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河北省2014版高考数学二轮复习专题能力提升训练十:数列 Word版含答案


河北 2014 版高考数学二轮复习专题能力提升训练:数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.数列 {an } 定义如下: a1 A.91 【答案】C 2.已知等差数列 A.64 【答案】C 3. x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ], { 设 则 A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 【答案】B 4.已知 共 60 分) 一 、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

? 1, a2 ? 3, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2(n ? N * ) ,则 a 11 =(
C.111 D.133

)

B.110

{an } 中,前 5 项和 S5 ? 15 ,前 6 项和 S 6 ? 21,则前 11 项和 S11 =(
B.36 C.66 D.30

)

5 ?1 5 ?1 5 ?1 }, [ ], ( 2 2 2 B.是等比数列但不是等差数列
D.既不是等差数列也不是等比数列

)

?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? 4 ,则 a1a2 ? a2a3 ? ? ? anan?1 ? (

1

)

A. 16 1 ? 4 【答案】C

?

?n

?

B. 16 1 ? 2

?

?n

?

C.

32 ?1 ? 4? n ? 3
,若

D.

32 ?1 ? 2? n ? 3

5.已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和是 那么 的值是( )

是公差为-1 的等差数列,且

A. 【答案】A

B.

C.

D.

6.已知{an}是等比数列,a2=2, a 5 ? A.-0.5 【答案】D 7.已知 F ( x) ? f ( x ? B.-2

1 ,则公比 q=( 4
C.2

) D.0.5

1 ) ? 1 是 R 上的奇函数, 2 1 2 n ?1 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1)(n ? N ? ) ,是数列 {an } 的通项公式为( n n n
A. an

)

? n ?1

B. a n

?n

C. an

? n ?1

D. an

? n2
1 为第三项, 3

【答案】C 8. ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 在

-1-

9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是(
A.钝角三角形 【答案】B B.锐角三角形

) D.以上都不对

C.等腰直角三角形

9.数列

的前 项和为

,若

,则

等于(

)

A.1 【答案】B 10.已知数列 ? 1, A. 【答案】D

B.

C.

D.

1 5

1 1 n 1 ,? , ?, ?? 1? 2 , ? ,它的第 5 项的值为( 4 9 n 1 1 B. ? C. 5 25

) D.

?

1 25
)

11.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn A. 1 【答案】A B. 9

? Sm ? Sn?m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? (
C. 10 D. 55

12.已知等差数列 {an } 的公差为-2, a7 是 a3 与 a9 的等比中项, {Sn } 为数列 {an } 的前 n 项的和, 则

S10 =(

)

[来源:学#科#网]

A.-110 C.90 【答案】D

B.-90 D.110 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.等比数列{an}中,an>0,且 a3·a6·a9=4,则 log2a2+log2a4+log2a8+log2a10=____________ 【答案】 8 3

14.已知数列 【答案】-30 15.函数 y

{an } 对任意的

p, q ? N * 满足 a p?q ? a p ? aq 且 a2 ? ?6 ,那么 a10 ?

.

2 ? x2 ( x ? 0) 的图象在点 (an , an ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 an ?1 ,

n ? N * , 若a1 ? 16, 则a3 ? a5 ?
【答案】5, 2
5? n

,数列 {an } 的通项公式为



16.已知数列 {an } 的前 n 项的和 S n 满足 log2 (S n 【答案】 2
n ?1

? 1) ? n ,则 an =



-2-

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知等差数列

?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .
1 ( n ? N * ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

(Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

【答案】 (Ⅰ)设等差数列

?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? 2a1 ? 10d ? 26 ?
所以 an

? 3 ? (n ?1)=2n ? 1 ; 2
n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n 。 2

S n ? 3n ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn

? n2 ? 2n ? n(n ? 2) ,

? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

[来源:学科网]

1 1 1 1 1 1 ? [(1- )+( ? )+? ?+( ? ? )] 2 3 2 4 n n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1+ ? ?? ?+ ) ? ( + +? ?+ ? ? + )] 2 2 3 n 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 ? (1+ ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2

1 3 2n ? 3 ? [ ? ] 2 2 (n ? 1)(n ? 2) ? 3 2n ? 3 ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)

?

