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高一数学函数及其性质测试题及答案


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数学章节测试( ) 第一单元( 必修 1 数学章节测试(4)—第一单元(函数的基本性质) 杨 忠
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分)。 1.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间 (?∞,0) 上为增函数的是 ( ) A. y = 1 C. y = ? x ? 2 x ? 1
2

x +2 1? x 2 D. y = 1 + x
B. y = ( )

3.函数 y = x 2 + bx + c ( x ∈ ( ?∞,1)) 是单调函数时, b 的取值范围

B. b ≤ ?2 C . b > ?2 D. b < ?2 A. b ≥ ?2 4.如果偶函数在 [ a, b] 具有最大值,那么该函数在 [ ?b,? a ] 有 ( A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值 ( 5.函数 y = x | x | + px , x ∈ R 是 A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 6. 函数 f ( x ) 在 (a, b) 和 (c, d ) 都是增函数, x1 ∈ ( a, b), x 2 ∈ (c, d ) , x1 < x 2 那么 若 且 ( A. f ( x1 ) < f ( x 2 ) C. f ( x1 ) = f ( x 2 ) A. [3,8] B. f ( x1 ) > f ( x 2 ) D.无法确定 (







7.函数 f ( x ) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y = f ( x + 5) 的递增区间是 B. [ ?7,?2] C. [0,5] D. [?2,3] 8.函数 y = ( 2k + 1) x + b 在实数集上是增函数,则 A. k > ?



( D. b > 0



9. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) , 满足 f ( x + 1) = ? f ( x) , 且在区间 [?1,0] 上为递增, ( 则 A. f (3) < f ( 2 ) < f ( 2) C. f (3) < f ( 2) < f ( 2 ) A. f ( a ) + f (b) ≤ ?[ f ( a ) + f (b)] B. f ( 2) < f (3) < f ( 2 ) D. f ( 2 ) < f ( 2) < f (3) (

1 2

B. k < ?

1 2

C. b > 0



10.已知 f (x ) 在实数集上是减函数,若 a + b ≤ 0 ,则下列正确的是 B. f ( a ) + f (b) ≤ f ( ? a ) + f ( ?b) C. f ( a ) + f (b) ≥ ?[ f ( a ) + f (b)] D. f ( a ) + f (b) ≥ f ( ? a ) + f ( ?b) 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11 . 函 数 f (x ) 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 f ( x ) =



x + 1, x > 0 , 则 当 x < 0 ,
.

f (x) =
2

. ,最大值和最小值的情况为

12.函数 y = ? x + | x | ,单调递减区间为

13. 定义在 R 上的函数 s (x)(已知) 可用 f ( x ), g ( x ) 的=和来表示, f (x ) 为奇函数,g (x ) 且 为偶函数,则 f (x ) = . 14.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 ( ?∞,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为; 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).
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.

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15.(12 分)已知 f ( x) = ( x ? 2) , x ∈ [ ?1,3] ,求函数 f ( x + 1) 得单调递减区间.
2

16.(12 分)判断下列函数的奇偶性 ①y=x +
3

1 ; x

②y=

2x ? 1 + 1 ? 2x ;

4 ③ y = x + x;

? x 2 + 2( x > 0) ? ④ y = ?0( x = 0) 。 ? 2 ? ? x ? 2( x < 0)

17.(12 分)已知 f ( x ) = x

2005

+ ax 3 ?

b ? 8 , f (?2) = 10 ,求 f (2) . x

18.(12 分))函数 f ( x ), g ( x ) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f (x ) 为增函数, f ( x ) > 0 ;
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② g (x ) 为减函数, g ( x ) < 0 . 判断 f ( x ) g ( x ) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.

定义为 Mf ( x ) = f ( x + 1) ? f ( x ) , 19.14 分) ( 在经济学中, 函数 f (x ) 的边际函数为 Mf (x ) , 某 公 司 每 月 最 多 生 产 100 台 报 警 系 统 装 置 。 生 产 x 台 的 收 入 函 数 为

R( x) = 3000 x ? 20 x 2 (单位元),其成本函数为 C ( x) = 500 x + 4000 (单位元),
利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 p (x) 及其边际利润函数 Mp (x) ; ②求出的利润函数 p (x) 及其边际利润函数 Mp (x) 是否具有相同的最大值; ③你认为本题中边际利润函数 Mp (x) 最大值的实际意义.

