究发现
如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题3:
由于前面的铺垫,学生容易得出如下过程:

sn ? a1 ? a2

? a3 ?

? an

sn ? an ? a n ?1 ? an ?2 ? n(a1 ? an ) ? sn ? 2

? a1

图形直观 追问学生:为什么在等差数列中有

a2 ? an?1 ? a1 ?m an 等差数列的性质 (如果 ?,n ? p ? q, 那么am ? an ? ap ? aq .)

探究发现
如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题4:
如果萧华同学目前还不知道等差数列的这个 性质,你又该如何解释呢? 在图与式的 s ? 1 ? 2 ? 3 ? ? (n ? 1) ? n s ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1 启发下,引导学 ? 2 s ? (1 ? n) ? (1 ? n) ? ? (1 ? n) 生用项(首项或 尾项)、公差两 n(n ? 1) s ? 2 个基本元表示等 差数列。
n n n n n

探究发现
如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题4:
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? Sn ? an ? (an ? d ) ? ? [a1 ? (n ?1)d ] ? [an ? (n ?1)d ]

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

设计说明
(方法1) 许多的教学设计在介绍“等差数 列前n项和”教学时,先复习或介绍等差数列的 性质,然后在此基础上采用逆序相加推导公式。
(方法2)《数学》第一册(上)(人民教育 出版社)介绍的推导方法是先把等差数列用项 (首项、尾项)、公差两个基本元表示,然后采 用逆序相加推导公式。

设计说明
有观点认为方法1直接干脆,要比方法2好。我们之所以 浓墨重彩引出方法2,绝不是一味迷信教材人云亦云,而是源 于以下的考虑:

方法1是以学生掌握了等差数列的性质(教材内容始终未 出现,增加了学生的负担)为基础的,起点比较高,因而方法 显得抽象一些,不容易被学生理解和信服。 方法2的关键是等差数列的基本元表示——只要给定首项 (尾项)和公差就可以确定该等差数列,反映了等差数列的本 质,可以进一步促进学生对等差数列的理解。而且方法仅以等 差数列的定义为基础,乃是学生熟悉的背景知识,因而显得比 较直观,令人信服。

设计说明
一言而蔽之,数学教学应努力做到:
以简驭繁, 平实近人, 返朴归真, 循循善诱, 引人入胜。

公式应用
?选用公式 ?变用公式

?知三求二

公式应用
选用公式
例1 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m) 是: 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500

这位长跑运动员7天共跑了多少米? 本例提供了许多数据信息,学生可以从首项、尾 项、项数出发,使用公式1,也可以从首项、公差、 项数出发,使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要 素与结构的教学目的。
通过两种方法的比较,引导学生应该根据信息选 择适当的公式,以便于计算。

公式应用
变用公式
例2 等差数列-10,-6,-2,2,…的前多少 项的和为54? 本例已知首项,前n项和、并且可以求出公差, 利用公式2求项数。 事实上,在两个求和公式中各包含四个元素, 从方程的角度,知三必能求余一。 变式练习
在等差数列?an ?中,a1 ? 20, an ? 54, sn ? 999, 求n.

公式应用
知三求二
例3 在等差数列?an ?中,已知d ? 20, n ? 37, sn ? 629,
求a1及an .

本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知 元。 可以使用公式2,先求出首项,再使用通项公式求尾 项。也可以使用公式1和通项公式,联列方程组求解。 事实上,在求和公式、通项公式中共有首项、公差、 项数、尾项、前n项和五个元素,如果已知其中三个, 联列方程组,就可求其余二个。

课堂小结
?回顾从特殊到一般的研究方法;

?体会等差数列的基本元表示方法,逆序相加的算法, 及数形结合的数学思想; ?掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

作业布置
A必做题:课本118页,练习1、2、3;习题3.3 第2题(3、4) B选做题:在等差数列中,
1、已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求s16 ; 2、已知a6 ? 20, 求s11

必做题是让学生巩固所学的知识,熟练公式的 应用。根据我校的特点,为了促进数学成绩优秀 学生的发展,培养他们分析问题解决问题的能力, 我们设计了选做题,达到分层教学的目的。

感谢各位与会专家和同行!

感谢各位与会专家和同行!


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