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2015-2016高中数学 第三章 函数的应用阶段质量评估 新人教A版必修1

阶段质量评估(三)

函数的应用

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知下列四个函数图象,其中能用“二分法”求出函数零点的是( )

解析:由二分法的定义易知. 答案:A 2.已知 f(x)是偶函数,且方程 f(x)=0 有四个实根,则这四个实根之和为( A.4 C.1 B.2 D.0 )

解析:因为 f(x)为偶函数,故其实数根成对出现,且两两之和为 0. 答案:D 3. 已知 f(x)=3ax+1-2a, 设在(-1,1)上存在 x0 使 f(x0)=0, 则 a 的取值范围是( 1 A.-1<a< 5 1 C.a> 或 a<-1 5 解析:∵f(x)是 x 的一次函数, 1 ∴f(-1)?f(1)<0? a> 或 a<-1. 5 答案:C 4.下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函数 y=f(x)-1 没有零点的是( ) 1 B.a> 5 D.a<-1 )

1

解析:把 y=f(x)的图象向下平移 1 个单位后,只有 C 项中图象与 x 轴无交点. 答案:C 5.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度 h(cm)与燃 烧时间 t(小时)的函数关系用图象表示为( )

解析:本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得 h=20-5t(0≤t≤4),故选 B. 答案:B 6.已知 x0 是函数 f(x)=e +2x-4 的一个零点,若 x1∈(-1,x0),x2∈(x0,2),则下列 选项正确的是( )
x

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析:本题考查函数的单调性以及零点的概念,零点存在性定理的应用.∵f(0)=e
1 0

+2?0-4=-3<0,f(1)=e +2?1-4=e-2>0,∴f(0)f(1)<0,又易知 f(x)=e +2x-4 在 R 上是增函数,所以 x0∈(0,1),根据 f(x)的单调性,得 f(x1)<f(x0)=0,f(x2)>f(x0)= 0,故选 B. 答案:B 7.已知函数 f(x)=a -3(a>0,且 a≠1),f(x0)=0,若 x0∈(0,1),则实数 a 的取值范 围是( ) B.(1,2) D.(3,+∞)
x

x

A.(0,1) C.(2,3)

解析:本题以函数零点为载体,考查指数函数、对数函数的图象和性质.由 f(x0)=0, 得 ax0-3=0, ∴x0=loga3,又 x0∈(0,1),∴0<loga3<1,解得 a>3,故选 D. 答案:D 8.有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形
2

场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),若围墙厚度不计,则围成的 矩形最大面积为( )

A.2 000 m C.2 800 m

2

B.2 500 m D.3 000 m

2

2

2

解析:本题考查结合几何图形建立函数模型的能力.如图所示设矩形的一边长为 x m, 则矩形的另一边长为 (200-4x)m,记矩形面积为 S,则 S=x(200-4x)=-4(x-25) +2 500(0<x<50),∴当 x=25 时,S 取得最大值,Smax=2 500 m ,故选 B. 答案:B 9. 如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图, 用下列哪个函数模型拟合红 豆生长时间与枝数的关系最好( )
2 2

A.指数函数:y=2

t

B.对数函数:y=log2t C.幂函数:y=t
3

D.二次函数:y=2t

2

解析: 本题考查指数函数模型, 根据图象中的点, 经验证用指数函数模型拟合效果最好, 故选 A. 答案:A
?x +bx+c,x≤0 ? 10.设函数 f(x)=? ?3,x>0 ?
2

,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则函数 y

=f(x)-x 的零点的个数为( A.1 C.3

) B.2 D.4
3

解析: 本题主要考查二次函数、 分段函数、 函数零点及求法. f(-4)=f(0)? b=4, f(-
?x +4x+2,x≤0 ? 2)=-2? c=2, ∴f(x)=? ?3,x>0 ?
2

, 当 x≤0 时, 由 x +4x+2=x 解得 x1=-1,

2

x2=-2;当 x>0 时,x=3.所以函数 y=f(x)-x 的零点个数为 3,故选 C.
答案:C 11.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(a>b), 若 f(x)的图象如图所示, 则函数 g(x)=a +b 的图象是( )
x

解析:本题主要考查二次函数、指数函数的图象和性质.由 f(x)的图象知,f(x)=(x -a)(x-b)的两个零点为 a,b 满足 0<a<1,b<-1,所以 g(x)=a +b 的图象是 A. 答案:A 12.如图 1,动点 P 从直角梯形 ABCD 的直角顶点 B 出发,沿 B― →C― →D― →A 的顺序运 动,得到以点 P 运动的路程 x 为自变量,△ABP 的面积 y 为因变量的函数的图象,如图 2, 则梯形 ABCD 的面积是( )
x

