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2014年高一数学必修2考试题(2)


2014 年高一数学必修 2 考试题(2)
注意事项:1.试卷分主观题和客观题两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.做题时全部在答 题卷对应位置处作答. 2.参考公式:圆台的侧面积 S ? ? (r1 ? r2 )l 球的表面积 S ? 4?R
2

体积 V ?

1 ( S1 ? S 2 ? S1 S 2 )h 3

体积 V ?

4 3 ?R 3
) 正视图 侧视图

一.选择题(本大题共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分) 1. 如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是( A. 圆柱 B. 圆台 ) 俯视图 C. 圆锥

D. 棱台

2..下列命题正确的是(

A、有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B、有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C、用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D、有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的 几何体叫棱柱 3..长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3 , 3 , 6 ,这个长方体它的八个顶点都在同一 个球面上,这个球的表面积是 ( A.12π B. 18π ) C.36π D. 6π )

4. 已知一个圆锥的母线长为 2,它的侧面展开图为半圆,则这个圆锥的体积为( A.

3?

B.

3 ? 2

C.

1 ? 3

D.

3 ? 3

5.设 a,b,c 表示三条不同的直线,M 表示平面,给出下列四个命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 b ? M,a∥b,则 a∥M; ③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b; 其中正确命题的个数有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 )倍 ④若 a // c ,b // c ,则 a∥b. ( )

6. 若一个三角形采用斜二测画法作直观图,则直观图的面积是原来三角形面积的( A.

2 4

B.

2 2

C.

1 2

D. 2

7. 如图(下左图) ,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形。 如果直角三角形的直角边的长为 1,那么这个几何体的体积为( A、 ) D、 1

1 6

B、

1 2

C、

1 3

1

D1 A1 正视图 侧视图 D A 第8题 俯视图 B B1

C1

C

8.如图(上右图) ,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB ? 3 , BC ? CC1 ? 直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值是 ( A、
2 8

3, ,那么异面
3

) C、
2 4

B、

3 8

D、

3 4
4

9. 右图 2 为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图 为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为( A.6 B.24 C.12 3 ) D.32
正视图 侧视图

10.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则它的侧视图的面积为(



1 2 1 1
正视图

1
俯视图 图2
俯视图

2

2

2

(10 题) D.

A.

3 2

B.

5 2

C.

3 2

5 2

二.填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 11. 一个圆台的两底面的面积分别为 ? , 16? ,侧面积为 25? ,则这个圆台的高为_____ 12.已知一个圆柱的侧面展开图是边长 12 cm 和 8 cm 的矩形,则这个圆柱体积最大时的体积 为________________ cm . 13.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
3

①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60° ; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为________.(写出所有符合要求的图形序号) 14.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,
2

能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)

三.解答题(本大题共 6 题,共 80 分) 15.(本题满分 12 分)如图下(左)的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面 体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm). (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

(15 题)

(16 题)

16.(本题满分 12 分)如上图(右)所示,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,E、F 依次是 AB、AC 的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D、H、G 为垂足,若将△ABC 绕 AD 旋转 一周,求阴影部分形成的几何体的表面积.

17.(本题满分 14 分)如图所示,三棱锥 O ? ABC 中, OA ? OB ? OC ? 2 ,且,OA、OB、 OC 两两垂直(每两条都垂直). (1)求三棱锥 O ? ABC 的体积; (2)求三棱锥 O ? ABC 的高( O 点到平面 ABC 的距离) ; (3)求三棱锥 O ? ABC 外接球的表面积(三棱锥 O ? ABC 四个顶点都在球面上).

3

S

A
D1 C1

A1

D

B1

O

C

C
A

B

(17 题)

B

(18 题)

18. ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 所 示 , 正 四 棱 台 ABCD ? A1 B1C1 D1 是 由 一 个 正 三 棱 锥

S ? ABCD (底面为正方形,顶点在底面上的射影为底面正方形的中心)被平行于底面的
平面截所得.已知正四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 下底面边长为 2,上底面边长为 1,高为 2. (1)求四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积; (2)求正三棱锥 S ? ABCD 的体积; (3)证明: AA1 // 平面 BDC1 19.(本题满分 14 分)如图(下左图) ,在直三棱柱(侧棱垂直于底面) ABC ? A1 B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点 . (1)求异面直线 BC 与 AC1 的夹角; C1 A1 B1 (2)求证: AC1 // 平面 CDB1

C A D B

20. ( 本 题 满 分 14 分 ) 平 面 四 边 形 A B E D , O 在 线 段 AD 上 , 且 中

OA ? 1 , OD ? 2 , ?OAB , ?ODE 都是正三角形. 将四边形 ABED 沿 AD 翻折后,使点 B
落在点 C 位置,点 E 落在点 F 位置,且 F 点在平面 ABED 上的射影恰为线段 OD 的中点 (即垂线段的垂足点) ,所得多面体 ABEDFC ,如图所示(上右图). (1)求棱锥 F—OED 的体积; (2)证明: BC ∥ EF ;

4

数学答案
一.BDADB 二.11. 4 AACBC 12.

