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三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 专题12概率与统计解析版 Word版含解析


三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 第十二章
一、选择题 1.
【2016 高考新课标 1 卷】某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间

概率与统计

到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( ) 1 (B)2 2 (C)3 3 (D)4

1 (A)3 【答案】B

考点:几何概型 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的 测度有:长度、面积、体积等.

2.【2014 高考广东卷.理.6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所
示, 为了了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查, 则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
近视率 /%

小学生 3500名

高中生 2000名

50 30

初中生 4500名 图1

10 O 小学 初中 图2 高中 年级

A. 200 , 20 D. 100 , 10

B. 100 , 20

C. 200 , 10

【答案】A 【解析】由题意知,样本容量为 ?3500 ? 4500 ? 2000? ? 2% ? 200 ,其中高中生人数为

2000 ? 2% ? 40 ,
高中生的近视人数为 40 ? 50% ? 20 ,故选 A. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图,属于中等题. 【名师点晴】 本题主要考查的是分层抽样和统计图, 属于中等题. 解题时要抓住关键字眼 “样 本容量” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是分层抽样,即

抽取比例 ?

样本容量 . 总体容量

3.

【2016 高考新课标 3 理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中 月平均最高气温

和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15?C , B 点表示四月的 平均最低气温约为 5?C .下面叙述不正确的是( )

(A)各月的平均最低气温都在 0?C 以上 大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 【答案】D

(B)七月的平均温差比一月的平均温差

(D)平均气温高于 20?C 的月份有 5 个

考点:1、平均数;2、统计图. 【易错警示】解答本题时易错可能有两种: (1)对图形中的线条认识不明确,不知所措,只 觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法; (2)估计平均温差时易出现错误,错 选 B.

4.【2015 高考广东,理 4】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5
个红球。从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( A.1 【答案】 B .
2 1 1 【解析】 从袋中任取 2 个球共有 C15 其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C10 ? 105 种, C5 ? 50 种,



B.

11 21

C.

10 21

D.

5 21

所以从袋中任取的 2 个球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 【考点定位】排列组合,古典概率.

50 10 = ,故选 B . 105 21

【名师点睛】本题主要考查排列组合,古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能 力, 解答此题关键在于理解所取 2 球恰好 1 个白球 1 个红球即是分步在白球和红球各取 1 个球 的组合,属于容易题.

5.

【 2014 湖南 2】对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、

系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为

p1, p2 , p3 ,则(
A. p1 ? p2 ? p3

) B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D.

p1 ? p2 ? p3
【答案】D 【解析】 根据抽样调查的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被 抽到的概率相等,即 p1 ? p2 ? p3 ,故选 D. 【考点定位】抽样调查 【名师点睛】本题主要考查了简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,解决问题的关键是根据抽 样的原理进行具体分析求得对应概率的关系,属于基础题目.

6.

【2016 高考山东理数】某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成

了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,

20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这 200 名学生中每周的 自习时间不少于 22.5 小时的人数是( (A)56 (B)60 ) (D)140

(C)120

【答案】D

考点:频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图,是一道基础题目.从历年高考题目看,图表题 已是屡见不鲜,作为一道应用题,考查考生的视图、用图能力,以及应用数学解决实际问题 的能力.
2 7.【2015 高考山东, 理 8】 已知某批零件的长度误差 (单位: 毫米) 服从正态分布 N ? 0, 3 ? ,

从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(
2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N ? , ?



?

?

,则 P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 68.26% ,

) P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 95.44% 。 (A)4.56% 【答案】B (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74%

【解析】用表示 ? 零件的长度,根据正态分布的性质得:

P ?3 ? ? ? 6? ?
B.

1 0.9544 ? 0.6826 P ? ?6 ? ? ? 6 ? ? P ? ?3 ? ? ? 3? ? ? ? 0.1359 , 故选 ? ? ? 2 2

【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质. 【名师点睛】 本题考查了正态分布的有关概念与运算, 重点考查了正态密度曲线的性质以及 如何利用正态密度曲线求概率, 意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算 能力.

8. 【2014 山东.理 7】 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志
愿者的舒张压数据 (单位: kPa) 的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组, ? ? ? ? ? ? ,第五组,右图是根据试验数据 制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则 第三组中有疗效的人数为( )

A.6

B.8

C.12

D.18

【答案】 C 【解析】由图知,样本总数为 N ?

6? x ? 0.36,x ? 12,故选 C . 50

20 ? 50. 设第三组中有疗效的人数为 x ,则 0.16 ? 0.24

【名师点睛】本题考查频率分布直方图及频率组距等概念,解答本题的关键,是理解概念, 细心计算. 本题属于基础题,在考查概念的同时,考查考生识图用图的能力,是近几年高考常见题型.

9. 【2016 高考新课标 2 理数】从区间 ?0,1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x2 ,?,xn ,y1 ,y2 ,?,
yn ,构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,?, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共
有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似值为

(A) 【答案】C 【解析】

4n m

(B)

2n m

(C)

4m n

(D)

2m n

试题分析:利用几何概型,圆形的面积和正方形的面积比为

S圆 S正方形

?

? R2
4R
2

?

m ,所以 n

??

4m .选 C. n

考点: 几何概型. 【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据 题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.

10.

【2015 高考陕西,理 2】某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其

性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) B. 137 C. 123 D. 93

A. 167

【答案】B 【解析】该校女老师的人数是 110 ? 70% ? 150 ? ?1 ? 60%? ? 137 ,故选 B. 【考点定位】扇形图. 【名师点晴】 本题主要考查的是扇形图, 属于容易题. 解题时一定要抓住重要字眼 “女教师” , 否则很容易出现错误. 扇形统计图是用整个圆表示总数, 用圆内各个扇形的大小表示各部分 数量占总数的百分数.通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系.

11.

【2016 年高考北京理数】袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙

是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就 将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 () A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【答案】C

考点:概率统计分析. 【名师点睛】本题将小球与概率知识结合,创新味十足,是能力立意的好题.如果所求事件 对应的基本事件有多种可能,那么一般我们通过逐一列举计数,再求概率,此题即是如此. 列举的关键是要有序(有规律),从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.

12.
1 5

【2014 高考陕西版理第 6 题】从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点, )

则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为(

A.

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【答案】 C 【解析】
2 试题分析: 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中, 任取 2 个点, 共有 C5 ? 10 条线段, A , 2 B , C , D 四点中任意 2 点的连线段都不小于该正方形边长,共有 C4 ? 6 ,所以这 2 个点

的距离不小于该正方形边长的概率 P ?
A O D

6 3 ? ,故选 C 10 5

B

C

考点:古典概型及其概率计算公式. 【名师点晴】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.,属于中档题.解题时要准确 理解题意由“5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长” .利用排列 组合有关知识, 正确得到基本事件数和所研究事件所包含事件数. 从而得到所求事件的概率

13.

【2014 高考陕西版理第 9 题】设样本数据 x1 , x2 ,?, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,

若 yi ? xi ? a( a 为非零常数, i ? 1, 2,?,10 ) , 则 y1 , y2, ? y10 的均值和方差分别为 ( (A) 1+a, 4 【答案】 A 【解析】 试题分析:由题得: x1 ? x2 ? ? ? x10 ? 10 ?1 ? 10 ; (B) 1 ? a, 4 ? a (C) 1, 4 (D) 1, 4+a



( x1 ?1)2 ? ( x2 ?1)2 ? ?? ( x10 ?1)2 ? 10 ? 4 ? 40 y1, y2, ? y10 的均值和方差分别为:
均值 y ?

y1 ? y2 ? ??? ? y10 10 ( x ? a) ? ( x2 ? a) ? ??? ? ( x10 ? a) ( x1 ? x2 ? ??? ? x10 ) ? 10a 10 ? 10a ? 1 ? ? ? 1? a 10 10 10

方差 ?

( y1 ? y)2 ? ( y2 ? y)2 ? ??? ? ( y10 ? y) 2 10
[( x1 ? a) ? (1 ? a)]2 ? [( x2 ? a) ? (1 ? a)]2 ? ??? ? [( x10 ? a) ? (1 ? a)]2 10 ( x1 ? 1)2 ? ( x2 ? 1)2 ? ? ? ( x10 ? 1)2 40 ? ?4 10 10

?

?
故选 A

考点:均值和方差. 【名师点晴】本题主要考查的是样本的均值和方差等知识,属于中档题;解题时可以根据均 值和方差的定义去计算, 也可以直接利用已知的结论或公式得到结果, 利用定义时运算量大, 也容易出现不必要的错误。

14.

【2015 高考陕西,理 11】设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R) ,若 | z |? 1 ,则 y ? x 的 ) B.

概率为( A.

3 1 ? 4 2? 1 1 D. ? 2 ?
【答案】B 【解析】 z ? ( x ? 1) ? yi ?| z |?

1 1 ? 4 2?

C.

1 1 ? 2 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

如图可求得 A(1,1) , B(1, 0) ,阴影面积等于 ? ?1 ?
2

1 4

1 ? 1 ? 1? 1 ? ? 2 4 2

1 1 1 若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率是 4 2 ,故选 B. ? ? 2 ? ?1 4 2? ?
【考点定位】1、复数的模;2、几何概型. 【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型,属于中档题.解几何概型的试题,一 般先求出实验的基本事件构成的区域长度 (面积或体积) , 再求出事件 ? 构成的区域长度 (面 积或体积) ,最后代入几何概型的概率公式即可.解本题需要掌握的知识点是复数的模和几 何概型的概率公式,即若 z ? a ? bi ( a 、 b ? R ) ,则 z ? 式 ? ? ?? ?
构成事件?的区域长度 ? 面积或体积 ?

?

a 2 ? b 2 ,几何概型的概率公

试验的全部结果所构成的区域长度 ? 面积或体积 ?



15.

【2014 新课标,理 5】某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率

是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质 量为优良的概率是( A. 0.8 【答案】A 【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良” ,B=“随后一天的空气质量为优良” ,则 B. 0.75 ) C. 0.6 D. 0.45

P( B | A) ?

P( A ? B) 0.6 ? ? 0.8 ,故选 A. P( A) 0.75

【考点定位】条件概率. 【名师点睛】本题主要考查了条件概率公式,本题属于基础题,解决本题的关健在于理解事 件之间的关系,注意题目是求的一个条件概率.

16. 【2015 高考新课标 2, 理 3】 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 (单
位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年 份负相关,故选 D. 【考点定位】正、负相关. 【名师点睛】本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关,利用增长趋势或下降趋势理解 正负相关的概念是解题关键,属于基础题.

17.
1 8

【2014 课标Ⅰ,理 5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 )

周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( A. B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

【答案】D

【考点定位】1、排列和组合;2、古典概型的概率计算公式. 【名师点睛】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断 该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事 件的总数.

18.【2015 高考新课标 1,理 4】投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试 的概率为( ) (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(A)0.648 【答案】A

2 【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 =0.648,

故选 A. 【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 【名师点睛】解答本题时,先想到所求事件是恰好中 3 次与恰好中 2 次两个互斥事件的和, 而这两个事件又是实验 3 次恰好分别发生 3 次和 2 次的独立重复试验, 本题很好考查了学生 对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用, 是基础题, 正确分析概率类型、 灵活运用概率公式是解本题的关键.