A.96 C.108

B.104 D.112

解析:本题考查应用函数图象求解的能力.从图 2 可看出,BC=8,CD=10,DA=10, 1 在图 1 中,过 D 作 AB 的垂线,垂足为 E,可推得 AE=6,AB=16,所以梯形的面积为 (DC 2 1 +AB)?BC= (10+16)?8=104,故选 B. 2 答案:B
4

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 1-x 13.函数 f(x)= 的零点是______. 1+x 1-x 解析:由 f(x)=0,即 =0,得 x=1, 1+x 即函数 f(x)的零点为 x=1. 答案:x=1 14.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后, 血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全 法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾 驶员,至少经过______ 小时才能开车.(精确到 1 小时) 解析:设至少经过 x 小时才能开车,由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09,∴0.75 ≤0.3,
x x
2 2

x≥log0.750.3≈5.
答案:5 15.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面 积之和的最小值是________. 解析:设一个正三角形的边长为 x, 则另一个正三角形的边长为 两个正三角形的面积和为 12-3x =4-x, 3

S=


3 2 3 x + (4-x)2 4 4

3 2 [(x-2) +4](0<x<4). 2
2

当 x=2 时,Smin=2 3(cm ). 答案:2 3 cm
2

16.已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的方程 f(x)=

2

c(c∈R)有两个实根 m,m+6,则实数 c 的值为______.
解析:本题主要考查一元二次方程根的求法以及根与系数的关系,考查学生分析问题、 解决问题的能力.由题意知 f(x)=x +ax+b=?x+ ? +b- .∵f(x)的值域为[0,+∞), 4 ? 2?
2

?

a?2

a2

∴b- =0,即 b= ,∴f(x)=?x+ ? . 4 4 ? 2?

a2

a2

?

a?2

5

又∵f(x)=c,∴x=- ± c, 2

a

a ? ?-2- ∴? a ?-2+ ?

c=m ①
.

c=m+6 ②

由②-①得 2 c=6,∴c=9. 答案:9 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x -3x-10 的两个零点为 x1,x2(x1<x2),设 A ={x|x≤x1,或 x≥x2},B={x|2m-1<x<3m+2},且 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 解:A={x|x≤-2,或 x≥5}. 2m-1≥-2, ? ? 要使 A∩B=?,必有?3m+2≤5, ? ?3m+2>2m-1, 1 m≥- , ? ? 2 解得? m≤1, ? ?m>-3, (2 分)
2

或 3m+2≤2m-1,

(5 分)

或 m≤-3,

(8 分)

1 即- ≤m≤1,或 m≤-3. 2 所以 m 的取值范围为
? ? ? 1 ?m?- ? ? ? 2

(10 分)

≤m≤1或m≤-3?.
? ?

? ?

(12 分)

18.(本小题满分 12 分)如图直角梯形 ABCD 的两底边分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD= 45°,直线 MN⊥AD 于 M,交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的 面积 y 表示为 x 的函数.

解:①当点 N 在 BC 上时 y=(2a-x)?a(a<x≤2a);

(4 分)

6

3a 1 2 ②当点 N 在 AB 上时 y= - x (0<x≤a). 2 2 3 1 ? ? a2- x2 ?0<x≤a? 2 综上,有 y=?2 2 ? ?2a -ax ?a<x≤2a?.
2

2

(8 分)

(12 分)

19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3 和 2. (1)求 f(x); (2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f(x)的值域. 解:(1)∵f(x)的两个零点是-3 和 2, ∴函数图象过点(-3,0)、(2,0). ∴有 9a-3(b-8)-a-ab=0, 4a+2(b-8)-a-ab=0, ①-②得 b=a+8. ③代入②得 4a+2a-a-a(a+8)=0,即 a +3a=0. ∵a≠0,∴a=-3.∴b=a+8=5. ∴f(x)=-3x -3x+18. (2)由(1)得 f(x)=-3x -3x+18
2 2 2

(2 分) ① ② ③ (4 分)

(6 分)

? 1?2 3 =-3?x+ ? + +18, ? 2? 4
1 图象的对称轴方程是 x=- . 2 又 0≤x≤1, ∴fmin(x)=f(1)=12,

(8 分) (9 分)

fmax(x)=f(0)=18.
∴函数 f(x)的值域是[12,18].

