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阿坝县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

阿坝县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知向量 A.充分而不必要条件 , ,其中 , .则“ ”是“ C.充要条件 ) D.( , , ) ”成立的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

姓名__________

分数__________

2. 已知点 M 的球坐标为(1, A.(1, , ) B.( ,

),则它的直角坐标为( C.( , , )

, )

EF 3. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别为 BC , BB 1 的中点,则下列直线中与直线

相交

的是(
A.直线 AA1

) B.直线 A1B1 C. 直线 A1D1 ) D.(0,2] D.直线 B1C1

4. 三个实数 a、b、c 成等比数列,且 a+b+c=6,则 b 的取值范围是( A.[﹣6,2] B.[﹣6,0)∪( 0,2] C.[﹣2,0)∪( 0,6]

5. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为棱 A1B1 中点,点 Q 在侧面 DCC1D1 内运动,若

?PBQ ? ?PBD1 ,则动点 Q 的轨迹所在曲线为(



A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识,意在考查空间想象能力.

4 2 * 6. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素

?

?

x 对应,则 a, k 的值分别为( A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5
( A.2 ) B.﹣2

) D. 2, 5

7. 已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2015)= C.8 D.﹣8 的值等于 126,则判断框中的①可以是 ( )

8. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输出的

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A.i>4?

B.i>5?

C.i>6?

D.i>7? )

9. 在△ABC 中,b= A. B.2 C.

,c=3,B=30°,则 a=( 或2 D.2

10.用反证法证明命题:“已知 a、b∈N*,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时,假 设的内容应为( ) D.a 不能被 5 整除 ) A.a、b 都能被 5 整除 B.a、b 都不能被 5 整除 C.a、b 不都能被 5 整除
2

11.抛物线 x=﹣4y 的准线方程为( A.y=1 B.y= C.x=1 D.x=

12.在等差数列 {an } 中, a1 = 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为 {an } 的前 n 项和.若向量 m = (a1, a3 ) , n = (a13 , - a3 ) , 且 m?n 0 ,则 A. 4

2 S n +16 的最小值为( an + 3
B. 3

) C. 2 3 - 2 D.

9 2

【命题意图】本题考查等差数列的性质,等差数列的前 n 项和,向量的数量积,基本不等式等基础知识,意在 考查学生的学生运算能力,观察分析,解决问题的能力.

二、填空题
13.已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律:

13 ? 1 ; 23 ? 3 ? 5 ; 33 ? 7 ? 9 ? 11; 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ;… 3 若 m (m ? N? ) 的分解中最小的数为 91 ,则 m 的值为
中等.

.

【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识,问题的给出比较新颖,对逻辑推理及化归能力有较高要求,难度

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14.如图,是一回形图,其回形通道的宽和 OB1 的长均为 1,回形线与射线 OA 交于 A1,A2,A3,…,若从点 O 到点 A3 的回形线为第 1 圈(长为 7),从点 A3 到点 A2 的回形线为第 2 圈,从点 A2 到点 A3 的回形线为第 3 圈…依此类推,第 8 圈的长为 .

15.已知两个单位向量 a, b 满足: a ? b ? ?

1 ,向量 2a ? b 与的夹角为,则 cos ? ? 2
, ),(3,

. ),则 O 点到直线 AB

16.在极坐标系中,O 是极点,设点 A,B 的极坐标分别是(2 的距离是 .
2

17.已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? A.1 B.±1 C. 2

1 ? 的一条对称轴方程为 x ? ,则函数 f ( x ) 的最大值为( 2 6 D. ? 2



【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想. 18.在数列 中,则实数 a= ,b= .

三、解答题
19.已知 x2﹣y2+2xyi=2i,求实数 x、y 的值.

20.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直, 导函数 f′(x)的最小值为﹣12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.

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21.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ( 如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题: (1)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室。那么药物释放开始,至 少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?

1 t ?a ) ( a 为常数), 16

22.已知 A(﹣3,0),B(3,0),C(x0,y0)是圆 M 上的三个不同的点. (1)若 x0=﹣4,y0=1,求圆 M 的方程;

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(2)若点 C 是以 AB 为直径的圆 M 上的任意一点,直线 x=3 交直线 AC 于点 R,线段 BR 的中点为 D.判断 直线 CD 与圆 M 的位置关系,并证明你的结论.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围;

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

有两个不同的交点

(Ⅱ)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量 如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.



共线?

24.已知等差数列{an}的首项和公差都为 2,且 a1、a8 分别为等比数列{bn}的第一、第四项. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Sn.

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阿坝县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 反过来,若 ,则 ,则 或 ”成立的充分而不必要条件。 成立;

所以“ ”是“ 故答案为:A 2. 【答案】B

【解析】解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), ∵点 M 的球坐标为(1, ∴x=sin cos = ,y=sin , sin ), = ,z=cos =

∴M 的直角坐标为( , 故选:B.