288

?

13. (1) (3)

14. (1) (3)

三.15.解 (1)如图所示.…………6

(2)所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥 1 ?1 284 ? 3 =4×4×6- ×? ×2×2?×2= (cm ).………………12 2 3 ? 3 ? 16. 解:几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,………1 由已知课得圆柱的底半径为 1,高为 3 …………………4 ∵S 圆锥表=π R +π Rl=4π +8π =12π , …………………8 S 圆锥侧=2π rl=2π ·DG·FG=2 3π ,……………………11 ∴所求几何体的表面积为 S=S 锥表+S 柱侧=12π +2 3π =2(6+ 3)π …………12 17.解(1) VO ? ABC ? V A?OBC ?
2

1 4 S ?OBC ? OA ? …………………4 3 3

(2)设三棱锥 O ? ABC 高为 h , 由已知可得 AB ? BC ? CA ? 2 2 …………………5

? S ?ABC ? 2 3 …………………………7
由 VO ? ABC ? 得h ?

1 4 S ?ABC ? h ? 3 3

2 3 3 2 3 …………………9 3

?三棱锥 O ? ABC 的高为

(3)以 OA 、 OB 、 OC 的棱将三棱锥 O ? ABC 补为一个长方体如图所示, 则三棱锥 O ? ABC 的外接球就是该长方体的外接球,……………10 外接球直径 2 R ? 2 3 ,即 R ?

3 …………………………13

5

球的表面积为 S ? 4?R ? 12? ……………………………14
2

S
A
D1 C1

A1

D
O C

B1

C

O
B

A

B

18.解(1)由已知,正四棱台上底面积 S1 ? 1 ,下底面积 S ? 4 ,高 h ? 2 ,

?V ?

1 14 S ? S1 ? S ? S1 h ? …………………………………4 3 3

?

?

(2)设正四棱锥 S ? ABCD 高为 x ,则四棱锥 S ? A1 B1C1 D1 高为 x ? 2 , 由

x ? 2 A1 B1 1 ? ? ,解得 x ? 4 ,…………………………………7 x AB 2

1 16 ? VS ? ABCD ? S ABCD ? x ? …………………………………………9 3 3
(3)连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OC 1 ,

? ABCD 为正方形,

? O 为 AC 中点,………………………10
又?

SC1 B1C1 1 ? ? SC BC 2
A1

C1 B1 E

? C1 为 SC 的中点,………………………12
则 OC 1 为 ?ASC 的中位线,

? OC 1 // AA1 ,………………………………13
而 OC1 ? 平面 BDC1 , AA1 ? 平面 BDC1 , A

C D B

? AA1 //平面 BDC1 …………………………14
19.解(1)连结 AB1 ,由已知可得 CB // C1 B1

? CB 与 AC1 的夹角等于 AC1 与 C1 B1 的夹角………………………2
6

设直三棱柱高为 x ,由已知可得

AC1 ? x 2 ? 9 , C1 B1 ? 4 , AB1 ? x 2 ? 25 ,…………………5
显然有 AB1 ? C1 B1 ? AC1 。
2
2

2

? AC1 ? C1 B1 ,即 CB 与与 AC1 的夹角为 90 o ……………………7
(2)连结 C1 B 交 CB1 于 E ,再连结 DE , 由已知可得 E 为 C1 B 的中点,………………………9 又? D 为 AB 的中点,

? DE 为 ?BAC1 的中位线.
? AC1 // DE ……………………………12
又? DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1

? AC1 //平面 CDB1 ………………………………14
20.解

H

G (1)由已知可得 ?OAC ? ?OAB , ?ODE ? ?ODF , 又? OD ? 2 ,

? S ?ODE ? 3 …………………………………………2

? F 在平面 ABCD 的射影为线段 OD 的中点
?棱锥 F ? OED 高 h ? 3 ,…………………………………4
1 ? VF ?OED ? S ?OED ? h ? 1 …………………………………………6 3
(2)设 DE 中点为 G , DF 中点为 H 连结 CH 、 BG 、 GH ,有 EF // GH ,……………………………7
7

由已知可得,在平面 ADFC 中有 ?COA ? ?FDA ? 60

?

? OC // DH ……………………………………………………………8
又? OC ? 1 , DF ? 2

? DH ?

1 DF ? 1 2

则 OC // DH ……………………………………………9

?四边形 ODHC 为平行四边形
? CH // OD ……………………………………………10
同理可证 BG // OD …………………………………11

? CH // BG ……………………………………12

?四边形 BCHG 为平行四边形 ? BC // GH …………………………………………13
故 BC // EF …………………………………………14

8


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