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广州中大附中2013届高一上学期期中考试(数学)


广州中大附中 2013 届高一上学期期中考试 数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-10 题,共 50 分,第Ⅱ卷为 11-21 题,共 100 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、 答第一卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卷上。 2、 选择题和填空题都在答题卷上作答,不能答在试题卷上。 3、 要求书写工整,字迹清楚,不能使用计算器。 第Ⅰ卷(本卷共 50 分) 一.选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? {1 2,4, ,集合 A ? {1,3} , B ? {3, 4,5} ,则集合 Cu ( A ? B) ? ,3,5} A. {3} 2.函数 y ? B. {4,5} C. {1 2, 5} , 4, D. {3, 4,5}

x ? 2 的定义域是:
B. [2, ??) C. (??, 2) D. (??, 2]

A. (2, ??)

3.下列函数是偶函数的是:
1

A. y ? x

B. y ? x 2

C. y ? 2 x 2 ? 3

D. y ? x 2 , x ? [0,1]

4.图中的图象所表示的函数的解析式为:

3 | x ?1| (0≤x≤2) 2 3 3 B. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 C. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
A. y ? D. y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)

5.下列四组函数中表示相等函数的是: A . f ( x) ?

x 2 与 g ( x) ? x

B . f ( x) ? x 与

g ( x) ?

x2 x
2

C. f ( x) ? ln x 与 g ( x) ? 2 ln x

x D. f ( x) ? loga a (a > 0 , a ? 1) 与 g ( x) ? 3 x 3

x 6.设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得

x

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间:
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2)
?x

D.不能确定

7. 当 a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a 与 y ? log a x 的图象是:

?1? 8.设 a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则: ? 3? 2
1

0.2

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

9.若奇函数 f ?x ? 在 ?1,3?上为增函数,且有最小值 7,则它在 ?? 3,?1? 上: ... ... A. 是减函数,有最小值-7 C. 是减函数,有最大值-7 B. 是增函数,有最小值-7 D. 是增函数,有最大值-7

10 . 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, ?b, a ? b ? 1.

设 函 数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是: A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? 2? ? ?

B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? ? 4?

C. ? ?1, ? ? ? , ?? ?

? ?

1? 4?

?1 ?4

D. ? ? 1,? ? ? ? ,?? ? 4 4

? ?

3? ?

?1 ?

? ?

第Ⅱ卷(本卷共计 100 分) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知 ( x , y ) 在映射 f 下的对应元素是 ( x ? y, x ? y) ,则 (4, 6) 在映射 f 下的对应元素 是 。

12.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0
2 ?x , x ? 0

,则 f [ f (?2)] 的值为



13.方程 log1 x ? 2 ? x 2 的解的个数为
2

个。

14.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件:① f ( x) ? f (? x) ? 0 ; ② f ( x ? 2) ? f ( x) ;③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ?

3 x ,则 f ( ) ? 2 2



x 15 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ( ) 的 图 象 与 函 数 g ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 令

1 2

h( x) ? g (1? | x | ) ,则关于函数 h(x) 有下列命题:
① h(x) 的图象关于原点对称; ② h(x) 为偶函数; ③ h(x) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 ④ h(x) 在(0,1)上为减函数. 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 已知全集 U ? R , 集合 A ? ?x | 2 x ? 3 ? x?, 集合 B ? ?x | log2 x ? 1? ; (1)求集合 A 、 B ; (2)求 A ? ?CU B ? .

17. (本题满分 12 分)求下列各式的值:

?1? ? 0.25? ? 83 ? 4 163 ? 2log2 3
?2

2

? 2 ? lg16 ? 3lg 5 ? lg 5

1

. 18. (本题满分 14 分)判断函数 f ( x) ? x ?

1 在 (0,1) 上的单调性,并给出证明. x

19. (本题满分 14 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型 产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。

已知投资 1 万元时,两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图)

?1? 分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 ? 2 ? 该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收
益,其最大收益是多少万元?

y
0.12 5 0 1

y

x

0 . 5 0



x

20. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 幂 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 经 过 点 (2, 4) , 对 于 偶 函 数

y ? g ( x)( x ? R) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ? 2 x 。

?1? 求函数 y ?

f ( x) 的解析式;
的图象;

? 2 ? 求当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) 的解析式,并在给定坐标系下,画出函数 y ? g ( x) ? 3? 写出函数 y ? g( x) 的单调递减区间。
21.(本小题满分 14 分)函数 f ? x ? 的定义域 D ? ?x | x ? 0? ,且满足对任意 x1 , x2 ? D. 有: f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?

?1? 求 f ?1? , f ? ?1? 的值。 ? 2 ? 判断 f ? x ? 的奇偶性并证明 ? 3? 如果 f ? 4? ? 1 , f ?3x ?1? ? f ? 2x ? 6? ? 3 ,且 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数,求 x 的
取值范围。

参考答案
一.选择题:

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

三、解答题:

19.解(1)设 f ?x ? ? k1 x , g ?x? ? k 2 x 所以 f ?1? ?

…………………2 分

1 1 ? k1 , g ?1? ? ? k 2 8 2 1 1 g ?x ? ? x ?x ? 0? 即 f ? x ? ? x? x ? 0 ? 2 8
依题意得: y ? f ? x ? ? g ?20 ? x ? ?

……………5 分

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为( 20 ? x )万元

x 1 ? 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 8 2

…………10

分 令t ?

20 ? x 0 ? t ? 2 5

?

?

, 则y?

20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8
…………14 分

所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元


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