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E平面几何性质


I 平面图形的几何性质
z

y

dA

?

z

O

y

S z ? ? yd A
A

S y ? ? zd A
A

y dA

定义为图形对z轴和y轴的静矩 z
Iz ?

?A y
2 A

2

y
dA

dA

I y ? ? z dA

y dA

2

z

O 定义为图形对z轴和y轴的惯性矩

y

z

yz d A

y

dA

?2 dA
I yz ? ? yz d A
A

?
O

z

y

定义为图形对y、z轴的惯性积
    I p ? ? ? d A
2 A

定义为图形对O点的极惯性矩

S z ? ? yd A
A

S y ? ? zd A
A

图形对z轴和y轴的静矩

Iz ? ? y dA
2 A

I y ? ? z dA
2 A

图形对z轴和y轴的惯性矩

I yz ? ? y zd A
A

图形对y、z轴的惯性积
图形对O点的极惯性矩

I p ? ? ? dA
2 A

§I-2 静矩和形心

Sz ? ? y d A
A
A

z

y
yC
C

S y ? ? zd A
形心坐标:

dA

zC

z

yC zC

? ? ? ?

A

yd A A zd A A

O
静矩和形心坐标之间的关系:

y

A

Sy Sz yC ? ,  zC ? A A

例:计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y
轴和z轴的静矩,并确定图形的形心坐标。

z
2 ? y ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?

O

y

2 ? ? z 1 y 4bh 解: 2 S y ? ? dA ? ? h ? 1 ? 2 ? d y? 2 2 ? 15 b ? A 0

b

2

2

z

2 ? y2 ? b h S z ? ? y dA ? ? yh? 1 ? 2 ? d y ? 4 ? b ? A 0

b

h
O

? y2 ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?

y b

dy

y

4bh Sy ? 15
2

2

2 ? y ? 2bh A ? ? d A ? ? h? 1 ? 2 ? d y ? 3 b ? 0 ? A

b

bh 形心坐标为: Sz ? 2 4 bh 2 z ? y ? Sz 3b z ? h? 1 ? 2 ? 4 y ? ? ? C b ? ? A 2bh 8 3 h 2 4bh Sy 2h 15 y O d y y zC ? ? ? 2bh A 5 b 3

例:确定图示图形形心C的位置。

S z 10 ? 120 ? 5 ? 70 ? 10 ? 45 解: yC ? ? ? 19.7 mm A 1200 ? 700

10 ? 120 ? 60 ? 70 ? 10 ? 5 zC ? ? ? 39.7 mm A 1200 ? 700 Sy

例:求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。

解:

2 ? S ? z ? A b h ? h y ? ?h ? 2? C ?a ? S y ? ? ( ? a) / 2 ? a ? ? b ? ? ? a ? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? 2? 4

§I-3 惯性矩、极惯性矩和惯性积
一、惯性矩

Iz ? ? y dA
2 A

z
dA

I y ? ? z dA
2 A

I y ? Ai y 或i y ?
2

Iy A
Iz A

y
z

I z ? Aiz 或  iz ?

2

O

y

i y 、i z 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径

二、极惯性矩

z

I p ? ? ? dA
2 A

y

dA

? ?2 ? y2 ? z2

?

z
? I p ? I y ? Iz

O

y

例:求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。

Ip ?

?d 4
32

I y ? Iz ? I p I y ? Iz

例:求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。

解:

Iy ? ?