20.(14 分)已知函数 f ( x) = x 2 + 1 ,且 g ( x) = f [ f ( x)] , G ( x) = g ( x) ? λf ( x) ,试问, 是否存在实数 λ ,使得 G (x) 在 ( ?∞,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.
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参考答案(4)
一、CBAAB 二 、 11 . DBAA D

y = ? ? x ?1




12 . [? 1 ,0] 和

2

1 1 ; [ ,+∞ ) , 4 2

13 .

s( x) ? s (? x) ; 2

14.

y = x2 , x ∈ R

三、15. 解: 函数 f ( x + 1) = [( x + 1) ? 2] 2 = ( x ? 1) 2 = x 2 ? 2 x + 1 , x ∈ [?2,2] , 故函数的单调递减区间为 [?2,1] . 16. 解①定义域 (?∞,0) ∪ (0,+∞) 关于原点对称,且 ②定义域为 {

f (? x) = ? f ( x) ,奇函数.

1 } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. 2

③定义域为 R,关于原点对称,且 f (? x) = x 4 ? x ≠ x 4 + x , f ( ? x) = x 4 ? x ≠ ?( x 4 + x) ,故其 不具有奇偶性. ④定义域为 R,关于原点对称, 当x 当x 当x

> 0 时, f (? x) = ?(? x) 2 ? 2 = ?( x 2 + 2) = ? f ( x) ; < 0 时, f (? x) = (? x) 2 + 2 = ?(? x 2 ? 2) = ? f ( x) ; = 0 时, f (0) = 0 ;故该函数为奇函数. f (x) 中 x 2005 + ax 3 ? b 为奇函数,即 g (x ) = x 2005 + ax 3 ? b 中 g (? x) = ? g ( x) ,也即
x
x

17.解: 已知

g ( ?2) = ? g (2) , f ( ?2) = g ( ?2) ? 8 = ? g (2) ? 8 = 10 ,得 g ( 2) = ?18 , f ( 2) = g ( 2) ? 8 = ?26 .
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18.解:减函数令 a

≤ x1 < x 2 ≤ b

,则有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 ,即可得 0 < f ( x1 ) < f ( x 2 ) ;同理有

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) > 0 ,即可得 f ( x 2 ) < f ( x1 ) < 0 ;
从而有

f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x 2 ) g ( x2 )

= f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x 2 ) + f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x 2 )
= f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x 2 )) + ( f ( x1 ) ? f ( x 2 )) g ( x 2 ) *
显然

f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) > 0 , ( f ( x1 ) ? f ( x 2 )) g ( x 2 ) > 0 从而*式 * > 0 ,

故函数

f ( x) g ( x) 为减函数.

19.解:

p ( x) = R ( x) ? C ( x ) = ?20 x 2 + 2500 x ? 4000, x ∈ [1,100], x ∈ N .

Mp (x) = p ( x + 1) ? p ( x)
= [?20( x + 1) 2 + 2500( x + 1) ? 4000] ? (?20 x 2 + 2500 x ? 4000),

= 2480 ? 40 x
x ∈ [1,100], x ∈ N
p ( x ) = ?20( x ?


125 2 故当 x ) + 74125, x ∈ [1,100], x ∈ N , 2

= 62 或 63 时,p (x) max = 74120 (元) 。

因为 Mp (x ) = 2480 ? 40 x 为减函数,当 x

= 1 时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.

边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 20.解: g ( x )

= f [ f ( x)] = f ( x 2 + 1) = ( x 2 + 1) 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 2 .

G ( x ) = g ( x ) ? λ f ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 2 ? λx 2 ? λ = x 4 + ( 2 ? λ ) x 2 + ( 2 ? λ )

G ( x1 ) ? G ( x 2 ) = [ x1 + (2 ? λ ) x1 + (2 ? λ )] ? [ x 2 + (2 ? λ ) x 2 + (2 ? λ )]
4 2 4 2

= ( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 )[ x1 + x 2 + (2 ? λ )]
2 2

有题设 当 x1

< x 2 < ?1 时,
2 2

( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) > 0 , x1 + x 2 + (2 ? λ ) > 1 + 1 + 2 ? λ = 4 ? λ ,
则4?λ

≥ 0, λ ≤ 4

当 ?1 <
2

x1 < x 2 < 0 时,
2

( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) > 0 , x1 + x 2 + (2 ? λ ) < 1 + 1 + 2 ? λ = 4 ? λ ,
则4

? λ ≥ 0, λ ≥ 4

故λ

=4
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