19.【2014 年.浙江卷.理 9】.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个
篮球 ? m ? 3, n ? 3? ,从乙盒中随机抽取 i ?i ? 1,2? 个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?
i

?i ? 1,2? ;

(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi ? i ? 1, 2? . 则 A. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? C. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? 答案:C 解析: p1 ? B. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? D. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ?

m n 1 2m ? n , ? ? ? m ? n m ? n 2 2 ? m ? n?

p2 ? ?

m ? m ? 1? n ? n ? 1? mn 2 1 ? ? ? ? ? m ? n ?? m ? n ?1? ? m ? n ?? m ? n ?1? 3 ? m ? n ?? m ? n ?1? 3

3m2 ? 3m ? 2mn ? n2 ? n , 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1?

2 2 2m ? n 3m 2 ? 3m ? 2mn ? n 2 ? n 3 ? 2m ? n ?? m ? n ? 1? ? 2 ? 3m ? 3m ? 2mn ? n ? n ? p1 ? p2 ? ? ? 2 ? m ? n? 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1? 6 ? m ? n ?? m ? n ? 1?

?

5mn ? n ? n ? 1? ? 0 ,故 p1 ? p2 , 6 ? m ? n ?? m ? n ? 1?

1? 2m ? n 2m ? n ? n , E ??1 ? ? 0 ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? m ? n? 2 ? m ? n? ? m?n 2?
? ? 3m 2 ? 3m ? 2mn ? n 2 ? n ? n ? n ? 1? mn 2 1? E ?? 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? m ? n ?? m ? n ? 1? 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1? 3 ? ? 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1? ? ? ? ? ? ?

?

3m2 ? 3m ? 2mn ? n2 ? n ,由上面比较可知 E ??1 ? ? E ??2 ? ,故选C 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1?

考点:独立事件的概率,数学期望. 【名师点睛】求离散型随机变量均值的步骤:(1)理解随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得 的全部值;(2)求 X 的每个值的概率;(3)写出 X 的分布列;(4)由均值定义求出 E(X).利用均 值、方差进行决策:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两 个随机变量取值的水平可见分晓, 由此可对实际问题作出决策判断; 若两随机变量均值相同 或相差不大, 则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度, 进而进 行决策. 【名师点睛】本题考查了茎叶图、中位数、平均数等概念及公式,属于基础题,注意计算的 准确性.

20.

【2014 高考重庆理第 3 题】已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 )

x ? 3 , y ? 3.5 ,则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是(

A.? y ? 0.4x ? 2.3 C.? y ? ?2x ? 9.5
【答案】A 【解析】

B.? y ? 2x ? 2.4 C.? y ? ?0.3x ? 4.4

试题分析:因为变量与正相关,所以排除选项,又因为回归直线必过样本中心点 ? 3,3.5? , 代入检验知,只有直线 y ? 0.4 x ? 2.3 过点 ? 3,3.5? ,故选 A. 考点:1、变量相关性的概念;2、回归直线. 【名师点睛】本题考查了两个变量间的相关关系,正相关,回归直线的性质,本题属于基础 题,利用回归直线方程必过样本中心点,又知两相关变量是正相关关系即可作答.

21.

【2015 高考重庆,理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温( C )数据的茎叶图如下:

o

08 12 20 31

9 5 8 0 3 3 8 2
) B、20 C、21.5 D、23

则这组数据的中位数是( A、19 【答案】B.

【解析】从茎叶图知所有数据为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间 两个数为 20,20,故中位数为 20,选 B.. 【考点定位】本题考查茎叶图的认识,考查中位数的概念. 【名师点晴】本题通过考查茎叶图的知识,考查样本数据的数字特征,考查学生的数据处理 能力.

22.【2015 高考安徽,理 6】若样本数据 x1 , x2 , ??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2x1 ?1 ,
2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1的标准 差为(
(A) 8 (B) 15 ) (C ) 16 (D)

32
【答案】C 【解析】设样本数据 x1 , x 2 ,??? , x10 的标准差为 DX ,则 DX ? 8 ,即方差 DX ? 64 , 而数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1的方差 D(2 X ?1) ? 2 DX ? 2 ? 64 ,所以其
2 2

标准差为 22 ? 64 ? 16 .故选 C. 【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用. 【名师点睛】已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y ? aX ? b 的均值、方差和 标准差,可直接用 X 的均值、方差的性质求解.若随机变量 X 的均值 EX 、方差 DX 、
2 标准差 DX ,则数 Y ? aX ? b 的均值 aEX ? b 、方差 a DX 、标准差 a DX .

23.

【2014 湖北卷 4】根据如下样本数据

x

3 4.0

4 2.5 )

5
? 0.5

6 0.5

7
? 2.0

8
? 3.0

y

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y

A. a ? 0 , b ? 0 【答案】B 【解析】

B. a ? 0 , b ? 0

C. a ? 0 , b ? 0

D. a ? 0 , b ? 0

试题分析:依题意,画散点图知,两个变量负相关,所以 b ? 0 , a ? 0 .选 B.

考点:已知样本数判断线性回归方程中的 b 与 a 的符号,容易题. 【名师点睛】 以散点表格为载体, 重点考查线性回归方程, 其出题角度新颖别致, 独居匠心, 充分体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性, 能较好的考查学生准确作图能力 和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.

24.

【2015 高考湖北,理 2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓

收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这 批米内夹谷约为( A.134 石 【答案】B 【解析】依题意,这批米内夹谷约为 【考点定位】用样本估计总体. 【名师点睛】 《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种.该书内 容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的 用样本估计总体问题. ) B.169 石 C.338 石 D.1365 石

28 ?1534 ? 169 石,选 B. 254

25. 【2015 高考湖北,理 4】设 X ? N (?1 ,
线如图所示.下列结论中正确的是( A. P(Y ? ?2 ) ? P(Y ? ?1 ) C. 对任意正数 t ,P( X ? t ) ? P(Y ? t ) )

2 ?12 ) , Y ? N (?2 , ? 2 ) ,这两个正态分布密度曲

B. P ( X ? ? 2 ) ? P ( X ? ? 1 ) D. 对任意正数 t ,P( X ? t ) ? P(Y ? t )

【答案】C

【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质 ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称. ③曲线在 x ? ? 处达到峰值

1 . ? 2?

④曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤当 ? 一定时,曲线随着 ? 的变化而沿 x 轴平移,如图甲所示

⑥μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ 越 小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中.如图乙所示.

26.

【2015 高考湖北,理 7】在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ?
1 1 ”的概率, p 3 为事件“ xy ? ”的概率,则 ( 2 2

1 ” 2

的概率, p 2 为事件“ | x ? y |? A. p1 ? p2 ? p3 C. p3 ? p1 ? p2 【答案】B



B. p2 ? p3 ? p1 D. p3 ? p2 ? p1

【解析】因为 x, y ? [0,1] ,对事件“ x ? y ? 对事件“ | x ? y |? 对为事件“ xy ?

1 ”,如图(1)阴影部分 S 1 , 2

1 ”,如图(2)阴影部分 S 2 , 2

1 ”,如图(3)阴影部分 S 3 , 2

由图知,阴影部分的面积从下到大依次是 S2 ? S3 ? S1 ,正方形的面积为 1?1 ? 1, 根据几何概型公式可得 p2 ? p3 ? p1 .

(1)

(2)

(3)

【考点定位】几何概型. 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而 与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概 型的求解方法.

27.【2015

高考福建,理 4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查

了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x (万 8.2 元) 支出 y (万 6.2 元) 7.5 8.0 8.5 9.8 8.6 10.0 11.3 11.9

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
户收入为 15 万元家庭年支出为( A. 11.4 万元 万元 【答案】B 【 解 析 】 由 已 知 得 B. 11.8 万元 ) C. 12.0 万元 D. 12.2

x?

8.2 ? 8.6 ? 10.0 ? 11.3 ? 11.9 ? 10 ( 万 元 ) , 5

y?

6.2 ? 7.5 ? 8.0 ? 8.5 ? 9.8 ? ? 8 ? 0.76 ?10 ? 0.4 ,所以回归直线方程 ? 8 (万元) ,故 a 5

? ? 0.76 x ? 0.4 , ? ? 0.76 ?15 ? 0.4 ? 11.8(万 为y 当社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 y
元) ,故选 B. 【考点定位】线性回归方程 【名师点睛】 本题考查线性回归方程, 要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意 义,属于基础题,要注意计算的准确性. D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

28 .(2013 福建,理 4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6
组: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] 加以统计 , 得到如图所示的频率分布直方 图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( ).

A.588 【答案】B

B.480

C.450

D.120

【解析】由频率分布直方图知 40~60 分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少于 60 分的学生人数为 600×(1-0.2)=480. 【名师点睛】本题是基础题,主要考查频率分布直方图及简单数据处理能力和计算问题,在这 里特别提醒学生注意: 频率分布直方图的纵坐标不是频率,而是频率/组距,每个小矩形的面积 才是相对应的频率,这一点容易出错.

29.

【2015 湖南理 2】在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲 )

线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( A.2386 B.2718 C.3413 D.4772

2 附:若 X ? N (? , ? ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544

【答案】C. 【解析】 试题分析:根据正态分布的性质, P(0 ? x ? 1) ? 【考点定位】1.正态分布;2.几何概型. 【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点,属于容易题,结合参考材料中给 出的数据,结 合正态分布曲线的对称性,再利用几何概型即可求解,在复习过程中,亦应关注正态分布等 相对冷门的知 识点的基本概念.

1 P(?1 ? x ? 1) ? 0.34 ,故选 C. 2

30.


【2015 陕西理 11】设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R) ,若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率为 ) B.

3 1 ? 4 2? 1 1 D. ? 2 ?
A. 【答案】B 【解析】 z ? ( x ? 1) ? yi ?| z |?

1 1 ? 4 2?

C.

1 1 ? 2 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

2 如图可求得 A(1,1) , B(1, 0) ,阴影面积等于 ? ?1 ?

1 4

1 ? 1 ? 1? 1 ? ? 2 4 2

1 1 1 若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率是 4 2 ,故选 B. ? ? 2 ? ?1 4 2? ?
【考点定位】1、复数的模;2、几何概型.

?

【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型,属于中档题.解几何概型的试题,一 般先求出实验的基本事件构成的区域长度 (面积或体积) , 再求出事件 ? 构成的区域长度 (面 积或体积) ,最后代入几何概型的概率公式即可.解本题需要掌握的知识点是复数的模和几 何概型的概率公式,即若 z ? a ? bi ( a 、 b ? R ) ,则 z ? 式 ? ? ?? ?
构成事件?的区域长度 ? 面积或体积 ?

a 2 ? b 2 ,几何概型的概率公

试验的全部结果所构成的区域长度 ? 面积或体积 ?



二、填空题 1.
【2016 高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5, ▲ .

