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市中区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

市中区三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,则 CD1 与 EF 所成角为( )

姓名__________

分数__________

A.0°

B.45°
x

C.60° ) D.

D.90°

2. 已知函数 f(x)=xe ﹣mx+m,若 f(x)<0 的解集为(a,b),其中 b<0;不等式在(a,b)中有且只 有一个整数解,则实数 m 的取值范围是( A. B. C.

3. 设 a, b, c 分别是 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边的边长,则直线 sin A?x ? ay ? c ? 0 与

bx ? sin B?y ? sin C ? 0 的位置关系是(
A.平行 B. 重合 4. 已知函数 f(x)=3cos(2x﹣ A.导函数为 B.函数 f(x)的图象关于直线 C.函数 f(x)在区间(﹣ , 对称

) C. 垂直 ) D.相交但不垂直

),则下列结论正确的是(

)上是增函数 个单位长度得到 )

D.函数 f(x)的图象可由函数 y=3co s2x 的图象向右平移

5. 已知 A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9},则 a 的值是( A.a=3
2

B.a=﹣3
2

C.a=±3 ) D.

D.a=5 或 a=±3

6. 命题“?x∈R,2x +1>0”的否定是( A.?x∈R,2x +1≤0 C.
2

B. )

7. 集合 U=R,A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|y=ln(1﹣x)},则图中阴影部分表示的集合是(

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A.{x|x≥1} A.5

B.{x|1≤x<2}
n *

C.{x|0<x≤1}
3

D.{x|x≤1} ) D.10

8. 二项式 ( x +1) (n ? N ) 的展开式中 x 项的系数为 10,则 n = ( B.6 C.8

【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识,意在考查基本运算能力. 9. 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量 X(单位:mm)对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如表所示: 降水量 X 工期延误天数 Y 概率 P A.0.1 A.? 可. 11.复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) B.0.3 X<100 0 0.4 C.0.42 D.0.5 ) 100≤X<200 5 0.2 200≤X<300 15 0.1 X≥300 30 0.3 )

在降水量 X 至少是 100 的条件下,工期延误不超过 15 天的概率为( 10.已知集合 M={x|x2<1},N={x|x>0},则 M∩N=( B.{x|x>0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.已知函数 f ( x) ? cos( x ? 的图象( A.向右平移 ) B.向左平移

?
3

) ,则要得到其导函数 y ? f '( x) 的图象,只需将函数 y ? f ( x)

? 个单位 2 2? C. 向右平移 个单位 3 二、填空题
13.若

? 个单位 2 2? D.左平移 个单位 3


的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于

14.函数 f ? x ? ? xe x 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是

?

?

. .

15.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(? UA)∪B=

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16.已知 Sn 是数列 { ___________.

n n } 的前 n 项和,若不等式 | ? ? 1 | ? S n ? n ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 n ?1 2 2

【命题意图】 本题考查数列求和与不等式恒成立问题, 意在考查等价转化能力、 逻辑推理能力、 运算求解能力. 17.抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F ,经过其准线与 y 轴的交点 Q 的直线与抛物线切于点 P ,则 ?FPQ 外接圆的标准方程为_________. 18.定义 min{f ( x), g ( x)} 为 f ( x) 与 g ( x) 中值的较小者,则函数 f ( x) ? min{ 2 ? x2 , x}的取值范围是

三、解答题
19.在 (1)求 (2)若 中, 、 、 是 角 的大小; , ,求 的值。 、 、 所对的边, 是该三角形的面积,且

20.啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的参数方程为
2 (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 p +2psin(θ+ 2 )+1=r (r>0).

(Ⅰ)求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,求 r 值.

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21.已知复数 z1 满足(z1﹣2)(1+i)=1﹣i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1z2 是实数,求 z2.

22.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的中点. (1)证明: PB / / 平面 AEC ; (2)设 AP ? 1 , AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

111]

23.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 E,过 E 的 (1)求证:CD=DA; (2)若 CE=1,AB= 2,求 DE 的长. 切线与 AC 交于 D.

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24.在数列 (Ⅰ)当

中, 时,求

, 的值; ,使

,其中





(Ⅱ)是否存在实数 (Ⅲ)当

构成公差不为 0 的等差数列?证明你的结论; ,使得 .

时,证明:存在

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市中区三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:连结 A1D、BD、A1B, ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,∴EF∥A1D, ∵A1B∥D1C,∴∠DA1B 是 CD1 与 EF 所成角, ∵A1D=A1B=BD, ∴∠DA1B=60°. ∴CD1 与 EF 所成角为 60°. 故选:C.