(11 分) (12 分)

20.(本小题满分 12 分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳 含量达到了危险状态, 经抢修排气扇恢复正常. 排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm,继续排气 4 分钟,又测得浓渡为 32 ppm,经检验知该地下车库一氧化碳浓度 y(ppm)

?1?mt 与排气时间 t(分钟)存在函数关系:y=c? ? (c,m 为常数). ?2?
7

(1)求 c,m 的值; (2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车 库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?

?1? ? ? ?64=c? ?2? 解:(1)由题意可得方程组? ?1? ? ? ?32=c? ?2?
1 解之得 c=128,m= . 4

4m

(2 分)

8m

(5 分)

?1? t 所以 y=128?? ?4 . ?2?
1 ?1? t (2)由题意可得不等式 y=128?? ?4 ≤0.5, ?2? 1 ?1? t ?1?8 即? ?4 ≤? ? ,即 t≥8,解得 t≥32. 4 ?2? ?2? 1

1

(6 分)

(8 分)

(11 分)

所以至少排气 32 分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.(12 分) 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x +ax+1(a>0). (1)设函数 g(x)=(3x+1)f(x), 若 y=g(x)与 x 轴恰有两个不同的交点, 试求 a 的取值 集合; 1 1 ? ?2f?x?-2x +2?x≤2? (2)设函数 h(x)=? f?x? 1 ?x> ? ? ? x 2
2 2

, 若函数 M(x)=h(x)-a 有三个不

2

同的零点,求 a 的取值范围. 解:(1)因为 g(x)=(3x+1)(x +ax+1)与 x 轴恰有两个不同的交点. 1 2 所以①方程 x +ax+1=0 有两个相等的实根,且不为- , 3 则 a=±2,又 a>0,故 a=2. 1 2 ②方程 x +ax+1=0 有两个不等的实根,且其中一个根为- , 3 1? ? ? 1? ?? ?-3?2+a??-3?+1=0 ? ? ? ? 则? 2 ? ?Δ =a -4>0
? 10? 综上,a 的取值集合为?2, ?. 3? ?
2

(2 分)

10 ,解得 a= . 3

(5 分)

8

1 5? 1? 2f?x?-2x + =2ax+ ?x≤ ?, ? ? 2 2? 2? (2)h(x)=? f?x? 1 ? 1? =x+ +a?x> ?, ? ? x x ? 2?
2

若 M(x)=h(x)-a 有三个不同的零点, 即直线 y=a 与曲线 y=h(x)有三个不同的交点. 5 5 1 又 2ax+ 单调递增且最大值为 a+ ,同时 x+ +a≥2+a, 2 2 x 5 2 结合 y=h(x)的图象,得 2+a<a <a+ , 2 1+ 11 解得 2<a< , 2 (9 分)

2

2

? 1+ 11? 所以 a 的取值范围是?2, ?. 2 ? ?

(12 分)

22.(本小题满分 14 分)辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市.通过市场 调查,得到该纪念章每 1 枚的市场价 y(单位:元)与上市时间 x(单位:天)的数据如表: 上市时间 x 天 市场价 y 元 4 90 10 51 36 90

(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价

y 与上市时间 x 的变化关系:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx;
(2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格; (3)设你选取的函数为 f(x),若对任意实数 k,方程 f(x)=kx+2m+120 恒有两个相异 的零点,求 m 的取值范围. 解:(1)∵随着时间 x 的增加,y 的值先减少后增加,而所给的三个函数中 y=ax+b 和

y=alogbx 显然都是单调函数,不满足题意,
∴y=ax +bx+c 最合适. (2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入方程,
2

(3 分)

a?4 +4b+c=90 ? ? 2 得?a?10 +10b+c=51, ? ?a?362+36b+c=90
1 a= ? ? 4 解方程组,得? b=-10 ? ?c=126

2



(6 分)

1 2 1 2 ∴y= x -10x+126= (x-20) +26, 4 4

9

∴当 x=20 时,y 有最小值,ymin=26. 故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为 20,最低价格为 26 元. (8 分)

1 2 1 (3)由(2)知 f(x)= x -10x+126,又∵f(x)=kx+2m+120 恒有两个相异的零点,则 4 4

x2-(k+10)x+6-2m=0 恒有两个相异的实根,
1 2 ∴Δ =[-(k+10)] -4? (6-2m)>0 恒成立, 4 即 2m>-(k+10) +6 对 k∈R 恒成立,而-(k+10) +6≤6, ∴只需 2m>6,即 m>3. 故 m 的取值范围为(3,+∞). (14 分)
2 2

10


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