6 个点的正方体玩具) 先后抛掷 2 次, 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 【答案】 . 【解析】点数小于 10 的基本事件共有 30 种,所以所求概率为 考点:古典概型概率

5 6

30 5 ? . 36 6

【名师点睛】概率问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查,属于简单题.江 苏对古典概型概率考查,注重事件本身的理解,淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的 含义,然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题,而当正面问题比较复杂时,往往采取计 数其对立事件.

2.

【2016 年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上 .

时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 【答案】 【解析】

3 2

考点:离散型随机变量的均值

【名师点睛】本题考查随机变量的均值(期望) ,根据期望公式,首先求出随机变量的所有 可能取值 x1 , x2 ,?, xn ,再求得对应的概率 P i (i ? 1, 2,?, n) ,则均值为

?xP.
i ?1 i i

n

3. 【2014 江苏,理 4】从 1,2,3,6 这四个数中一次随机地取 2 个数,则所取两个数的乘积
为 6 的概率为 【答案】 .

1 3

2 【解析】 从 1, 2,3, 6 这 4 个数中任取 2 个数共有 C4 其中乘积为 6 的有 1, 6 和 2, 3 ? 6 种取法,

两种取法,因此所求概率为 P ? 【考点定位】古典概型概率

2 1 ? . 6 3

【名师点晴】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数,计算的方法有:(1)列举法; (2)列表法;(3)利用树状图列举.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解 法, 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和, 运用互斥事件的求和公式计 算.二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P ? A? ? 1 ? P A ,即运用逆 向思维(正难则反),特别是“至多”,“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.

? ?

4.

【2014 江苏,理 6】某种树木的底部周长的取值范围是 ?90,130? ,它的频率分布直方 株树木的底部周长小于 100 cm..

图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有

【答案】24 【 解 析 】 由 题 意 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 , 底 部 周 长 小 于 100cm 的 株 数 为

(0.015 ? 0.025) ?10 ? 60 ? 24 .
【考点定位】频率分布直方图. 频率 【名师点晴】在频率分布直方图中,纵轴表示组距,数据落在各小组内的频率用各小长方形

的面积表示,各小长方形的面积总和等于 1. 在频率分布直方图中:(1)最高的小长方形底 边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数是频率分布直方图的“重 心” ,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

5. 【2015 江苏高考, 2】 已知一组数据 4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为________.
【答案】6 【解析】 x ?

4?6?5?8?7?6 ?6 6

【考点定位】平均数 【名师点晴】样本数据的算术平均数,即 x ? 清晰,类似概念有样本方差 s ?
2

1 (x1 +x 2 +...+x n ) .解答此类问题关键为概念 n

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ... ? ( xn ? x) 2 ] ,标准差 n

s?

1 n 是样本容量,x 是 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ... ? ( xn ? x)2 ] .其中 xn 是样本数据的第 n 项, n

平均数.将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的 平均数)叫做这组数据的中位数.

6.

【2015 江苏高考,5】袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2

只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________.

5 【答案】 . 6
【解析】从 4 只球中一次随机摸出 2 只,共有 6 种摸法,其中两只球颜色相同的只有 1 种,

5 不同的共有 5 种,所以其概率为 . 6
【考点定位】古典概型概率 【名师点晴】求解互斥事件、对立事件的概率问题时,一要先利用条件判断所给的事件是互 斥事件,还是对立事件;二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率;三要准 确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率.

7. 【2014 天津,理 9】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用
分层抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该 校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科 生中抽取_______名学生.

【答案】60. 【解析】 试题分析:应从一年级抽取 300 ?

4 4+ 5+ 5+ 6

60 名.

考点:等概型抽样中的分层抽样方法. 【名师点睛】本题考查分层抽样相关知识,本题属于基础题,抽样方法包括简单随机抽样、 系统抽样、分层抽样三种,分层抽样就是就是按着各层次所占比例抽取样本,抽样方法在高 考题中偶有出现,比较简单,容易得分,深受考生欢迎.

8.

【2015 高考广东,理 13】已知随机变量 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,若 E ? X ? ? 30 , .

D ? X ? ? 20 ,则 p ?
【答案】

1 . 3 1 1 , 故应填入 . 3 3

【解析】 依题可得 E ? X ? ? np ? 30 且 D ? X ? ? np ?1? p ? ? 20 , 解得 p ? 【考点定位】二项分布的均值和方差应用.

【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力,属于容易题,解答 此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式 E ? X ? ? np , D ? X ? ? np ?1 ? p ? 并运用 其解答实际问题.

9.

【 2016 高 考 江 苏 卷 】 已 知 一 组 数 据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 , 则 该 组 数 据 的 方 差 是

________▲________. 【答案】0.1 【解析】 试题分析:这组数据的平均数为 (4.7 ? 4.8 ? 5.1 ? 5.4 ? 5.5) ? 5.1 ,

1 5

1 ?S2 ? ? (4.7 ? 5.1) 2 ? (4.8 ? 5.1) 2 ? (5.1 ? 5.1)2 ? (5.4 ? 5.1)2 ? (5.5 ? 5.1)2 ? 故答 ? ? ? 0.1 . 5
案应填:0.1, 考点:方差 【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计,重点考查了方差的计算,本题有一定的计算 量,属于简单题.认真梳理统计学的基础理论,特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方 图、方差等,针对训练近几年的江苏高考类似考题,直观了解本考点的考查方式,强化相关

计算能力.

10.

【2016 高考山东理数】在 [- 1,1] 上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆 .

( x - 5)2 + y 2 = 9 相交”发生的概率为

【答案】

3 4

考点:1.直线与圆的位置关系;2. 几何概型. 【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强,具有“无图考图”的显著特点, 几何概型概率的计算问题,涉及圆心距的计算,与弦长相关的问题,往往要关注“圆的特征 直角三角形” ,本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.

11. 【2014 年.浙江卷.理 12】随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P ?? ? 0 ? ?
则 D ?? ? ? ________. 答案:

1 , E ? ? ? ? 1, 5

2 5 3 1 1? ? ? 1? p ? 2 ? ?1 ? p ? ? ? 1,解得 p ? , 5 5 5? ?

解析:设 ? ? 1 时的概率为 p ,则 E ?? ? ? 0 ? 故 D ?? ? ? ? 0 ? 1? ?
2

1 3 1 2 2 2 ? ?1 ? 1? ? ? ? 2 ? 1? ? ? 5 5 5 5

考点:方差. 【名师点睛】 本题主要考查相互独立事件的概率公式的应用, 解决问题的关键是根据所给条 件求解对应事件的概率,然后求方差即可;求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)利 用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事 件入手计算

12.

【2016 高考上海理数】某次体检,6 位同学的身高(单位:米)分别为

1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是_________(米). 【答案】1.76

【解析】试题分析: 将这 6 位同学的身高按照从矮到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数 的中位数是 1.75 与 1.77 的平均数,显然为 1.76. 考点:中位数的概念. 【名师点睛】本题主要考查中位数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,涉及统计 的题目,往往不难,主要考查考生的视图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力.

13.

【2014 上海,理 10】为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天 (结构用最简分数表

进行紧急疏散演练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率 是 示). 【答案】

1 15

3 【解析】任意选择 3 天共有 C10 ? 120 种方法,其中 3 天是连续 3 天的选法有 8 种,故所求

概率为 P ?

8 1 ? . 120 15

【考点】古典概型. 【名师点睛】求解排列应用题的主要方法 直接法 优先法 捆绑法 插空法 先整体 后局部 定序问题 除法处理 间接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元 素排列的空档中 “小集团”排列问题中先整体后局部

对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 正难则反,等价转化的方法

14.

【2014 上海,理 13】某游戏的得分为 1,2,3,4,5,随机变量 ? 表示小白玩游戏的得分.若 .

?(? ) =4.2,则小白得 5 分的概率至少为
【答案】 0.2

【考点】随机变量的均值(数学期望) ,排序不等式. 【名师点睛】求离散型随机变量均值的步骤 (1)理解随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值; (2)求 X 的每个值的概率; (3)写出 X 的分布列; (4)由均值定义求出 E(X).

15.【2014 福建,理 14】如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒
黄豆,则他落到阴影部分的概率为______.

y
e

y=ex

1 O 1
e

y=lnx

x

【答案】 【解析】

2 e2

试题分析:由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同.

S ? 2? (e ? e x )dx ? 2(ex ? e x ) 1 0 ? 2 .所以落到阴影部分的概率为 P ?
0

1

2 . e2

考点:1.几何概型.2.定积分. 【名师点睛】本题主要考查几何概型及定积分,几何概型试题多以客观题形式出现,难度不 大.求与面积有关的几何概型的概率计算方法是把题中所表示的几何模型转化为封闭图形的 面积,然后求解,注意曲边多边形的面积常通过定积分来求.

16.【2015 高考福建,理 13】如图,点 A
数 f ? x? ? x 于
2

的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函

, 若 在 矩 形 ABCD 内 随 机 取 一 点 , 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 等 .

【答案】

5 12

【解析】由已知得阴影部分面积为 4 ?

?

2

1

x 2 dx ? 4 ?

7 5 ? .所以此点取自阴影部分的概率 3 3

5 5 等于 3 ? . 4 12
【考点定位】几何概型. 【名师点睛】本题考查几何概型,当实验结果由等可能的无限多个结果组成时,利用古典概 型求概率显然是不可能的, 可以将所求概率转化为长度的比值 (一个变量) 、 面积的比值 (两 个变量) 、体积的比值(三个变量或根据实际意义)来求,属于中档题.

17.【2014

辽宁理 14】正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物

线 y ? ? x2 和 y ? x2 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴 影区域的概率是 .

【答案】 【解析】

2 3

试题分析:有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴影区域的 概率 P ?

2? 1 ? x dx
-1

1

2

2

2

?

2 . 3

考点:1.几何概型 ;2.定积分. 【名师点睛】本题考查几何概型、定积分的应用,解答此类题的关键是理解题意,准确确定 几何空间的度量,应用公式计算. 本题是一道小综合题,属于基础题,较全面地考查了几何概型、定积分等基础知识,同时考 查考生的计算能力及应用数学知识,解决实际问题的能力.

18.

【2015 湖南理 12】在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶

图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为 1 ? 35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间 [139,151] 上的运动员人数是 .

【答案】 4 . 【解析】

] 的人数为 20 ,再由系统抽样的性质可知人数为 试题分析:由茎叶图可知,在区间 [139,151
20 ? 7 ? 4 人. 35

【考点定位】1.系统抽样;2.茎叶图. 【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念,属于容易题,高考对统计相关知识 的考查,重点 在于其相关的基本概念,如中位数,方差,极差,茎叶图,回归直线等,要求考生在复习时 注意对这些方 面的理解与记忆.

三、解答题 1.
【2015 江苏高考,23】 (本小题满分 10 分) 已知集合 X ? ? 1,2,3? , Yn ? ? 1,2,3,?, n?(n ? N * ) , S n ? (a, b) a整除b或b整除a,

?

a ? X , b ? Yn ?,令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素的个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f ( n) 的表达式,并用数学归纳法证明.