【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

2. 【答案】C 【解析】解:设 g(x)=xex,y=mx﹣m, 由题设原不等式有唯一整数解, 即 g(x)=xex 在直线 y=mx﹣m 下方, g′(x)=(x+1)ex, g(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增, 故 g(x)min=g(﹣1)=﹣ ,y=mx﹣m 恒过定点 P(1,0), 结合函数图象得 KPA≤m<KPB, 即 ≤m< ,

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故选:C. 【点评】本题考查了求函数的最值问题,考查数形结合思想,是一道中档题. 3. 【答案】C 【解析】 试题分析:由直线 sin A?x ? ay ? c ? 0 与 bx ? sin B?y ? sin C ? 0 , 则 sin A ? b ? a ? (? sin B) ? 2R sin A sin B ? 2R sin A sin B ? 0 ,所以两直线是垂直的,故选 C. 1 考点:两条直线的位置关系. 4. 【答案】B 【解析】解:对于 A,函数 f′(x)=﹣3sin(2x﹣ 对于 B,当 x= 时,f( )=3cos(2× ﹣ )?2=﹣6sin(2x﹣ ),A 错误;

)=﹣3 取得最小值,

所以函数 f(x)的图象关于直线 对于 C,当 x∈(﹣ ,

对称,B 正确; ∈(﹣ , ),

)时,2x﹣

函数 f(x)=3cos(2x﹣

)不是单调函数,C 错误; 个单位长度, )的图象,

对于 D,函数 y=3co s2x 的图象向右平移 得到函数 y=3co s2(x﹣ )=3co s(2x﹣

这不是函数 f(x)的图象,D 错误. 故选:B. 【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题目. 5. 【答案】B
2 【解析】解:∵A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9}, 2 ∴2a﹣1=9 或 a =9,

当 2a﹣1=9 时,a=5,A∩B={4,9},不符合题意;

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2 当 a =9 时,a=±3,若 a=3,集合 B 违背互异性;

∴a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题. 6. 【答案】C
2 【解析】解:∵命题?x∈R,2x +1>0 是全称命题,

∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是: “ 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求掌握特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称 命题,比较基础. 7. 【答案】B 【解析】 解: 由 Venn 图可知, 阴影部分的元素为属于 A 当不属于 B 的元素构成, 所以用集合表示为 A∩ (?UB) . A={x|x2﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2},B={x|y=ln(1﹣x)}={x|1﹣x>0}={x|x<1}, 则?UB={x|x≥1}, 则 A∩(?UB)={x|1≤x<2}. 故选:B. 【点评】本题主要考查 Venn 图表达 集合的关系和运算,比较基础. 8. 【答案】B
3 n = 5 ,故选 A. 【解析】因为 ( x +1) ( n ? N ) 的展开式中 x 项系数是 C3 n ,所以 Cn = 10 ,解得

”,.

n

*

3

9. 【答案】D 【解析】解:降水量 X 至少是 100 的条件下,工期延误不超过 15 天的概率 P, 设:降水量 X 至少是 100 为事件 A,工期延误不超过 15 天的事件 B, P(A)=0.6,P(AB)=0.3, P=P(B 丨 A)= 故答案选:D. 10.【答案】D 【解析】解:由已知 M={x|﹣1<x<1}, N={x|x>0},则 M∩N={x|0<x<1}, =0.5,

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故选 D. 【点评】此题是基础题.本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题, 11.【答案】C 【解析】解:z= = = = + i,

当 1+m>0 且 1﹣m>0 时,有解:﹣1<m<1; 当 1+m>0 且 1﹣m<0 时,有解:m>1; 当 1+m<0 且 1﹣m>0 时,有解:m<﹣1; 当 1+m<0 且 1﹣m<0 时,无解; 故选:C. 【点评】本题考查复数的几何意义,注意解题方法的积累,属于中档题. 12.【答案】B 【解析】 试题分析:函数 f ? x ? ? cos ? x ?

考点:函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象变换.

?? ? ? 5? ? ? x ? ,所以函数 ? ,? f ' ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? cos ? 3? 3? ? ? 6 ? ? ?? ? f ? x ? ? cos ? x ? ? ,所以将函数函数 y ? f ( x) 的图象上所有的点向左平移 个单位长度得到 2 3? ? ? ?? 5? ? ? ? y ? cos ? x ? ? ? ? cos ? x ? ? ,故选 B. 3 2? 6 ? ? ?
? ?

??