3n2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)

3n2 ? 5n ∴数列 ?bn ? 的前 n 项和 ? 。 4(n ? 1)(n ? 2)
18.已知数列 ?

? an ? 2 的前 n 项和 Sn=n +2n(其中常数 p>0) 。 n ?1 ? ?p ?
[来源:Z,xx,k.Com][来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;

(Ⅱ)设 T n 为数列{a n }的前 n 项和。
-3-

(i)求 T n 的表达式; (ii)若对任意 n∈N ,都有(1-p)T n +pa n ≥2p 恒成立,求 p 的取值范围。 【答案】 (Ⅰ) 当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,
* n

an n-1 =Sn-Sn-1=2n+1,得 an=(2n+1)p . n ?1 p
n-1 2 n-1

又因为 n=1 也满足上式,所以 an=(2n+1)p (Ⅱ) (i)Tn=3+5p+7p +…+(2n+1)p ①当 p=1 时,Tn=n +2n;
2 2

.
n-1 n

②当 p ? 1 时,由 Tn=3+5p+7p +…+(2n+1)p pTn=3p+5p +7p +…+(2n-1)p
2 3 2 3 n-1


n

+(2n+1)p ,
n-1

则(1-p)Tn=3+2(p+p +p +…+p

)-(2n+1)p ,

3 1 2 p( 1 ? p n?1) n 得 T n= + - (2n+1)p . 2 1? p 1? p ( 1 ? p)
综上,当 p=1 时,Tn=n +2n;当 p ? 1 时,Tn =
2 *

3 1 2 p( 1 ? p n?1) n + - (2n+1)p . 2 1? p 1? p ( 1 ? p)
n

(ii)①当 p=1 时,显然对任意 n∈N ,都有(1-p)Tn+pan≥2p 恒成立; ②当 p ? 1 时,可转化为对任意 n∈N ,都 有 3+
*

2 p( 1 ? p n?1) n ≥2p 恒成立. 1? p

即对任意 n∈N ,都有

*

3? p 4 ? 2p n ≥ p 恒成立. 1? p 1? p

当 0<p<1 时,只要

3? p ≥p 成立,解得 0<p<1; 4 ? 2p 3? p n * ≤p 对任意 n∈N 恒成立, 4 ? 2p

当 1<p<2 时,只要

只要有

3? p n * ≤p 对任意 n∈N 恒成立, 4 ? 2p 3? p 3 ≤p 成立,解得 1<p≤ 2 4 ? 2p
3 ]. 2

只要有

当 p≥2 时,不满足. 综上,实数 p 的取值范围为(0,

-4-

19.已知数列

?bn ? 中, b1 ? 1,且点 ?bn?1, bn ? 在直线 y ? x ? 1 上.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,

an?1 ? 2an ? 3 ,
(Ⅰ) 求数列

?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)求 数列 (Ⅲ)若 cn

?an ? 的通项公式;

? an ? 3 ,求数列 ?bncn ? 的前 n 项和 Sn .
? 2an ? 3 得 an?1 ? 3 ? 2 ? an ? 3?

【答案】 (Ⅰ)由 an?1 所以

?an ? 3? 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列.
? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 3

所以 an

(Ⅱ)因为 所以 bn 故数列 所以 bn

?bn?1, bn ? 在直线 y ? x ? 1 上,

? bn?1 ?1 即 bn?1 ? bn ? 1 又 b1 ? 1

?bn ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,
?n ? an ? 3 = 2n?1 ? 3 ? 3 = 2 n?1 故 bncn ? n ? 2n?1

(Ⅲ) cn 所以 Sn 故 2Sn

[来源:学科网]

? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? n? n?1 2

?
2

1? 23 ? 2 ? 24 ? ?? ? n ?1?? n?1 ? n? n?2 2 2
? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
3 4 n ?1

相减得 ?Sn 所以 Sn

? n?2

n?2

?

