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数学物理方法第九章二阶常微分方程的劫数解法本征值问题_图文

第九章 二阶常微分方程级数解法
本征值问题
重点
1、laplace方程在球坐标和柱坐标系下的分 离变量得到的常微分方程;
2、常点和奇点邻域级数解的一般解的形式; 3、勒让德方程在x=0和贝塞尔方程在x=0邻域上
解的形式。

§9.1 特殊函数常微分方程 一、Laplace方程分离变量
拉普拉斯算符的形式

二维

三维

直角坐标

Δ2

=?x x

+

? yy

柱坐标

Δ2

=ρ1

?ρρ?ρ +

1 ρ2

?

=?ρρ + ρ

1? ρ

+

ρ

2?

球坐标

Δ'=sin1

θ

?θ sin

θ?θ

+

1 sin 2

θ

?

Δ

=Δ2

+

? zz

Δ

=Δ2

+

? zz

Δ

=1 r2

?r r

2? r

+

1 r2

Δ'

=?rr

+ 2r

1? r

+

r

2Δ'

1、球坐标下拉普拉斯方程

1

?

(r 2

?u )?

1

?

?u

(sin? ) ?

1

? 2u ?0

r2 ?r ?r r2 sin? ??

?? r2 sin2 ? ??2

r?2[? r (r2? ru) ? ?' u] ? 0

r ?2[? r (r 2? ru) ? ?' u] ? 0
欧拉方程
(r2R' )' / R ? ??'Y /Y ? l(l ? 1)

u ? R(r)Y(?,?)

球函数方程

(r2R' )'?l(l ? 1)R ? 0

?'Y ? l(l ?1)Y ? 0Y ? ?(?)?(? )

R

?

Cr l

?

D

1 r l?1

sin?(sin??')'/ ? ? l(l ? 1)sin2 ? ? ??"/ ? ? ?

?"??? ? 0 sin? (sin??' )'?[l(l ? 1)sin2 ? ? ?]? ? 0

? ? Acosm? ? Bsin m?

x ? cos?

连带勒让 德方程

[(1

?

x2

)?'

]'?[l(l

?

1)

?

m2 1?x2

]?

?

0

极坐标下拉普拉斯算符形式的推导

?直角坐标下的形式 ?坐标变换关系 ?微分变换关系 ?极坐标下的形式

?2 ? ?xx ? ? yy

?x ? ? cos?

? ?

y

?

?

sin?

????

?x ?y

????

?

?cos? ??sin?

? sin? cos?

???????

??

1 ?

??

????

?2 ? ??? ? ? ?1?? ? ? ?2???

?

1 ?

?? ???

?

1 ?2

???

2、柱坐标下拉普拉斯方程

1
?

?
??

(? 2

?u ) ?
??

1
?2

?2u
?? 2

?

?2u ?z 2

?

0

u ? R(?)?(?)Z(z)

?2 d2R ? ? d R ? ?2 Z'' ? ? ?'' ? ?

R d?2 R d?

Z?

?"??? ? 0
? ? Acosm? ? Bsinm?

?2 R

d2R d?2

?

? R

dR d?

? ?2

Z'' Z

?

?

λ=m2

1 d2R 1 d R m2 Z''

R d?2

? ?R

d?

? ?2

??

Z

? ??

? ?0

1 R

d 2R
d? 2

?

1
?R

dR
d?

?

m2
?2

? ? Z '' Z

? ??

Z ? C ? Dz

R

?

?? ? ??

E ? F ln ? E? m ? F /

?

m

? ?0

(m ? 0) (m ? 1,2,?)

x ? ??

Z (z) ? Ce ?z ? Ce? ?z

x2

d 2R dx2

?

x

dR dx

?

(x2

?

m2 )R

?

0

??0

m阶贝塞尔方程

x ? ???

Z (z) ? C cos ? ? z ? D sin ? ? z

x2

d 2R dx2

?

x

dR dx

?

(x2

?

m2)R

?