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 2 3 ? ? ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 【答案】 (1)13(2) f ? n ? ? ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? , n ? 6t ? 3 ? ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?
【解析】 试题分析: (1) 根据题意按 a 分类计数:a ? 1, b ? 1, 2,3, 4,5,6; a ? 2, b ? 1, 2, 4, 6; a ? 3, b ? 1,3, 6;
, b ?1 ,2,3 , ,? ; n a ? 2, b ?1 ,2,4, ,2 ?; k a ? 3 , b ?1 ,3 , ? ,3 ;(k k ?N ) 共 13 个(2)由(1)知 a ? 1
*



所以当 n ? 6 时, f ( n) 的表达式要按 2 ? 3 ? 6 除的余数进行分类,最后不难利用数学归纳法 进行证明 试题解析: (1) f ? 6? ? 13 .

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 3 ? ? 2 ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 (2)当 n ? 6 时, f ? n ? ? ? ( t ? ?? ) . n ? 1 n ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 3 ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?
下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 6 时, f ? 6 ? ? 6 ? 2 ?

6 6 ? ? 13 ,结论成立; 2 3

②假设 n ? k ( k ? 6 )时结论成立,那么 n ? k ? 1 时, Sk ?1 在 Sk 的基础上新增加的元素

在 ?1, k ? 1? , ? 2, k ? 1? , ? 3, k ? 1? 中产生,分以下情形讨论:

4)若 k ? 1 ? 6t ? 3 ,则 k ? 6t ? 2 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

k k ?2 ? ?2 2 3

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? k ? 1 ,结论成立;
2 3
k ?1 k ? ?2 2 3

5)若 k ? 1 ? 6t ? 4 ,则 k ? 6t ? 3 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ,结论成立; ? 2 3
k k ?1 ? ?1 2 3

6)若 k ? 1 ? 6t ? 5 ,则 k ? 6t ? 4 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 1 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? ? k ? 1? ? 2 ,结论成立.
2 3

综上所述,结论对满足 n ? 6 的自然数 n 均成立. 【考点定位】计数原理、数学归纳法 【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n ? k ,( k ? N ? ,k ? n0 )时,命题成立,证明当 n ? k ? 1 时,命题成立; ③由①②得出结论.

2.

【2016 高考新课标 1 卷】 (本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用

三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件 , 在购进机器时 , 可以额外购买这种零件作为备件 , 每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购 买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下 面柱状图:

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应选用 哪个? 【答案】 (I)见解析(II)19(III) n ? 19 【解析】 试题分析: (I)先确定 X 的取值分别为 16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求 概率,然后写出分布列; (II)通过频率大小进行比较; (III)分别求出 n=9,n=20 的期望,根据

n ? 19 时所需费用的期望值小于 n ? 20 时所需费用的期望值,应选 n ? 19 .
试题解析: (Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而

P( X ? 16) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ; P( X ? 17) ? 2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.16 ; P( X ? 18) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 ;

P( X ? 19) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.24 ; P( X ? 20) ? 2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ; P( X ? 21) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08 ; P( X ? 22) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 .
所以 X 的分布列为

X
P

16

17

18

19

20

21

22

0.04

0.16

0.24

0.24

0 .2

0.08

0.04

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 P( X ? 18) ? 0.44 , P( X ? 19) ? 0.68 ,故 n 的最小值为 19.

考点:概率与统计、随机变量的分布列 【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但 难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

3.

【2015 高考天津,理 16】 (本小题满分 13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比

赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙 协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6 ; 35

(II) 随机变量 X 的分布列为

X P
E?X ? ? 5 2

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

【解析】(I)由已知,有

P( A) ?
所以事件 A 发生的概率为

2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35

6 . 35

【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把 实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合, 体现了数学的实际应用价值与研究价 值,也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.

4.

【2016 高考新课标 2 理数】某险种的基本保费为 a (单位:元) ,继续购买该险种的投

保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保费 0 0.85 a 1 2 1.25 a 3 1.5 a 4 1.75 a

?5
2a

a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10

?5
0.05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 【答案】 (Ⅰ)0.55; (Ⅱ) ; (Ⅲ) 1.23 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ)一续保人本年度的保费高于基本保费,当且仅当一年内出险次数大于 3,由条件概率 公式求解; (Ⅲ)记续保人本年度的保费为 X ,求 X 的分布列,再根据期望公式求解.

(Ⅲ)记续保人本年度的保费为 X ,则 X 的分布列为

X
P
? 1.23a

0.85 a 0.30

a
0.15

1.25 a 0.20

1.5a 0.20

1.75 a 0.10

2a 0.05

EX ? 0.85a ? 0.30 ? a ? 0.15 ? 1.25a ? 0.20 ? 1.5a ? 0.20 ? 1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23 考点: 条件概率,随机变量的分布列、期望. 【名师点睛】条件概率的求法: P?AB? (1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)= ,求 P(B|A); P?A? (2)基本事件法:当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先 求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n?AB? n(AB),得 P(B|A)= . n?A? 求离散型随机变量均值的步骤:(1)理解随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值;(2) 求 X 的每个值的概率;(3)写出 X 的分布列;(4)由均值定义求出 E(X).

5. 【2014 天津,理 16】某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,
3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这

10 名同学中随机选取 3 名同学, 到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同) . (Ⅰ)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】 (Ⅰ)

49 ; (Ⅱ)随机变量 X 的分布列为 60
X
P
0 1 2 3

1 6

1 2

3 10

1 30

数学期望 E ( X ) =

6 . 5

试题解析: (Ⅰ)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A ,则

P ( A) =

1 C3 ?C72

3 C30 ?C7

C

3 10

=

49 49 ,∴选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为 . 60 60

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.

? P (x = k ) =

k 3- k C4 × C6 (k = 0,1, 2,3), \ 随机变量 X 的分布列为 3 C10

X P

0

1

2

3

1 6
1 6

随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ?

1 3 2 10 1 3 1 1? + 2 ? 3? 2 10 30

1 30 6 . 5

考点:1.古典概型及其概率计算公式;2.互斥事件;3.离散型随机变量的分布列与数学 期望. 【名师点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望问题.借助计数原理和排列组合知 识求概率,本题属于中档题,离散型随机变量分布列与数学期望问题,首先确定随机变量 X 的可取值,然后利用等可能事件概率公式求出相应的概率值,列出分布列,最后利用数学期

望共识求出期望值, 离散型随机变量分布列与数学期望问题为近几年高考必考问题, 有时也 会求方差,是高考热点.

6.

【2016 年高考四川理数】 (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家, 某市政府为了鼓励居民节约用水, 计划调整居民生活用

水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准 x (吨) 、一位居民的月用水量不超过 x 的部 分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨) ,将数据按照[0,0.5),[0.5,1),?,[4,4.5)分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.
频率 组距 0.52 0.40 a 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量(吨)

(I)求直方图中 a 的值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x (吨) ,估计 x 的值,并说 明理由. 【答案】 (Ⅰ) a ? 0.30 ; (Ⅱ)36000; (Ⅲ)2.9.

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布,可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12=36 000. (Ⅲ)因为前 6 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85, 而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85, 所以 2.5≤x<3. 由 0.3×(x–2.5)=0.85–0.73, 解得 x=2.9. 所以,估计月用水量标准为 2.9 吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 考点:频率分布直方图. 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识,考查学生 的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中, 第个小矩形面积就是相应的频率或概率, 所有小矩形面积之和为 1,这是解题的关键,也是识图的基础.

7.

【2014 高考北京理第 16 题】 (本小题满分 13 分)

李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立) :

场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5

投篮次数 22 15 12 23 24

命中次数 12 12 8 8 20

场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5

投篮次数 18 13 21 18 25

命中次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一 场不超过 0.6 的概率; (3)记 x 为表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这 场比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小(只需写出结论) 【答案】 (1)0.5; (2) 【解析】

13 ; (3) EX ? x . 25

试题分析: (1)根据表中数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中超过 0.6 的场次有 5 场,利 用古典概型公式求解; (2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率 超过 0.6” ,事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ,事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超 过 0.6”则 C ? AB ? AB ,事件 A 、 B 独立,利用独立事件、互斥事件的概率公式求解; (3)用公式分别计算 EX 、 x 再比较大小. 试题解析: (1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中超过 0.6 的场次有 5 场, 分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4, 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.

(3) EX ? x . 考点:概率的计算、数学期望,平均数,互斥事件的概率. 【名师点睛】本题考查概率与统计的有关知识,本题属于中等难度问题,一般第一步考 查概率,第二步求数学期望或方差,概率考查主要为五种基本概型,古典概型、几何概 型、 独立事件的概率、 互斥事件的概率、 独立重复实验, 部分省份也有时考查条件概率, 而第二步一般为列出离散型随机变量的概率分布列, 计算数学期望或方差, 要求熟练掌 握五种基本概型求概率的方法,计算数学期望时要准确.本题的第二步包含两个互斥事 件,即主场命中率超过 0.6(事件 A)客场命中率不超过 0.6(事件 B ) ,主场命中率不 超过 0.6(事件 A )客场命中率超过 0.6(事件 B) ;事件 A 与 B 独立,事件 A 和 B 独立, 而事件 AB 与事件 AB 为互斥关系,搞清事件之间的关系,正确使用概率公式,才能正 确解答.

8.

【2015 高考北京,理 16】 A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间

(单位:天)记录如下:

A 组:10,11,12,13,14,15,16
B 组:12,13,15,16,17,14, a
假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为 甲, B 组选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 【答案】 (1)

3 10 , (2) , (3) a ? 11 或 18 7 49

试题解析: (Ⅰ)甲有 7 种取法, 康复时间不少于 14 天的有 3 种取法, 所以概率 P ?

3 ; 7

(Ⅱ) 如果 a ? 25 ,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为甲, B 组选出的人 记为乙共有 49 种取法,甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下: (13,12) , (14, 12) , (14,13) , (15,12) , (15,13) ,(15,14),(16,12) (16,13),(16,15),(16,14) 有 10 种取法,所以概率 P ?

10 . 49

(Ⅲ)把 B 组数据调整为 a ,12,13,14,15,16,17,或 12,13,14,15,16,17,a , 可见当 a ? 11 或 a ? 18 时,与 A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明,但本 题不需要) 考点:1、古典概型;2、样本的方差

【名师点睛】本题考查古典概型和样本的方差,本题属于基础题,利用列举法准确列举事件 的种数,求出概率.根据方差反应样本波动的大小,求出未知量.

10.

【2016 年高考北京理数】 (本小题 13 分)

A、B、C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学 生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时) ; A班 B班 C班 6 6 3 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 8 10 9 11 10.5 12 12 13.5

(1)试估计 C 班的学生人数; (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人 记为乙, 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25 (单位:小时) ,这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ?1 ,表格中数据 的平均数记为 ?0 ,试判断 ?0 和 ?1 的大小, (结论不要求证明) 【答案】 (1)40; (2) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据图表判断 C 班人数,由分层抽样的抽样比计算 C 班的学生人数; (Ⅱ)根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件,由独立事件概率公 式求概率. (Ⅲ)根据平均数公式进行判断即可. 试题解析: (1)由题意知,抽出的 20 名学生中,来自 C 班的学生有 8 名,根据分层抽样方 法, C 班的学生人数估计为 100 ? 个人” , i ? 1,2,? ? ?,5 , 事件 C j 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” , j ? 1,2,? ? ?,8 , 由题意可知, P ( Ai ) ?