A

bh z dA ? ? z bdz ? 12 ?h/2
2
2

h/2

3

dz
z

三、惯性积

z

y

dA

z

O
I yz ? ? yz d A
A

y

如果所选的正交坐标轴中,有一个坐标轴是对称 轴,则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。

I yz ? 0

z
dA dA

y
I yz ? ? yz d A
A

几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐 标轴y0、z0的惯性积 Iyozo=0时,则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。

因此,具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的

惯性矩称为主惯性矩。

(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主

惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

§I-4 平行移轴公式

z

zc

y
a

yc dA zc

y ? yc ? a z ? zc ? b
yc

C

b
O

z

y

I z ? ? y dA , I y ? ? z dA , I y z ? ? yz dA
2 2 A A A

I zc ? ? yc dA , I yc ? ? zc dA , I yc zc ? ? yc zc dA
2 2 A A A

y ? y c ? a , z ? zc ? b
I z ? ? y dA
2 A

? ? ( y c ? a ) dA
2 A

? ? yc dA ? 2a ? yc dA ? a 2 ? dA
2 A A A

? I zc ? a A

2

z a

zc

C
b
O
I z ? I zc ? a A
2

yc

y

平行移轴公式:

Iy ? Iy ?b A
2
C

Iz ? Iz ? a A
2
C

I yz ? I y z ? abA
C C

§I-5 转轴公式主惯性轴和主惯性矩

? y1 ? y cos? ? z sin ? ? ?z1 ? ? y sin ? ? z cos?

I y1 ? ? z1 dA
2 A

? ? ( ? y sin ? ? z cos? ) dA
2 A

? I z sin ? ? I y cos ? ? I yz sin 2?
2 2

?

I y ? Iz 2

?

I y ? Iz 2

cos 2? ? I yz sin 2?

转轴公式:

Iy ? Iz Iy ? Iz ? ? cos 2? ? I yz sin 2? ?I y ? 2 2 ? ? ? I y ? Iz I y ? Iz ? ? cos 2? ? I yz sin 2? ?I z ? 2 2 ? ? ? ? I ? I y ? I z sin 2? ? I cos 2? yz ? yz 2 ?
1 1 1 1

主惯性轴方位:

设正交坐标轴y0 、z0 是主惯性轴,其方位 角为? 0 ,则

I y0z0 ?

I y ? Iz 2

sin 2? 0 ? I yz cos 2? 0 ? 0

tan2? 0 ? ?

2 I yz I y ? Iz

主惯性矩公式:
2 ? I y ? Iz I y ? Iz ? ? 2 ?I y ? ? ? ? ? I yz 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?I ? I y ? Iz ? ? I y ? Iz ? ? I 2 ? ? yz ? z0 2 ? 2 ? ?

或简写成:
I y0 I z0 ? I y ? Iz 2 ? I y ? Iz ? 2 ? ? ? I ? yz ? 2 ?
2

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩
大小的步骤: 1)找出形心位置; 2)通过形心C建立参考坐标 yoz,求出 Iy、Iz、Iyz

3)求α 0、Iy0、Iz0

例:求图示平面图形形心主惯性轴的方位 及形心主惯性矩的大小。 P86: 7(b)

CL6TU13

将原平面图形分成上中下三个 解: 矩形。过形心建立参考坐标系yCz
I y ? 2 I y1 ? I y2

3 ? 40 ? 53 ? 5 ? 60 2 ? 2? ? 40 ? 5 ? 27.5 ? ? 12 ? 12 ?

? 393333 mm ? 39.33cm
I z ? 2 I z1 ? I z2

4

4

3 ? 5 ? 40 3 ? 60 ? 5 2 ? 2? ? 40 ? 5 ? 22.5 ? ? 12 ? 12 ?

? 256458 mm 4 ? 25.65 cm 4
I yz ? 2 I yz1 ? 2?40 ? 5 ? 27.5 ? 22.5? ? 247500 mm ? 24.75cm
4 4

2 ? 24.75 由 tan 2? 0 ? ? ?? ? ?3618 . I y ? Iz 39.33 ? 2565 . 2 I yz
得形心主惯性轴的方位角 ? 0 ? ?37.3? 或 52.7?
形心主惯性矩的大小为: I y0 I z0 ? I y ? Iz 2 58.2 ? I y ? Iz ? 2 4 ? ? ? I ? cm ? yz ? 2 ? 6.81
2


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