0

m阶虚总量贝塞尔方程

(二)波动方程

utt ? a2? u

u ? T(t)v(r)

T'' /(a2T) ? ? v / v ? ?k2

T ''?a2k 2T ? 0

?v ? k 2v ? 0

T ? C coskat ? Dsin kat 或Ceiakt ? De?iakt 或C ? Dt

亥姆霍 兹方程

(三)输运方程

ut ? a2?2u

u ? T(t)v(r)

T ' /(a2T ) ? ?2v / v ? ?k 2

T '?a2k 2T ? 0
T ? Aexp(?a2k 2t)

?2v ? k2v ? 0

(四)亥姆霍兹方程

(1)球坐标系

1 r2

? ?r

(r 2

?v ) ? ?r

1
r 2 sin?

?
??

(sin ?

?v ) ?
??

1
r 2 sin 2 ?

?2v
?? 2

? k 2v

?

0

令 v(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)

1 R

? ?r

(r 2

?R ) ? k 2r 2 ?r

?

Y

1
s in ?

?
??

(sin ?

?Y
??

)? Y

1
sin2 ?

? 2Y
?? 2

? l(l ?1)

1 ? (sin ? ?Y ) ? 1 ?2Y ? l(l ?1)Y ? 0

sin? ??

?? sin 2 ? ?? 2

1 ? (r2 ?R ) ?[k 2r2 ? l(l ?1)]R ? 0 R ?r ?r

l阶球贝塞尔方程

令 x ? kr

R(r) ? ? y(x)
2x

x2

d2y dx2

?

x

dy dx

?[x2

?

(l

?1/

2)2 ] y

?

0

(2)柱坐标系

L+1/2阶贝塞尔方程

1
?

?
??

(?

?v ) ?
??

1
?2

?2v
?? 2

?

?2v ?z 2

? k2v

?0


v(?,?, z) ? R(?)?(?)Z(z)

Z"?? 2Z ? 0

?"??? ? 0

d 2R
d? 2

?

1
?

dR
d?

? (?

?

m2
?2

)R

?

0

? ? k 2 ?? 2

?2v ? k2v ? 0

v ? R(?)?(?)

?(?R')' / R ? ?? 2R ? ??"/ ? ? ?

?"??? ? 0

1
?

(?R' )'?(?

?

? ?2

)R

?

0

? ? Acosm? ? Bsin m?

x? ??

m阶贝塞尔方程

特殊函数常微分方程
? 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
? 一般情况
? 欧拉方程,球函数方程,连带勒让德方程
? 轴对称情况
? 勒让德方程
? 极坐标下热传导方程的分离变量
? 一般情况
? 亥姆霍兹方程,贝塞尔方程
? 轴对称情况

§9.2常点邻域上的级数解法
? 常微分方程中点的分类 ? 各点邻域级数解的形式 ? 勒让德方程的级数解 ? 贝塞尔方程的级数解

常微分方程中点的分类
? 二阶变系数常微分方程的一般形式
? w”+p(z)w’+q(z)w=0
? 方程中点的分类
? 常点:z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点 ? 正则奇点:z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 ? 非正则奇点:其它情况

各点邻域级数解的形式

?常点z0邻域
–两解均为

? w ?

? k ?0

ak

(z

?

z0

)k

?正则奇点 z0 邻域

–有一解为

? w ?

? k ?0

ak

(

z

?

z0

)k

?s

–其中 s 由判定方程确定

? 非正则奇点 z0 邻域

? 有一解为

? w ?

? k ???

ak

(

z

?

z0

)k

?s

a0≠0

勒让德方程的级数解

勒让德方程为: (1 ? x2 ) y"?2xy'?l(l ? 1) y ? 0

? x0 ? 0为常点,邻域解为: y ?

? k ?0

ak

xk

? 级数解的导数为: y' ?

? k ?0

k

ak

x

k

?1

? ? y" ?

? k(k
k ?0

? 1)ak xk?2

?

? k ?0

(k

?

1)(k

?

2)ak?2 xk

代入方程得:

?? [(k k ?0

? 1)(k

? 2)ak?2

? k(k

? 1)ak

? 2kak

?

l(l

?1)ak ]xk

?

0

即: (k ?1)(k ? 2)ak?2 ?[k(k ?1) ? l(l ?1)]ak ? 0

勒让德方程的级数解

递推公式:

ak ?2

?

k ( k ?1)?l (l ?1) (k ?2)(k ?1)

ak

?