, ).

【点评】假设 P(x,y,z)为空间内一点,则点 P 也可用这样三个有次序的数 r,φ,θ 来确定,其中 r 为原 点 O 与点 P 间的距离,θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角,φ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影.这样的三个数 r,φ,θ 叫做点 P 的球面坐标,显然,这里 r, φ,θ 的变化范围为 r∈[0,+∞),φ∈[0,2π],θ∈[0,π], 3. 【答案】D 【解析】

EF 为异面直线, B1C1 和 EF 在同一个平 试题分析:根据已满治安的概念可得直线 AA 1, A 1B 1, A 1D 1 都和直线
面内,且这两条直线不平行;所以直线 B1C1 和 EF 相交,故选 D. 考点:异面直线的概念与判断. 4. 【答案】B 【解析】解:设此等比数列的公比为 q, ∵a+b+c=6, ∴ ∴b= =6, .

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当 q>0 时,

=2,当且仅当 q=1 时取等号,此时 b∈(0,2];

当 q<0 时,b

=﹣6,当且仅当 q=﹣1 时取等号,此时 b∈[﹣6,0).

∴b 的取值范围是[﹣6,0)∪( 0,2]. 故选:B. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 5. 【答案】C. 【解析】易得 BP / / 平面 CC1D1D ,所有满足 ?PBD1 ? ?PBX 的所有点 X 在以 BP 为轴线,以 BD1 所在直 线为母线的圆锥面上, ∴点 Q 的轨迹为该圆锥面与平面 CC1D1D 的交线, 而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆 锥面得到的图形是双曲线,∴点 Q 的轨迹是双曲线,故选 C. 6. 【答案】D 【解析】
4 4 ? ? ?a ? 3 ? 3 ? 1 ?a ? 3 ? k ? 1 试题分析: 分析题意可知: 对应法则为 y ? 3x ? 1 , 则应有 ? 2 (1) 或? 2 (2) , ? ? ? a ? 3a ? 3 ? k ? 1 ?a ? 3a ? 3 ? 3 ? 1 ?a ? 2 * 由于 a ? N ,所以(1)式无解,解(2)式得: ? 。故选 D。 ?k ? 5

考点:映射。 7. 【答案】B 【解析】解:∵f(x+4)=f(x), ∴f(2015)=f(504×4﹣1)=f(﹣1), 又∵f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故选 B. 【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用,属于基础题. 8. 【答案】 C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=1 S=2,i=2

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不满足条件,S=2+4=6,i=3 不满足条件,S=6+8=14,i=4 不满足条件,S=14+16=30,i=5 不满足条件,S=30+32=62,i=6 不满足条件,S=62+64=126,i=7 由题意,此时应该满足条件,退出循环,输出 S 的值为 126, 故判断框中的①可以是 i>6? 故选:C. 【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这 一模块最重要的题型,属于基本知识的考查. 9. 【答案】C 【解析】解:∵b=
2 2

,c=3,B=30°,
2 2 ,整理可得:a ﹣3

2 ∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,可得:3=9+a ﹣3

a+6=0,

∴解得:a= 故选:C.

或2



10.【答案】B 【解析】解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a,b 都不能被 5 整除”. 故选:B. 11.【答案】D 【解析】解:抛物线 x=﹣4y 即为 y2=﹣ x, 可得准线方程为 x= 故选:D. 12.【答案】A 【 解 析 】 .
2

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二、填空题
13.【答案】10 【解析】 m 的分解规律恰好为数列 1,3,5,7,9,…中若干连续项之和, 2 为连续两项和, 3 为接下来三 项和,故 m 的首个数为 m ? m ? 1 .
3 2 3
3

3

∵ m3 (m ? N? ) 的分解中最小的数为 91,∴ m ? m ? 1 ? 91 ,解得 m ? 10 .
2

14.【答案】 63 .

【解析】解:∵第一圈长为:1+1+2+2+1=7 第二圈长为:2+3+4+4+2=15 第三圈长为:3+5+6+6+3=23 … 第 n 圈长为:n+(2n﹣1)+2n+2n+n=8n﹣1 故 n=8 时,第 8 圈的长为 63, 故答案为:63. 【点评】本题主要考查了归纳推理,解答的一般步骤是:先通过观察第 1,2,3,…圈的长的情况发现某些相 同性质,再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论,最后将一般性结论再用于特殊情形. 15.【答案】 ? 【解析】

2 7 . 7

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考点:向量的夹角. 【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1) 求平面向量的数量积有三种方法: 一是定义 a ? b ? a b cos ? ; 二是坐标运算公式 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ;

三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 16.【答案】 . , ),(3, ),可得 A、B 的直角坐标分别是(3,

【解析】解:根据点 A,B 的极坐标分别是(2 )、(﹣ , 故 AB 的斜率为﹣ ), ,故直线 AB 的方程为 y﹣ =

=﹣

(x﹣3),即 x+3

y﹣12=0,

所以 O 点到直线 AB 的距离是 故答案为: .



