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2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 16 平面与平面垂直的判定课时作业

课时作业 16

平面与平面垂直的判定
——基础巩固类——

1.关于直线 a、b、l 及平面 α 、β ,下列命题中正确的是( A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a∥α ,b⊥a,则 b⊥α C.若 a ? α ,b ? α ,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥α D.若 a⊥α ,a∥β ,则 α ⊥β

)

解析:A 选项中,若 a∥α ,b∥α ,则有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面.B 选项中, b 可能在 α 内,b 可能与 α 平行,b 可能与 α 相交.C 选项中需增加 a 与 b 相交,则 l⊥α . 故选 D. 答案:D 2.已知二面角 α -l-β 的大小为 60°,m,n 为异面直线,且 m⊥α ,n⊥β ,则 m,n 所成的角为( A.30° ) B.60° C.90° D.120°

解析:m,n 所成的角等于二面角 α -l-β 的平面角. 答案:B

3.如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,则图中与平面 PCD 垂直的平面是( A.平面 ABCD B.平面 PBC C.平面 PAD D.平面 PBC

)

解析:由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥CD,由四边形 ABCD 为矩形得 CD⊥AD,从而有 CD⊥平面 PAD,所以平面 PCD⊥平面 PAD.故选 C. 答案:C
1

4.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA= AC,则二面角 P-BC-A 的大小为( A.60° C.45° ) B.30° D.15°

解析:易得 BC⊥平面 PAC,所以∠PCA 是二面角 P-BC-A 的平面角,在 Rt△PAC 中,PA =AC,所以∠PCA=45°.故选 C. 答案:C

5.如图所示,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列结论中 正确的是( )

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析:因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC.同理有 DE⊥AC,BE∩DE=E,所以 AC⊥平面 BDE.因为 AC ?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又因为 AC ?平面 ACD,所以平 面 ACD⊥平面 BDE.故选 C.
2

答案:C

6.如图,在正四面体 P-ABC(棱长均相等)中,E 是 BC 的中点.则平面 PAE 与平面 ABC 的位置关系是________. 解析:因为 PB=PC,E 是 BC 的中点,所以 PE⊥BC,同理 AE⊥BC,又 AE∩PE=E,所以 BC⊥平面 PAE.又 BC ?平面 ABC,所以平面 PAE⊥平面 ABC. 答案:垂直 7.如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC,△ABD 的面积是△ACD 的面积的 2 倍.沿 AD 将△ABC 翻折,使翻折后 BC⊥平面 ACD,此时二面角 B-AD-C 的大小为________.

解析:由已知得,BD=2CD. 翻折后,在 Rt△BCD 中,∠BDC=60°,而 AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC 是二面角 B-AD- C 的平面角,其大小为 60°. 答案:60°

3

8.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB⊥平面 ABCD. (1)求证:平面 PAD⊥平面 PAB; (2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60°的二面角,求该四棱锥的体积. 解:(1)证明:∵PB⊥平面 ABCD,AD ?平面 ABCD,∴PB⊥AD. ∵AD⊥AB,且 AB∩PB=B, ∴AD⊥平面 PAB. 又∵AD ?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PAB. (2)由(1)的证明知,∠PAB 为平面 PDA 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角,即∠PAB= 60°,∴PB= 3a. 1 3a 2 ∴VP-ABCD= ·a · 3a= . 3 3 1 9. 如图所示, 在矩形 ABCD 中, 已知 AB= AD, E 是 AD 的中点, 沿 BE 将△ABE 折起至△A′BE 2 的位置,使 A′C=A′D,求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.
3

证明:如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N,连接 A′M,A′N,MN,则 MN∥BC. 1 ∵AB= AD,E 是 AD 的中点, 2 ∴AB=AE,即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D,∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又 MN∩A′M=M,∴CD⊥平面 A′MN.∴CD⊥A′N.

4

1 ∵DE∥BC 且 DE= BC,∴BE 必与 CD 相交. 2 又 A′N⊥BE,A′N⊥CD,∴A′N⊥平面 BCDE. 又 A′N ?平面 A′BE,∴平面 A′BE⊥平面 BCDE. ——能力提升类——

10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1 的中点,则下列 结论中错误的是( )

A.D1O∥平面 A1BC1 B.MO⊥平面 A1BC1 C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角等于 60° D.二面角 M-AC-B 等于 90°

解析: 对于选项 A, 连接 B1D1, BO, 交 A1C1 于 E, 则四边形 D1OBE 为平行四边形, 所以 D1O∥BE, 因为 D1O ?平面 A1BC1, BE ?平面 A1BC1, 所以 D1O∥平面 A1BC1, 故正确; 对于选项 B, 连接 B1D, 因为 O 为底面 ABCD 的中心, M 为棱 BB1 的中点, 所以 MO∥B1D, 易证 B1D⊥平面 A1BC1, 所以 MO⊥ 平面 A1BC1,故正确;对于选项 C,因为 AC∥A1C1,所以∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 AC 所成的角, 因为△A1C1B 为等边三角形,所以∠A1C1B=60°,故正确;对于选项 D,因为 BO⊥AC,MO⊥AC, 所以∠MOB 为二面角 M-AC-B 的平面角,显然不等于 90°,故不正确.综上知,选 D.
5

答案:D 11.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上一 动点.当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

解析:连接 AC,则 BD⊥AC.由 PA⊥底面 ABCD,可知 BD⊥PA,所以 BD⊥平面 PAC,所以 BD⊥PC, 所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD.而 PC ?平面 PCD, 所以平面 MBD⊥ 平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 12. 在图(1)等边三角形 ABC 中, AB=2, E 是线段 AB 上的点(除点 A 外), 过点 E 作 EF⊥AC 于点 F,将△AEF 沿 EF 折起到△PEF(点 A 与点 P 重合,如图(2)),使得∠PFC=60°.

(1)求证:EF⊥PC; (2)试问,当点 E 在线段 AB 上移动时,二面角 P-EB-C 的大小是否为定值?若是,求出 这个二面角的平面角的正切值,若不是,请说明理由. 解:(1)证明:因为 EF⊥PF,EF⊥FC, 又由 PF∩FC=F,所以 EF⊥平面 PFC. 又因为 PC ?平面 PFC,所以 EF⊥PC.

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(2)由(1)知,EF⊥平面 PFC, 所以平面 BCFE⊥平面 PFC, 作 PH⊥FC,则 PH⊥平面 BCFE, 作 HG⊥BE,连接 PG,则 BE⊥PG, 所以∠PGH 是这个二面角的平面角, 设 AF=x,则 0<x≤1,因为∠PFC=60°, x 3 3 3 所以 FH= ,PH= x,易求 GH= x, 2 2 4 PH 2 所以 tan∠PGH= = , GH 3 所以二面角 P-EB-C 的大小是定值.

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