3 ; (3) ?1 ? ?0 . 8

8 ? 40 ; (2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 20

1 1 , i ? 1,2,? ? ?,5 ; P (C j ) ? , j ? 1,2,? ? ?,8 , 5 8 1 1 1 P( Ai C j ) ? P( Ai ) P(C j ) ? ? , i ? 1,2,? ? ?,5 , j ? 1,2,? ? ?,8 . 5 8 40

设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” ,由题意知,

E ? A1C1 ? A1C2 ? A2C1 ? A2C2 ? A2C3 ? A3C1 ? A3C2 ? A3C3 ? A4C1 ? A4C2 ? A4C3 ? A5C1 ? A5C2 ? A5C3 ? A5C4
因此

P( E) ? P( A1C1 ) ? P( A1C2 ) ? P( A2C1 ) ? P( A2C2 ) ? P( A2C3 ) ? P( A3C1 ) ? P( A3C2 ) ? P( A3C3 )
? P( A4C1 ) ? P( A4C2 ) ? P( A4C3 ) ? P( A5C1 ) ? P( A5C2 ) ? P( A5C3 ) ? P( A5C4 ) ? 15 ? 1 3 ? 40 8

(3)根据平均数计算公式即可知, ?1 ? ?0 . 考点:1.分层抽样;2.独立事件的概率;3.平均数 【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法:一是直接法,将所求事件的概率分解为一些 彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接法,先求此事件的对立事 件的概率,再用公式 P( A) ? 1 ? P( A) ,即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公 式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏 . 特别是对于含 “ 至 多”“至少”等字眼的题目,用第二种方法往往显得比较简便.

12.

【2014 高考广东卷.理.17】 (本小题满分 13 分)随机观测生产某种零件

的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:

30 . 42 . 41 . 36 . 44 . 40 . 37 . 37 . 25 . 45 . 29 . 43 . 31 . 36 . 49 . 34 . 33 . 43 . 38 . 42 . 32 . 34 . 46
. 39 . 36 ,根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率

?25,30?
?30,35? ?35,40? ? 40,45? ? 45,50?

3 5 8

0.12 0.20 0.32

n1 n2

f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1 . n2 . f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3) 根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间

?30,35? 的概率.

【答案】(1) n1 ? 7 , n2 ? 2 , f1 ? 0.28 , f 2 ? 0.08 ;(2)详见解析;(3) 0.5904 . 【解析】(1)由题意知 n1 ? 7 , n2 ? 2 ,? f1 ? (2)样本频率分布直方图为:
频率 0.064 0.056 组距

7 2 ? 0.28 , f 2 ? ? 0.08 ; 25 25

0.040

0.024 0.016

O

25

30

35

40

45

50 零件数

(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间 ? 30,35? 的概率 0.2 , 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间 ? 30,35? 的人数为 ? ,则 ? ~ B ? 4,0.2? ,

P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? 1 ? ?1 ? 0.2 ? ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904 ,
4

所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 ? 30,50? 的概率约为 0.5904 . 【考点定位】 本题考查频率分布直方图以及独立性重复试验, 考查频率分布直方图的绘制与 应用,以及解决相关事件概率的计算,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是频率分布直方图和二项分布,属于中等题.解题时一定要注 意频率分布直方图的纵轴是

频率 和抓住重要字眼“至少” ,否则很容易出现错误.解本题 组距 频数 , 频数 ? 频率 ? 样本容量 . 样本容量
2 和 3

需要掌握的知识点是频率分布直方图,即 频率 ?

13.【

2014 湖南 17】 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

3 ,现安排甲组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. 5
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获得 120 万元,若新产品 B 研发成功,预计企业可获得 利润 100 万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 【答案】(1)

13 15

(2)详见解析

试题解析: (1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件, 则事件 B 为新产品 A, B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为

2 3 , ,则 3 5

? 2? ? 3? 1 2 2 P ? B ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,再根据对立事件概率之间的概率公式可得 ? 3 ? ? 5 ? 3 5 15
P ? A? ? 1 ? P ? B ? ? 13 13 ,所以至少一种产品研发成功的概率为 . 15 15

(2)由题可得设该企业可获得利润为 ? ,则 ? 的取值有 0 , 120 ? 0 , 100 ? 0 , 120 ? 100 ,即

? ? 0,120,100, 220 ,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:
2 ? 3? 4 ? 2? ? 3? 2 P ?? ? 0 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ; P ?? ? 120 ? ? ? ?1 ? ? ? ; 3 ? 5 ? 15 ? 3 ? ? 5 ? 15
2 3 2 ? 2? 3 1 P ?? ? 100 ? ? ?1 ? ? ? ? ; P ?? ? 220 ? ? ? ? ; 3 5 5 ? 3? 5 5
所以 ? 的分布列如下:

?
P ?? ?

0

120

100

220

2 15

4 15

1 5

2 5

则数学期望 E? ? 0 ?

2 4 1 2 ? 120 ? ? 100 ? ? 220 ? ? 32 ? 20 ? 88 ? 140 . 15 15 5 5

【考点定位】分布列 数学期望 概率 【名师点睛】本题主要考查了对立事件的概率,分布列和数学期望,培养学生的计算能力, 也是近几年高考题目的常考的题型.解离散型随机变量的分布列的试题时一定要十分小心, 特别是列举随机变量取值的概率时,要注意按顺序列举,做到不重不漏,防止出现错误.

14.

.【2016 高考山东理数】 (本小题满分 12 分)

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人 都没猜对,则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是

3 2 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮 4 3

活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (I) “星队”至少猜对 3 个成语的概率; (Ⅱ) “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)找出“星队”至少猜对 3 个成语所包含的基本事件,由独立事件的概率公 式和互斥事件的概率加法公式求解; (Ⅱ)由题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得到 X 的分布列,根据期望公式求解. 试题解析: (Ⅰ)记事件 A:“甲第一轮猜对” ,记事件 B: “乙第一轮猜对” , 记事件 C: “甲第二轮猜对” ,记事件 D: “乙第二轮猜对” , 记事件 E: “ ‘星队’至少猜对 3 个成语”. 由题意, E ? ABCD ? ABCD ? ABCD ? ABCD ? ABCD. 由事件的独立性与互斥性,

2 23 (Ⅱ)分布列见解析, EX ? 3 6

P ? E ? ? P ? ABCD ? ? P ABCD ? P ABCD ? P ABCD ? P ABCD

?

? ?

? ?

? ?

?

? P ? A? P ? B ? P ? C ? P ? D ? ? P A P ? B ? P ?C ? P ? D ? ? P ? A? P B P ?C ? P ? D ? ? P ? A? P ? B ? P C P ? D ? ? P ? A? P ? B ? P ? C ? P ? D ?

? ?

? ?

? ?

3 2 3 2 ?1 2 3 2 3 1 3 2? = ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 4 3 ?4 3 4 3 4 3 4 3? , 2 ? . 3
所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为

2 . 3

(Ⅱ)由题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得

1 1 1 1 1 P ? X ? 0? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 144

5 ? 3 1 1 1 1 2 1 1 ? 10 , P ? X ? 1? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 4 3 4 3 4 3 ? 144 72
3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 25 P ? X ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144 3 2 1 1 1 1 3 2 1 P ? X ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 4 3 4 3 12

? 3 2 3 1 3 2 1 2 ? 60 5 , P ? X ? 4? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 4 3 4 3 4 3 4 3 ? 144 12
3 2 3 2 1 P ? X ? 6? ? ? ? ? ? . 4 3 4 3 4
可得随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4 6

1 5 25 1 5 1 144 144 12 12 4 72 1 5 25 1 5 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 6 ? ? 所以数学期望 EX ? 0 ? . 144 72 144 12 12 4 6
考点: 1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式; 2.随机变量的分布列和数学期望. 【名师点睛】 本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、 随机变量的分 布列和数学期望.解答本题,首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数, 利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难,能很好的考查考生数 学应用意识、基本运算求解能力等.

15.【2015 高考山东,理 19】若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十
位数字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不 能被 10 整除,得 ?1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . 【答案】 (I)有:125,135,145,235,245,345; (II)X 的分布列为 X 0 -1 1

P

2 3

1 14

11 42

EX ?

4 21

3 (II)由题意知,全部“三位递增烽”的个数为 C9 ? 84

随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此
3 2 1 2 11 C8 C4 2 1 ? ? , P ? X ? 1? ? 1 ? , P ? X ? 0? ? 3 ? P ? X ? ?1? ? 3 ? 14 3 42 C9 3 C9 14

所以 X 的分布列为 X P 0 -1 1

2 3 2 1 11 4 ? 1? ? 因此 EX ? 0 ? ? (?1) ? 3 14 42 21

1 14

11 42

【考点定位】1、新定义;2、古典概型;3、离散型随机变量的分布列与数学期望;4、组合 的应用. 【名师点睛】本题在一个新概念的背景下,考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分 布列等知识, 意在考查学生对新知识的理解与应用能力, 以及利用所学知识解决遇到了的问 题的能力,解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.

16.

【2014 山东.理 18】 (本小题满分 12 分)

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分,如图,

甲上有两个不相交的区域 A, B , 乙被划分为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到

落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其它

1 ,在 D 上的概率 2 1 1 3 为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设 3 5 5
情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 共有两次来球且落在 A, B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望. 【答案】 (I)小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 (II)机变量 ? 的分布列为:

3 . 10

?
P

0

1

2

3

4

6

1 30

1 6

1 5

2 15

11 30

1 10

数学期望 E? ? 【解析】

91 30

(II)由题意,随机变量 ? 可能的取值为 0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和互斥性,得 可得随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

6

1 30

1 6

1 5

2 15

11 30

1 10

利用数学期望的计算公式得到 E? ?

91 30

i 试题解析: (I)记 A ( i ? 0,1,3 ) 1 为事件“小明对落点在 A 上的来球的得分为 分”
则 P( A3 ) ?

1 1 1 1 1 , P( A1 ) ? , P( A0 ) ? 1 ? ? ? , 2 3 2 3 6

记 Bi 为事件“小明对落点在 B 上的来球的得分为 i 分” ( i ? 0,1,3 ) 则 P( B3 ) ?