4 ? 2n ? 1? 2 ?1

? n?2n?2 ? ?1 ? n ? 2n?2 ? 4

? ? n ?1?? n?2 ? 4 2
}的前 n 项和满足 ,且

20.已知各项均为正数的数列{ (1)求{ }的通项公式; }满足 .

(2)设数列{

,并记

为{

}的前 n 项和,求证:

-5-

【答案】I) ( 由

, 解得



, 由假设

, 因此



又由 得 即 因此 故 的通项为 或 ,从而 , ,因 ,故



不成立,舍去.

是公差为 ,首项为 的等差数列, .

(II)由

可解得



从而



因此



令 因

,则 ,故 .



特别地 即 21.已知数列 .

,从而



?an ? 前 n 项和 Sn ? n 2 ? 4n ? n ? N ? ? ,数列 ?bn ? 为等比数列,首项 b1 和公比 q 满

? 3n2 ? 1 ? 足 lim ? ? qn ? b1 ? ? ?5 , n ?? ? n ?1 ?
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 cn

?an ?,?bn ? 的通项公式;

3 ? an ? 3? ? bn ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 ? ? an ? 2n? ? 4Tn 对任意 4 n ? N ? 恒成立,求实数 ? 的最大值。 【答案】 (Ⅰ)当 n=1 时, a1 ? S1 ? 5 . ?
-6-

当 n≥2 时, an ∴数列

? S n ? S n ?1 ? n 2 ? 4n ? ? n ? 1? ? 4 ? n ? 1? ? 2n ? 3 ,
2

验证 n ? 1 时也成立.

?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 3
?3 ? q ? 0, (3 ? q)n2 ? (q ? b1 )n ? 1 ? b1 3n2 ? 1 ? qn ? b1 ) ? lim ? ?5 ? ? n ?? n ?1 n ?1 ?q ? b1 ? 5,

∵ lim(
n ??

∴?

3 ? an ? 3? bn ? n ? 3n 4 ∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn
(Ⅱ)∵ cn

?q ? 3 n ?1 ,∴数列 ?bn ? 的通项公式为: bn ? 2 ? 3 ?b1 ? 2,

?

? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ? ? n ? 3n ……………………① 3?Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n?1 ······ ②
由①-②得: ?2 ? Tn

? 3 ? 32 ? 33 ? ?? 3n ? n ? 3n?1

3(3n ? 1) (1 ? 2n) ? 3n ?1 ? 3 n ?1 ? ? n?3 ? 3 ?1 2 n ?1 (2n ? 1) ? 3 ? 3 ∴ Tn ? 4 不等式 ? ? an ? 2n? ? 4Tn ,可化为 ? ? ? 2n ?1? 3n ? 1………(*)
设 故当 n ? 1 时,

f ? n? ? ? 2n ?1? 3n ?1 ? 6n2 ? 3n ?1,易知,函数 f ? n ? 在 ? n ? N ? ? 上单调递增, f ? n ? 取得最小值为 4,

∴由题意可知 :不等式(*)对一切 n∈N*恒成立,只需 ? ? 4 . ∴实数λ 的最大值为 4. 22.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 Sn , 若S3 (I)求 {an } 的通项公式; (II)记 bn ?

? 12, 且2a1, a2 ,1 ? a3 成等比数列.

1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

2 ?(a1 ? d )2 ? 2a1 (1 ? a1 ? 2d ) ?a2 ? 2a1 (1 ? a3 ) ? 【答案】 (I)由题意,得 ? 即? ?a1 ? a2 ? a3 ? 12 ? ?a1 ? d ? 4

解之得

d ? ?4(舍去),d= 3 , a1 ? 1

?an ? 3n ? 2
(2)由(1)得

bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1
-7-

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 n ? (1 ? )? 3 3n ? 1 3n ? 1 n 所以 Tn ? 3n ? 1

-8-


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