( k ?l )(k ?l ?1) (k ?2)(k ?1)

ak

具体递推:

a2

?

?l (l ?1) 2?1

a0

?

(?l )(l ?1) 2!

a0

a4

?(2?l4)?(3l ?3)

a2

?

(2?l() ?l )(l ?1)(l ?3) 4!

a0

a6

?(4?l6)?(5l ?5)

a4

?

(4?l )(2?l() ?l )(l ?1)(l ?3)(l ?5) 6!

a0

a2k

?(2k(?22k?)l?)(2(lk??21k) ?1)

a2k ?2

?

( 2k ?2?l )?(?l )(l ?1)?(l ?2k ?1) (2k )!

a0

勒让德方程的级数解

递推公式:

ak ?2

?

k ( k ?1)?l (l ?1) (k ?2)(k ?1)

ak

?

( k ?l )(k ?l ?1) (k ?2)(k ?1)

ak

具体递推:

a3

?

(1?l )(l ?2) 3?2

a1

?

(1?l )(l ?2) 3!

a1

a5

?(3?l5)?(4l ?4)

a3

?

(3?l() 1?l )(l ?2)(l ?4) 5!

a1

a7

?(5?l7)?(6l ?6)

a5

?

(5?l )(3?l() 1?l )(l ?2)(l ?4)(l ?6) 7!

a1

a2k ?1

?(2(k2?k1??1l))?((l2?k2)k )

a2k ?1

?

(2k ?1?l )?(1?l )(l ?2)?(l ?2k ) (2k ?1)!

a1

勒让德方程的级数解

? ? 通解: y ? a2k x2k ? a2k?1x2k?1 ? a0 y0(x) ? a1y1(x)

特解:

? y0 ?

? k ?0

b2k x 2k ,

b2k

?

(2k ?2?l )?(?l )(l ?1)?(l ?2k ?1) (2k )!

? y1 ?

? k ?0

b2k ?1x 2k ?1,

b2k ?1

?

(2k ?1?l )?(1?l )(l ?2)?(l ?2k ) (2k ?1)!

性质:
奇偶性:y0为偶函数,y1为奇函数; 退化性:l 为非负整数时,级数解退化为多项式; 收敛性:特解的收敛半径为 1 ; 有界性:在 x = ±1 时,非退化级数解发散。

贝塞尔方程的级数解

贝塞尔方程为: x2 y"? xy'?(x2 ? m2 ) y ? 0

? 0为正则奇点,邻域解为:y ?

? k ?0

ak

x

s

?k

? ? ? x2 y ?

a x ?

s?k ?2

k ?0 k

?

a x ?

s?k

k?2 k?2

?

a x ?

s?k

k ?0 k ?2

? 级数解的导数为: y' ?

? k ?0

(s

?

k

)ak

xs?k

?1

? y" ?

? (s
k ?0

?

k )(s

?

k

? 1)ak

x s?k ?2

ak<0=0

代入方程得:

?? {[( k k ?0

?

s)2

? m2 ]ak

? ak?2}xs?k

?

0

即: [(k ? s)2 ? m2 ]ak ? ak?2 ? 0

贝塞尔方程的级数解

递推公式: (s ? k ? m)(s ? k ? m)ak ? ak?2 ? 0

k ? 0 ? (s ? m)(s ? m)a0 ? 0 ? s ? m

k ? 1 ? (s ?1? m)(s ?1? m)a1 ? 0 ? a1 ? 0

k

? 2 ? ak

?

(s

?

k

?

?1 m)(s

?

k

?

m)

ak ?2

?

k

?1 (2m ?

k)

ak

?2

具体递推:

a2

?

?1 2?( 2m?2)

a0

?

?

1 1!( m?1) 22

a0

a4

?

?1 4?( 2m?4)

a2

?

?

1 2!( m?1)(m?2)24

a0

a2k

?

?1 (2k )?(2m?2k )

a2k ?2

? (?1)k

1 k!(m?1)?(m?k )22k

a0

贝塞尔方程的级数解

特解:

? ? ? y ? Jm(x) ?

?