1 3 1 3 1 , P( B1 ) ? , P( B0 ) ? 1 ? ? ? , 5 5 5 5 5

记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上” , 由题意, D ? A3 B0 ? A 1B0 ? A 0B 1?A 0 B3 , 由事件的独立性和互斥性,

P( D) ? P( A3 B0 ? A1B0 ? A0 B1 ? A0 B3 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A1B0 ) ? P( A0 B1 ) ? P( A0 B3 ) ? P( A3 ) P( B0 ) ? P( A1 ) P( B0 ) ? P( A0 ) P( B1 ) ? P( A0 ) P( B3 )
1 1 1 1 1 3 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 5 3 5 6 5 6 5 10
所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 (II)由题意,随机变量 ? 可能的取值为 0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得

3 . 10

1 1 1 P(? ? 0) ? P( A0 B0 ) ? ? ? , 6 5 30 1 1 1 3 1 P(? ? 1) ? P( A1 B0 ? A0 B1 ) ? P ( A1B0 ) ? P ( A0 B1 ) ? ? ? ? ? , 3 5 6 5 6

1 3 1 P(? ? 2) ? P( A1 B1 ) ? ? ? , 3 5 5 1 1 1 1 2 P(? ? 3) ? P( A3 B0 ? A0 B3 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A0 B3 ) ? ? ? ? ? , 2 5 5 6 15 1 3 1 1 11 P(? ? 4) ? P( A3 B1 ? A1 B3 ) ? P( A3 B1 ) ? P( A1 B3 ) ? ? ? ? ? , 2 5 3 5 30 1 1 1 P(? ? 6) ? P( A3 B3 ) ? ? ? , 2 5 10
可得随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

6

1 30

1 6

1 5

2 15

11 30

1 10

所以数学期望 E? ? 0 ?

1 1 1 2 11 1 91 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 30 6 5 15 30 10 30

【名师点睛】本题考查互斥事件、独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等,在正 确理解题意的情况下,能准确确定基本事件的概率是关键.

17.

【2016 高考天津理数】 (本小题满分 13 分)

某小组共 10 人, 利用假期参加义工活动, 已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (I)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ,求事件 A 发生的概率; (II) 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数: C10 ,再确定选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 所包含基本事件数: C3C4 ? C4 ,最后根据概率公式求概率
1 1 2 2

1 (Ⅱ)详见解析 3

(Ⅱ)先确定随机变量可能取值为 0,1, 2. 再分别求出对应概率,列出概率分布,最后根据公 式计算数学期望

试题解析:解: (? ) 由已知,有

P ? A? ?
所以,事件 A 发生的概率为

1 1 2 C3 C4 ? C4 1 ? , 2 C10 3

1 . 3

(?) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2.

P ? X ? 0? ? P ? X ? 1? ?

2 C32 ? C32 ? C4 2 C10 1 1 1 1 C3 C3 ? C3 C4 2 C10

?

4 , 15

?

7 , 15

1 1 C3 C4 P ? X ? 2? ? 2 C10

?

4 . 15

所以,随机变量 X 分布列为

X
P

0

1

2

4 15

7 15 4 7 4 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 15 15 15

4 15

随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 0 ? 考点:概率,概率分布与数学期望

【名师点睛】求均值、方差的方法 1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; 2.已知随机变量 ξ 的均值、方差,求 ξ 的线性函数 η=aξ+b 的均值、方差和标准差, 可直接用 ξ 的均值、方差的性质求解; 3.如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用 它们的均值、方差公式求解. 17. 【2016 高考新课标 3 理数】 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 (单 位:亿吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化 处理量. 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n



i

? y) 2

? ?b ? 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 回归方程 ? y?a

?? b

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? y ? bt ? . , a

?t )

2

【答案】 (Ⅰ)理由见解析; (Ⅱ)1.82 亿吨. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据相关系数 r 公式求出相关数据后,然后代入公式即可求得 r 的值,最 后根据其值大小回答即可; (Ⅱ)利用最小二乘法的原理提供的回归方程,准确求得相关数 据即可建立 y 关于 t 的回归方程,然后把 t ? 9 代入回归方程求得预测值.

9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103 , 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92 , ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y ? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 , 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 考点:线性相关与线性回归方程的求法与应用. 【方法点拨】 (1)判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法: (1)利用散点图 直观判断; (2)将相关数据代入相关系数 r 公式求出 r ,然后根据 r 的大小进行判断.求线 性回归方程时在严格按照公式求解时,一定要注意计算的准确性.

18. 【2014 高考陕西版理第 19 题】在一块耕地上种植一种作物, 每季种植成本为 1000 元,
此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元 的概率. 【答案】 (1)分布列见解析; (2) 0.896 . 【解析】 试题分析: (1) 设 A 表示事件“作物产量为 300 kg ”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元 / kg ”

由题设得 4000,2000,800,结合概率公式计算出对应的概率,得出分布列; (2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” (i ? 1, 2,3) ,由题意知: C1 , C2 , C3 相互独 立,由(1)知

P(Ci ) ? P( X ? 4000) ? P( X ? 2000) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.8 (i ? 1, 2,3) ,3 季利润均不少于
2000 元的概率为:

P(C1C2C3 ) ? P(C1 )P(C2 )P(C3 ) ? 0.83 ? 0.512 ,3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率
为:

P(C1C2C3 ) ? P(C1C2C3 ) ? P(C1C2 C3 ) ? 3? 0.82 ? 0.2 ? 0.384 ,根据互斥事件概率的加法
公式得:这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为: 0.512 ? 0.384 ? 0.896 试题解析: (1) 设 A 表示事件“作物产量为 300 kg ”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元 / kg ” 由题设知: P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.5 因为利润=产量 ? 市场价格-成本 所以 X 所以可能的取值为

500 ? 1? 0 300 ? 1? 0

100 ?0 100 ?0

4 500 0 0? 6 ? 1000 ? 2000 ,0 2 300 0 0? 6 ? 1000 ? 800 ,0

P( X ? 4000) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5)(1 ? 0.4) ? 0.3 , P( X ? 2000) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.5 ? (1 ? 0.4) ? 0.5 ,
P( X ? 800) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 ,
所以 X 的分布列为

X

4000 0.3

2000 0.5

800 0.2

P

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” (i ? 1, 2,3) , 由题意知: C1 , C2 , C3 相互独立,由(1)知

P(Ci ) ? P( X ? 4000) ? P( X ? 2000) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.8 (i ? 1, 2,3)
3 季利润均不少于 2000 元的概率为:

P(C1C2C3 ) ? P(C1 )P(C2 )P(C3 ) ? 0.83 ? 0.512
3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为:

P(C1C2C3 ) ? P(C1C2C3 ) ? P(C1C2 C3 ) ? 3? 0.82 ? 0.2 ? 0.384
所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为:

0.512 ? 0.384 ? 0.896
考点:离散型随机变量的分布列和期望;互斥事件的概率. 【名师点晴】 本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和相互独立事件、 互斥 事件的概率,属于中档题.解题时要准确理解题意.解离散型随机变量的分布列的试题时首 先必须准确得到随机变量 X 可能的取值, 在列举随机变量取值的概率时, 要注意按顺序列举, 做到不重不漏,防止出现错误.

19.

【2015 高考陕西,理 19】 (本小题满分 12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需

时间为 ? , ? 只与道路畅通状况有关,对其 容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

? (分钟)
频数(次)

25 20

30 30

35 40

40 10

(I)求 ? 的分布列与数学期望 ?? ; (II)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校 区,求刘教授 从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 【答案】 (I)分布列见解析, 32 ; (II) 0.91 . 【解析】 试题分析: (I)先算出 ? 的频率分布,进而可得 ? 的分布列,再利用数学期望公式可得数学 期望 ?? ; (II)先设事件 ? 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分 钟”,再算出 ? 的概率. 试题解析: (I)由统计结果可得 ? 的频率分步为

? (分钟)
频率

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

以频率估计概率得 ? 的分布列为

?

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

?
从而

ET ? 2 5? 0 .? 2

? 30 ? 0.3 ? 35 ? 0?. 4 ?4 0 (分钟) 0.1 32

(II)设 T1 , T2 分别表示往、 返所需时间, 且与 ? 的分布列相同.设事件 ? T1 , T2 的取值相互独立, 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 ? 对应于“刘教 授在途中的时间不超过 70 分钟”.

考点:1、离散型随机变量的分布列与数学期望;2、独立事件的概率. 【名师点晴】 本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率, 属 于中档题.解题时一定要抓住重要字眼“不超过” ,否则很容易出现错误.解离散型随机变 量的分布列的试题时一定要万分小心, 特别是列举随机变量取值的概率时, 要注意按顺序列 举,做到不重不漏,防止出现错误.

20.【2014 全国 2,理 19】
某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t
i ?1

n

i

?t

?

2

? ? ? y ? bt ,a







】 (















t?4



y ? 4.3 , 所 以
3 1 . 6

3? 1 ? . 4 ? 2 ?0 . ? 7 0 ? 0? . 5 ? $ = 0.5 , b? 9 ? 4 ? 1? 0 ? 1? 4 ? 9

1 . 8

所以 $ a = y ?$ bt = 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 ,所以线性回归方程为 $ y ? 0.5t ? 2.3 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中的线性回归方程可知, b ? 0 ,所以在 2007 至 2013 年该地区农村居民家 庭人均纯收入在逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. 令 t ? 9 得: $ y ? 0.5? 9 ? 2.3 ? 6.8,故预测该地区在 2015 年农村居民家庭人均纯收入为

6.8千 元。
【考点定位】线性回归. 【名师点睛】本题考查了线性回归直线方程的求法,线性回归的应用,属于基础题,根据给 出的数据与公式进行计算,主要注意计算的准确性即可.

21.【2015 高考新课标 2,理 18】 (本题满分 12 分)
某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用 户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区:73 83

62 51 91 46 53 73 64 82 76 65 79

93 48 65 81 74 56 54

(Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

A 地区

B 地区

4 5 6 7 8 9

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”. 假设两地区用户的评 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 0.48 . 【解析】 (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 A 地区 B 地区

4 3 6 4 2 6 8 8 6 4 3 6 5 1 5 5 2 5 6 7 8 9

6 1 2 3 3

8 3 4 3 2 6 5 4 1 4 5 6 9

9 2 8 7

1 3

通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均

值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (Ⅱ)记 C A1 表示事件:“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”;

C A 2 表示事件:“A 地区用户满意度等级为非常满意”;
CB1 表示事件:“B 地区用户满意度等级为不满意”;

C B 2 表示事件:“B 地区用户满意度等级为满意”.
则 C A1 与 CB1 独立, C A 2 与 C B 2 独立, CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 ? CB 2CA2 .

P(C) ? P(CB1CA1 ? CB 2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB 2 ) P(CA2 ) .
由所给数据得 C A1 , C B1 , C A2 , C B 2 发生的概率分别为

? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 )

16 4 10 8 16 , , , . 故 P(C A1 ) = , 20 20 20 20 20 4 10 8 10 16 8 4 ? + ? ? 0.48 . , P(CB1 )= , P(CB 2 ) = ,故 P (C )= P(CA2 )= 20 20 20 20 20 20 20

【考点定位】1、茎叶图和特征数;2、互斥事件和独立事件. 【名师点睛】 本题考查茎叶图、 互斥事件和独立事件, 根据茎叶的密集程度比较平均值大小, 如果密集主干部位在高位, 那么平均值大; 方差看它们数字偏离程度, 偏离越大则方差大. 读 懂所求概率事件包含的含义,利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率.

22. 【2015 高考四川,理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐 3 名
男生,2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生,4 名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于 集训后队员的水平相当, 从参加集训的男生中随机抽取 3 人, 女生中随机抽取 3 人组成代表 队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数, 求 X 得分布列和数学期望. 【答案】 (1)A 中学至少 1 名学生入选的概率为 p ? (2)X 的分布列为:

99 . 100

X p

1 1 5

2 3 5

3 1 5

X 的期望为 E ( X ) ? 2 . 【解析】 (1)由题意,参加集训的男女生各有 6 名.
3 3 C3 C 1 参赛学生全从 B 中抽取(等价于 A 中没有学生入选代表队)的概率为 3 4 . ? 3 C6 C6 100

因此,A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1 ? (2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.