二、填空题
13.【答案】5 【解析】 解: 由题意 令 =0,得 n=
r n﹣r 的展开式的项为 Tr+1=Cn( x6) ( r ) =Cnr

=Cnr

,当 r=4 时,n 取到最小值 5

故答案为:5. 【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的 条件转化成指数为 0,得到 n 的表达式,推测出它的值. 14.【答案】 2e 【解析】

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试题分析:? f ? x ? ? xex ,? f ' ? x ? ? ex ? xex ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e . 考点:利用导数求曲线上某点切线斜率. 15.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4} 16.【答案】 ?3 ? ? ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n? n ?1 , S n ? 1? ? 2 ? 2 ? … 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ?(n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ,两式相减,得 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ,所以 S n ? 4 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ? 4 ? n ?1 对一切 n ? N? 恒成立,得 | ? ? 1 | ? 2 ,解得 ?3 ? ? ? 1 . 于是由不等式 | ? ? 1 2 2 2 2 2 17.【答案】 ? x ? 1? ? y ? 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2
【解析】由 S n ? 1 ? 2 ? 【解析】 试题分析:由题意知 F ? 0,1? ,设 P ? x0 ,

? ?

1 1 1 1 2? x0 ? ,由 y ' ? x ,则切线方程为 y ? x0 2 ? x0 ? x ? x0 ? ,代入 2 4 2 4 ?
2

? , 1 ? ,可得 PF ? FQ ,则 ?FPQ 外接圆以 PQ 为直径,则 ? x ? 1? ? 0, ?1? 得 x0 ? ?2 ,则 P ? 2,1 ,? ?2 2 2 2 2 2 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 .故本题答案填 ? x ? 1? ? y ? 2 或 ? x ? 1? ? y ? 2 .1
考点:1.圆的标准方程;2.抛物线的标准方程与几何性质. 18.【答案】 ? ??,1? 【解析】

? y2 ? 2

2 试题分析:函数 f ? x ? ? min 2 ? x , x 的图象如下图:

?

?

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观察上图可知: f ? x ? 的取值范围是 ? ??,1? 。 考点:函数图象的应用。

三、解答题
19.【答案】 【解析】 解 : ( 1 ) 由 得

,即

(2)

20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)根据直线 l 的参数方程为 消去参数,得 x+y﹣ =0, (t 为参数),

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直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣

=0,
2 )+1=r (r>0).

2 ∵圆 C 的极坐标方程为 p +2psin(θ+

∴(x+

2 ) +(y+

2 2 ) =r (r>0). 2 ) +(y+ 2 2 ) =r (r>0).

∴圆 C 的直角坐标方程为(x+ (Ⅱ)∵圆心 C(﹣ 圆心 C 到直线 x+y﹣ ,﹣

),半径为 r,…(5 分) =2,

=0 的距离为 d=

又∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d+r=3, ∴r=3﹣2=1. 【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识.

21.【答案】 【解析】解: ∴z1=2﹣i 设 z2=a+2i(a∈R) ∴z1z2=(2﹣i)(a+2i)=(2a+2)+(4﹣a)i ∵z1z2 是实数 ∴4﹣a=0 解得 a=4 所以 z2=4+2i 【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为 0. 22.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

3 13 . 13

试 题解析:(1)设 BD 和 AC 交于点 O ,连接 EO ,因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的

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中点,所以 EO / / PB , EO ? 且平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB / / 平面 AEC .

3 1 3 3 ,可得 AB ? ,作 AH ?PB 交 PB 于 H .由题设知 BC ? 平 PA?AB?AD ? AB ,由 V ? 2 6 6 4 PA?AB 3 13 面 PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面 PBC ,又 AH ? ,所以 A 到平面 PBC 的距离为 ? PB 13 3 13 .1 13
(2)V ? 考点:1、棱锥的体积公式;2、直线与平面平行的判定定理. 23.【答案】 【解析】解:(1)证明:

如图,连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, AC,DE 均为⊙O 的切线, ∴∠AEC=∠AEB=90°, ∠DAE=∠DEA=∠B, ∴DA=DE. ∠C=90°-∠B=90°-∠DEA=∠DEC, ∴DC=DE, ∴CD=DA. (2)∵CA 是⊙O 的切线,AB 是直径, ∴∠CAB=90°, 由勾股定理得 CA2=CB2-AB2, 又 CA2=CE×CB,CE=1,AB= 2, ∴1·CB=CB2-2, 即 CB2-CB-2=0,解得 CB=2, ∴CA2=1×2=2,∴CA= 2. 1 2 由(1)知 DE= CA= , 2 2 2 所以 DE 的长为 . 2

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24.【答案】 【解析】【知识点】数列综合应用 【试题解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 即 , 成等差数列, , ,即 , 将 , . 代入上式, 的公差不为 0. ,使 构成公差不为 0 的等差数列. , , 令 , , …… , 将上述不等式相加,得 取正整数 ,就有 ,即 . . 解得 . . , . ,

经检验,此时 存在 (Ⅲ) 又 由

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