【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 17.【答案】A 【 解 析 】

18.【答案】a=

,b=



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【解析】解:由 5,10,17,a﹣b,37 知, a﹣b=26, 由 3,8,a+b,24,35 知, a+b=15, 解得,a= 故答案为: ,b= , ; .

【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:由复数相等的条件,得 解得 或 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

【点评】本题考查复数相等的条件,以及方程思想,属于基础题. 20.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数,
3 3 ∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax ﹣bx+c=﹣ax ﹣bx﹣c,∴c=0. 2 ∵f′(x)=3ax +b 的最小值为﹣12,∴b=﹣12.

又直线 x﹣6y﹣7=0 的斜率为 ,则 f′(1)=3a+b=﹣6,得 a=2, ∴a=2,b=﹣12,c=0;
3 2 (2)由(1)知 f(x)=2x ﹣12x,∴f′(x)=6x ﹣12=6(x+

)(x﹣

), ( ,+∞) + 增

列表如下: x

(﹣∞,﹣ ) + 增 )=﹣8

﹣ 0 极大 ,f(3)=18,

(﹣ ) ﹣ 减 )和(

, 0 极小 ,+∞). )=﹣8 .

f′(x) f(x) ∵f(﹣1)=10,f(

所以函数 f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣

∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f(

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?10t , 0 ? t ? 0.1 ? 21.【答案】(1) y ? ? 1 t ?0.1 ;(2)至少经过 0.6 小时才能回到教室。 ( ) , x ? 0.1 ? ? 16
【解析】 试题分析:(1)由题意:当 0 ? t ? 0.1 时,y 与 t 成正比,观察图象过点 ? 0, 0 ? , (0.1,1) ,所以可以求出解析

1 1 t ?a 1 1 0.1? a 时,y 与 t 的函数关系为 y ? ( ) ,观察图象过点 ( ,1) ,代入得: 1 ? ( ) , 10 16 10 16 ?10t , 0 ? t ? 0.1 1 t ?0.1 ? 所以 a ? 0.1 ,则解析式为 y ? ( ) ,所以含药量 y 与 t 的函数关系为: y ? ? 1 t ?0.1 ;(2)观 16 ( ) , x ? 0.1 ? ? 16
式为 y ? 10t ,当 t ? 察图象可知,药物含量在 ?0,0.1? 段时间内逐渐递增,在 t ? 0.1 时刻达到最大值 1 毫克,在 t ? 0.1 时刻后,药 物含量开始逐渐减少,当药物含量到 0.25 毫克时,有 ( 所以至少要经过 0.6 小时,才能回到教室。 试题解析:(1)依题意,当 易求得 k=10,∴ y=10t, ,可设 y 与 t 的函数关系式为 y=kt,

1 t ?0.1 1 ) ? 0.25 ? ,所以 t ? 0.1 ? 0.5 ,所以 t ? 0.6 , 16 4

∴ 含药量 y 与时间 t 的函数关系式为

(2)由图像可知 y 与 t 的关系是先增后减的,在 然后 时,y 从 1 开始递减。 ∴

时,y 从 0 增加到 1; ,解得 t=0.6,

∴至少经过 0.6 小时,学生才能回到教室 考点:1.分段函数;2.指数函数;3.函数的实际应用。 22.【答案】
2 2 【解析】解:(1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0

2 2 圆的方程为 x +y ﹣8y﹣9=0…

(2)直线 CD 与圆 M 相切 O、D 分别是 AB、BR 的中点

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则 OD∥AR,∴∠CAB=∠DOB,∠ACO=∠COD, 又∠CAO=∠ACO,∴∠DOB=∠COD 又 OC=OB,所以△BOD≌△COD ∴∠OCD=∠OBD=90° 即 OC⊥CD,则直线 CD 与圆 M 相切. … (其他方法亦可)

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 代入椭圆方程得 整理得 . ① , . , ,

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,等价于①的判别式△= 解得 或 .即 k 的取值范围为

(Ⅱ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 由方程①, 又 而 . ② . ③ .

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所以



共线等价于 . ,



将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知 或

故没有符合题意的常数 k. 【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质,2 个向量共线的条件,体现了转化的数学而思想,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解:(1)由等差数列通项公式可知:an=2+(n﹣1)2=2n, 当 n=1 时,2b1=a1=2,b4=a8=16,…3 设等比数列{bn}的公比为 q,则 ∴q=2,…5 ∴ …6 (2)由(1)可知:log2bn+1=n…7 ∴ ∴ ∴{cn}的前 n 项和 Sn,Sn= .…12 , …9 ,…4

【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式,等比数列性质,考查“裂项法”求数列的前 n 项和,考查计算 能力,属于中档题.

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