1 99 ? . 100 100

P( X ? 1) ?

1 3 C3 C3 1 ? , 4 C6 5

C32C32 3 P( X ? 2) ? ? , 4 C6 5 P( X ? 3) ?
3 1 C3 C3 1 ? , 4 C6 5

所以 X 的分布列为:

X p

1 1 5

2 3 5

3 1 5

因此,X 的期望为 E ( X ) ? 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知 识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题 的能力. 【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意,找出题中的关键字词.在本题中,就要分清楚 集训队与代表队的区别.求概率时,如果直接求比较复杂,就应该先求其对立事件的概率.超 几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布,考生必须牢固掌握.本题的概率分布就 是一个超几何分布问题. 可能性较大;

23.

【2014 四川,理 17】一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次

击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分, 出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得

?200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2

(1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反 而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【答案】 ( 1 ) P( X ? ?200) ?

1 3 3 1 , P( X ? 10) ? , P( X ? 20) ? , P( X ? 100) ? ; (2) 8 8 8 8

p?

511 ; 512

(3)每盘所得分数的期望为负数,所以玩得越多,所得分数越少. 【解析】
k k n ?k 试题分析: (1)本题属于独立重复试验问题,利用 P 即可求得 X 的分 n (k ) ? Cn p (1 ? p)

布列; (2)玩一盘游戏,没有出现音乐的概率为 p0 ?

1 .“玩三盘游戏,至少有一盘出现音 8

乐”的对立事件是“玩三盘游戏,三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏,至少有一 盘出现音乐”的概率; (3) 试题解答: (1) P( X ? ?200) ?

1 3 3 1 , P( X ? 10) ? , P( X ? 20) ? , P( X ? 100) ? .所以 8 8 8 8

X 的分布列为
X -200 10 20 100

p

1 8

3 8

3 8

1 8

(2)玩一盘游戏,没有出现音乐的概率为 p0 ? 率为 p ? 1 ? ( ) ?
3

1 ,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概 8

1 8

511 . 512 1 3 3 1 5 ? 10 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ? ,即每盘所得分数的期 8 8 8 8 4

(3)由(1)得: EX ? (?200) ?

望为负数,所以玩得越多,所得分数越少的可能性更大. 【考点定位】1、随机变量的分布列;2、独立重复事件的概率;3、统计知识. 【名师点睛】 本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实 际应用,这一 直都是高考命题的热点, 试题的背景由传统的摸球, 骰子问题向现实生活中的热点问题转化, 并且与统计

的联系越来越密切,与统计中的抽样,频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多,在 复习时应予以 关注.

24.

【2014 课标Ⅰ,理 18】 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结

果得如下图频率分布直方图:

(I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 s (同一组的数据用该组区间 的中点值作代表) ;
2 (II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N ? , ? ,其中 ? 近似为

2

?

?

样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2 2

(i)利用该正态分布,求 P ?187.8 ? Z ? 212.2? ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位 于区间 ?187.8, 212.2? 的产品件数.利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ? 12.2
2 若 Z ~ N ? , ? 则 P ? ? ? ? ? Z ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

?

?

P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 。
【答案】 (I) 200,150 ; (II) (i) 0.6826 ; (ii) 68.26 .

(ii)由(i)可知,一件产品的质量指标值位于区间 ?187.8, 212.2? 的概率为 0.6826 ,依题 意知 X ? B(100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 . 【考点定位】1、频率分布直方图;2、正态分布的 3? 原则;3、二项分布的期望. 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、平均数及方差的计算,考查用样本估计总体, 正态分布等知识,意在考查考生的因与能力及读图、用图的能力.解决概率问题时,一定要 根据有关概念,判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件,还是某一事件在 n 次独立重 复使用中恰好发生 k’次的情况, 以便选择正确的计算方法, 同时注意上各类事件的综合问题, 要全面考虑.

25.【2015 高考新课标 1,理 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解
年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对 近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i =1,2,· · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图 及一些统计量的值.

? x

? ? y

?? w

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w)
i ?1 i

8

2

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6
i

1469

108.8

表中 wi ?

?? 1 xi , w = 8

?w
i ?1

8

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,……, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为:

?= ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? =v ? ? ?u ,?

2

【答案】 (Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型; (Ⅱ)

? y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24
【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数; (Ⅱ) 令w?

x,

先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)(ⅰ)利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年 利润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值,列出关于 x 的方程,利 用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的 回归方程类型. ( Ⅱ ) 令 w?
8 i i

……2 分

x , 先 建 立 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 , 由 于
108.8 =68 , 16

?? d

? ( w ? w)( y ? y)
i ?1

? ( w ? w)
i ?1 i

8

=
2

? ? y?d ? w =563-68×6.8=100.6. ∴c
∴ y 关于 w 的线性回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68w ,

∴ y 关于 x 的回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x .……6 分

【考点定位】非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用,是源于课本的试题 类型,解答非线性拟合问题,先作出散点图,再根据散点图选择合适的函数类型,设出回 归方程,利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程,求出样本数据换元后的值,然 后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数,即可求出非线性回归方 程,再利用回归方程进行预报预测,注意计算要细心,避免计算错误.

26.

【2014 高考重庆理第 18 题】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分)

一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字 是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片. (Ⅰ)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (Ⅱ) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望. (注:若三个数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数).

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

5 (Ⅱ)详见解析. 84

3 试题分析: (Ⅰ)从 9 张卡片中任取 3 张,有 C9 和不同的结果,其中,3 张卡片上的数字完全 3 3 相同的有 C4 ,由于是任取的,所以每个结果出现的可能性是相等的,故可根据古典概 ? C3

型的概率公式求得概率; (Ⅱ)由题设随机变量 X 的所有可能取值有 1,2,3;

X ? 1 表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是 ?1,1,1? , ?1,1,2? , ?1,1,3? X ? 2 表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是 ?1,2,2? , ?1,2,3? , ? 2,2,2? , ? 2,2,3?

X ? 3 表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是 ?1,3,3? , ? 2,3,3?
于是可用古典概型的概率公式求出 X 的分布列与数学期望. 试题解析: 解: (Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为

P?

3 3 C4 ? C3 5 ? 3 C9 84

(Ⅱ) X 的所有可能值为 1,2,3,且
2 1 3 1 1 1 1 3 C4 C5 ? C4 C3 C4C2 ? C32C6 ? C3 17 43 P ? X ? 1? ? ? , P ? X ? 2? ? ? , 3 3 C9 42 C9 84 2 1 C2 C7 1 ? . 3 C9 12

P ? X ? 3? ?

故 X 的分布列为

X
P

1

2

3

17 42 17 43 1 47 ? 2 ? ? 3? ? 42 84 12 28

43 84

1 12

从而 E ? X ? ? 1?

考点:1、组合;2、古典概型;3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 【名师点睛】本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及 期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力,属于中档题.

27.

【2015 高考重庆,理 17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽

子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个。 (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望 【答案】 (1)

1 3 ; (2)分布列见解析,期望为 . 4 5

【解析】
3 试题分析: (1)本题属于古典概型,从 10 个棕子中任取 3 个,基本事件的总数为 C10 ,其 1 1 1 中事件“三种棕子各取 1 个”含基本事件的个数为 C2 C3C5 ,根据古典概型概率计算公式可计

算得所求概率; (2)由于 10 个棕子中有 2 个豆沙棕,因此 X 的可能值分别为 0,1, 2 ,同样 根据古典概型概率公式可得相应的概率, 从而列出其分布列, 并根据期望公式求得期望为

3 . 5

【考点定位】古典概型,随机变量的颁布列与数学期望.考查学生的数据处理能力与运算求 解能力. 【名师点晴】在解古典概型概率题时,首先把所求样本空间中基本事件的总数 n ,其次所求 概率事件中含有多少个基本事件 m ,然后根据公式 P ?

m 求得概率;求解一般的随机变量 n

的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根 据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率, 列出分布列, 根据数学期望和方差的公式 计算. 注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用, 对实际的含义 要正确理解.

28.

【2015 高考安徽,理 17】已知 2 件次品和 3 件正品放在一起,现需要通过检测将其

区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时

检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ) 已知每检测一件产品需要费用 100 元, 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所 需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【答案】 (Ⅰ)

3 ; (Ⅱ) 350 . 10

【解析】 (Ⅰ)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A .

P( A) ?

1 1 A2 A3 3 ? . A52 10

【考点定位】1.概率;2.随机变量的分布列与期望. 【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复 试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算,同时也考查二项分布、 超几何分布等特殊的概率模型.解读此类问题时要注意分清类型,运用相应的知识进行 解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱,没有理解题中给定的实际意义.

29.

【2014,安徽理 17】 (本小题满分 12 分)

甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判 定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 果相互独立. (I)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (II)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的情况有:前 2 局甲赢;第 1 局乙赢、第 2、3 局甲赢;第 1 局甲赢、第 2 局乙赢、第 3、4 局甲赢,从而就可以求出概率. ; (II)根 据题意 X 的可能取值为 2,3, 4,5 .

2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结 3 3

56 224 ; (II) . 81 81

P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( B2 ) ?

5 . 9 2 9 10 81

P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( B3 ) ?

P( X ? 4) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? P( B1 A2 B3 B4 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 ) P( A4 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( B3 ) P( B4 ) ? P( X ? 5) ? 1 ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?
出期望的值.

8 .列出分布列表格,就可以求 81

(II) X 的可能取值为 2,3, 4,5 .

P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( B2 ) ?

5 . 9 2 9 10 81

P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( B3 ) ?

P( X ? 4) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? P( B1 A2 B3 B4 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 ) P( A4 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( B3 ) P( B4 ) ? P( X ? 5) ? 1 ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?
故 X 的分布列为

8 . 81

X

2

3

4

5

P

5 9

2 9

10 81

8 81

所以 EX

5 2 10 8 224 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? . 9 9 81 81 81

考点:1.概率的求解;2.期望的求解. 【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复 试验的概率计 算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算, 同时也考查二项分布、 超几何分布等特殊 的概率模型.解 读此类问题时要注意分清类型,运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关 系混乱,没有理 解题中给定的实际意义.

30. 【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 20】计划在某水库建一座至多安装 3
台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量:一年内上游 来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低 于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率 作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (I)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率;

(Ⅱ) 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限 制,并有如下关系: 年入流量 X 发电量最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 【解析】

) , P3 ? P( X ? 120) ,再 试题分析: (I)先求 P 1 ? P(40 ? X ? 80) , P 2 ? P(80 ? X ? 120
利用二项分布求解; (Ⅱ) 记水电站年总利润为 Y(单位: 万元) ①安装 1 台发电机的情形.② 安装 2 台发电机.③安装 3 台发电机, 分别求出 EY , 比较大小, 再确定应安装发电机台数. 试题解析: (I)依题意, P 1 ? P ( 40 ? X ? 80 ) ?