( ?1)k

k ?0 k!?(m?k ?1)

x 2

m?2k , a0

?

1 2m ?(m?1)

通解:

y ? AJ m ( x) ? BJ ?m ( x) ? CJ m ( x) ? DN m ( x)

Nm

?

J m ( x) cosmx? J ?m ( x) sin mx

性质:
奇偶性:m为奇偶整数时,Jm和Nm为奇偶函数; 收敛性:特解的收敛半径为 ∞ ; 有界性:在 x → 0,m≥0 时, Jm有界,Nm发散。

斯图姆—刘维尔本征值问题
? 本征值问题
本征值:使带边界条件的常微分方程有非零解的参数 值
本征函数:相应的非零解 本征值问题:求本征值和本征函数的问题
? 斯特姆—刘维尔本征值问题
? 斯特姆—刘维尔型方程 ? 斯特姆—刘维尔型边界条件
? 斯特姆—刘维尔本征值问题的性质
? 可数性:存在可数无限多个本征值; ? 非负性:所有本征值均为非负数; ? 正交性:对应不同本征值的本征函数带权正交; ? 完备性:满足边界条件的光滑函数可以按本征函数

斯特姆—刘维尔本征值问题
? 斯特姆—刘维尔型方程
[k(x) y' ]'?q(x) y ? ?? (x) y ? 0, x ?[a,b]
其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负; k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。
? 斯特姆—刘维尔型边界条件
? 三类齐次边界条件 ? 周期性边界条件 ? 有界性边界条件

斯特姆—刘维尔本征值问题

ab k q ρ

本征值问题

0 L 1 0 1 y"??y ? 0, y(0) ? y(L) ? 0

0 L 1 0 1 y"??y ? 0, y(x ? L) ? y(x) -1 1 1-x2 0 1 [(1? x2 ) y' ]'??y ? 0, y(?1) ? ?

0b

x

m2/x x

[xy' ]'?

m2 x

y ? ?xy

?

0,

y(0)

?

?, y(b)

?

0

本征函数集合的正交性和完备性
?正交性

?b ym

(x)

yn

( x)? ( x)dx

?

?

n,m

N

2 m

a

?完备性

? f (x) ?

fn yn ( x)

?展开系数

b

? f n

?

1

N

2 n

f ( x) yn ( x) ? ( x)dx
a

本征函数集合的正交性和完备性

?例题1

?问题

y"??y ? 0, y(0) ? y(L) ? 0

?本征函数

?n

?

wn2, wn

?

n? L

,

yn

?

sin

wn x

?正交性 ?完备性

L

? ym ( x) yn ( x)dx ? ? n,m 0

L 2

? f ( x) ?

fn yn (x)

L

? f n

?

2 L

f ( x) yn ( x)dx
0

本征函数集合的正交性和完备性

?例题2

?问题

y"??y ? 0, y(x ? 2? ) ? y(x)

?本征函数 ?m ? m2, ym ? exp(imx)

?正交性 ?完备性

2?
? ym ( x) yn ( x)dx ? 2?? n,m 0

? f ( x) ?

fn yn (x)

2?

? f n

?

1
2?

0

f (x) yn (x) dx

本征函数集合的正交性和完备性

?例题3

?问题

[(1? x2 ) y' ]'??y ? 0, y(?1) ? ?

?本征函数 ?l ? l(l ?1), yl ? Pl (x), l ? 0,1,2,?

?正交性

?1

Pl

(

x) Pn

( x)dx

?

?

l ,n

N

2 n

?1

?完备性

? f ( x) ?

?
l?0 fl Pl ( x)

1

? fl

?

1

N

2 l

f ( x) Pl ( x) dx
?1

本 章 小 结

非齐次定解问题

齐次化特解条件

齐次定解问题

常微分方程

非 斯 —刘 问 题

斯 —刘 问 题

齐次化特解

本征变化

齐次半通解

齐次定解问题的解

? 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
? 一般情况
? 欧拉方程,球函数方程,连带勒让德方程
? 轴对称情况
? 勒让德方程
? 极坐标下热传导方程的分离变量
? 一般情况
? 亥姆霍兹方程,贝塞尔方程
? 轴对称情况


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