10 ? 0.2 , 50 35 5 P2 ? P(80 ? X ? 120 ) ? ? 0.7 , P3 ? P( X ? 120 ) ? ? 0.1 , 50 50 9 9 1 0 1 P ? C4 (1 ? P3 ) 4 ? C4 (1 ? P3 )3 P3 ? ( ) 4 ? 4 ? ( )3 ? ? 0.9477 . 10 10 10

由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年入流量找过 120 的概率为:

③安装 3 台发电机. 依题意,当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 1600 ? 3400 , 因此 P(Y ? 3400 ) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 ; 当 80 ? X ? 120 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 此时 P(Y ? 9200 ) ? P(80 ? X ? 120) ? P2 ? 0.7 , 当 X ? 120 时,三台发电机运行,此时 y ? 5000? 3 ? 15000, 因此 P(Y ? 15000 ) ? P( X ? 120) ? P 3 ? 0.1 ,

由此得 Y 的分布列如下:

Y P

34 0.2

9200 0.8

15000 0.1

所以 EY ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 .

综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 考点:二项分布,随机变量的均值. 【名师点睛】以实际问题为背景,重点考查二项分布和离散型随机变量的数学期望,其解题 的关键是正确地运用数学表达表示出实际问题.充分体现了“数学源自生活,生活中处处有 数学” 的数学学科特点, 能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实 际问题中的运用能力.

31.

【2015 高考湖北,理 20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1

吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨, 使用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备 每天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位: 吨)是一个随机变量,其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单 位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立, 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率. 【答案】 (Ⅰ) Z 的分布列为:
Z P
E ( Z ) ? 9708 ; (Ⅱ)0.973.

8160 0.3

10200 0.5

10800 0.2

【解析】 (Ⅰ)设每天 A, B 两种产品的生产数量分别为 x, y ,相应的获利为 z ,

?2 x ? 1.5 y ? W , ? x ? 1.5 y ? 12, ? 则有 ? ?2 x ? y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0.
y y

(1)

y 12

10 8 B(2.4,4.8) 8 B(3,6) 8 B(3,6) C(6,4)

O A(0,0)

C(6,0)

12

x

O A(0,0)

C(7.5,0)

12

x

O A(0,0)

D(9,0) 12

x

第 20 题解答 图1

第 20 题解答 图2

第 20 题解答 图3

目标函数为

z ?1 0 0 0 x?

120 y 0 .

当W ? 12 时, (1)表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8), C (6, 0) .

5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 2.4, y ? 4.8 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200
最大获利 Z ? zmax ? 2.4 ?1000 ? 4.8 ?1200 ? 8160 . 当W ? 15 时, (1)表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (7.5, 0) .

5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 3, y ? 6 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200
最大获利 Z ? zmax ? 3 ? 1000 ? 6 ? 1200 ? 10200 . 当 W ? 18 时, (1)表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (6, 4), D(9, 0) .

5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 6, y ? 4 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200
最大获利 Z ? zmax ? 6 ? 1000 ? 4 ? 1200 ? 10800 . 故最大获利 Z 的分布列为
Z P

8160 0.3

10200 0.5

10800 0.2

因此, E (Z ) ? 8160 ? 0.3 ? 10200 ? 0.5 ? 10800 ? 0.2 ? 9708. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过 10000 元的概率 p1 ? P(Z ? 10000) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.7 , 由 二 项 分 布 , 3 天 中 至 少 有 1 天 最 大 获 利 超 过 10000 元 的 概 率 为

p ? 1 ? (1 ? p1 )3 ? 1 ? 0.33 ? 0.973.
【考点定位】线性规划的实际运用,随机变量的独立性,分布列与均值,二项分布. 【名师点睛】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型, 是近年高考非常重要的一个考 点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的 特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少” 或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.

32.

【2015 高考福建,理 16】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错

误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定 该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一, 小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝 试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)

1 5 ;(Ⅱ)分布列见解析,期望为 . 2 2

【解析】 (Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P (A) = 创

5 4 3 1 = 6 5 4 2

【考点定位】1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望. 【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望,第一问,将事件转化为所选的三个密码
3 3 都不是该银行卡密码,共有 A5 种,而基本事件总数为 A6 ,代入古典概型概率计算公式;第

二问, 写出离散型随机变量所有可能取值, 并求取相应值的概率, 写成分布列求期望即可. 确 定离散型取值时,要科学兼顾其实际意义,做到不重不漏,计算出概率后要注意检验概率和 是否为 1,以便及时矫正。

33.

【2014 福建,理 18】 (本小题满分 13 分)

为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求

①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球 的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

【答案】(1)

1 ,参考解析;(2)参考解析 2

试题解析:(1)设顾客所获的奖励为 X. ①依题意,得 P( X ? 60) ?

1 1 C1 C3 1 ? .即顾客所获得 2 C4 2

的奖励额为 60 元的概率为

1 . 2

②依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. P( X ? 60) ? 列为 X P 20 0.5

C2 1 1 , P( X ? 20) ? 32 ? .即 X 的分布 2 C4 2

60 0.5

所以顾客所获得的奖励额的期望为 E ( X ) ? 20 ? 0.5 ? 60 ? 0.5 ? 40 (元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励为 60 元.所以先寻找期望为 60 元的可能方案.对 于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的 最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最 小值,所以数学期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1.对于面

值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能 的方案是(20,20,40,40),记为方案 2.以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案 (10,10,50,50),设顾客所获的奖励为 X 1 ,则 X 1 的分布列为

X1
P

20

60

100

1 6

2 3

1 6

1 2 1 X1 的期望为 E ( X 1 ) ? 20 ? ? 60 ? ? 100 ? ? 60 , X1 的方差为 6 3 6 1 2 1 1600 D( X 1 ) ? (20 ? 60) 2 ? ? (60 ? 60) 2 ? ? (100 ? 60) 2 ? ? . 6 3 6 3
对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为 X 2 ,则 X 2 的分布列为

X2
P

40

60

80

1 6

2 3

1 6

1 2 1 X 2 的期望为 E ( X 2 ) ? 40 ? ? 60 ? ? 80 ? ? 60 , X 2 的方差为 6 3 6 1 2 1 400 D( X 2 ) ? (40 ? 60) 2 ? ? (60 ? 60) 2 ? ? (80 ? 60) 2 ? ? .由于两种方案的奖励额都 6 3 6 3
符合要求,但方案 2 奖励的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2. 考点:1.概率.2.统计.3.数学期望,方差. 【名师点睛】本题以生活中常见的抽奖活动为背景,结合随机变量的概率、分布列、期望与 方差,有很强的现实意义与时代气息.求解此题的关键是:先利用两个原题、排列与组合以 及古典概型的概率求随机变量的概率,然后求出 X 的所有值,列出分布列,最后利用期望与 方差的定义进行计算与判断.

34.【2014 江苏,理 22】盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些
球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球的颜色相同的概率; (2)从盒中一次随机抽出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1 , x2 , x3 ,随机变 量 X 表示 x1 , x2 , x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) . 【答案】 (1)

5 20 ; (2) E ( X ) ? . 18 9

【解析】 (1)由题意 P ?

2 2 C4 ? C32 ? C2 5 ? ; 2 C9 18

(2)随机变量 X 的取值可能为 2,3, 4 ,
4 C4 1 , P( X ? 4) ? 4 ? C9 126 3 1 3 1 C4 C5 ? C3 C6 13 ? , 4 C9 63

P( X ? 3) ?

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?
所以 X 的分布列为

11 , 14

X
2 3 4

P

11 14

13 63

1 126

E ( X ) ? 2 ?14 ? 3 ?
.

13 1 20 ? 4? ? 63 126 9

【考点定位】排列与组合,离散型随机变量的分布列与均值(数学期望). 【名师点晴】求分布列的三种方法 1.由统计数据得到离散型随机变量的分布列; 2.由古典概型求出离散型随机变量的分布列; 3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概 率求离散型随机变量的分布列.

35.

【2014 辽宁理 18】 (本小题满分 12 分)

一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低 于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望

E ( X ) 及方差 D( X ) .
【答案】 (Ⅰ)0.108; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设 A , A2 表示事件“日销售量低于 50 1 表示事件“日销售量不低于 100 个” 个” ,B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售 量低于 50 个”.因此 可求出 P( A 1 ) ? 0.6 , P( A 2 ) ? 0.15 ,利用事件的独立性即可求出 P ( B ) ;(Ⅱ )由题意可知 X~B(3,0.6),所以即可列出分布列,求出期望为 E(X)和方差 D(X)的值.

(Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为
0 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6(1 ? 0.6)2 ? 0.288 ,

2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 (1 ? 0.6) ? 0.432 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216 ,

分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望为 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72 考点:1.频率分布直方图;2.二项分布. 【名师点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、数学期望、方差等,在正确理解题意的 情况下,能准确确定基本事件的概率是关键. 本题是一道应用题,也是一道能力题,属于中等题,较全面地考查了概率统计等基础知识, 同时考查考生的计算能力及应用数学知识,解决实际问题的能力.

36.

【2015 湖南理 18】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,

每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机 摸出 1 个球, 在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球, 则获二等奖; 若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分 布列和数学期望. 【答案】 (1)

7 ; (2)详见解析. 10

试题解析: (1)记事件 A1 ? {从甲箱中摸出的 1 个球是红球} , A2 ? {从乙箱中摸出的 1 个球是红球} , B2 ? {顾客抽奖 1 次获二等奖} , C ? {顾客抽奖 1 次能 B1 ? {顾客抽奖 1 次获一等奖} 获奖} ,由题意, A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥,且 B1 ? A1 A2 ,

B2 ? A1 A2 ? A1 A2 , C ? B1 ? B2 ,
∵ P ( A1 ) ?

4 2 5 1 2 1 1 ? , P ( A2 ) ? ? ,∴ P( B1 ) ? P( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ? ? ? , 10 5 10 2 5 2 5

P(B2 ) ? P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 )(1 ? P( A2 )) ? (1 ? P( A1))P( A2 )

2 1 2 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 5 2 5 2 2 P( ? C) 1 ? P( 2 B?















1 7 ?( ; P ) ? B 3( ?P ) ? B ( 次独立重复试验,由 22)顾客抽奖 2 1 0 1 1 (1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ,∴ X ? B (3, ) , 5 5 1 4 6 4 48 0 1 1 1 4 2 P( ?X 0 3 ? ) C 0 ( 3? ) , ( P( X ) ? 1) ? C3 ( )( ) ? 于 是 , 5 5 1 2 5 5 5 125 1 4 12 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? , 5 5 125 1 3 1 3 4 0 P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? ,故 X 的分布列为 5 5 125

1 )1 B 5

X

0

1

2

3

P

64 125

48 125

12 125

1 125

X 的数学期望为 E ( X ) ? 3 ? ? .
【考点定位】1.概率的加法公式;2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】 本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实 际应用,这一 直都是高考命题的热点, 试题的背景由传统的摸球, 骰子问题向现实生活中的热点问题转化, 并且与统计 的联系越来越密切,与统计中的抽样,频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多,在 复习时应予以

1 5

3 5

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