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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试卷Word版含答案.doc

金山中学 2015-2016 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
命题人:李丙铮 张梦涛 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.右图程序运行的结果是( A. 515 C. 21 )

B. 23 D. 19 )

2.执行右边的程序框图,输出 S 的值为(

A. 14

B. 20

C. 30

D. 55

? ? bx ? 3. 已知随机变量 x, y 的值如右表所示, 如果 x 与 y 线性相关, 且回归直线方程为 y
则实数 b 的值为( )

9 , 2

A. ? 2 4. 原 点 和

1

B.

1 2

C. ?

1 6

D. )

1 6

?1,1?

点在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( B. a ? 0或a ? 2 C. 0 ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2

A. a ? 0或a ? 2

5.设 a ? b ,则下列不等式成立的是 ( ) A. a 2 ? b 2 ? ab B.

b?a ?0 ab

C. a 2 ? b 2

a b D. 2 ? 2

6.右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) ,已 知甲组数据的平均数为 18,乙组数据的中位数为 16,则

x, y 的值分别为(
A.18,6 B.8,16 C.8,6 D.18,16



7.省农科站要检测某品牌种子的发芽率,计划采用随机数表法从该品牌 800 粒种子中抽取 60 粒进行检测,现将这 800 粒种子编号如下 001,002,?,800,若从随机数表第 8 行第 7 列的数 7 开始向右读,则所抽取的第 4 粒种子的编号是( 至第 9 行) ).(下表是随机数表第 7 行

A.105 C.071

B.507 D.717

a1 (1 ? q n ) 8.已知 {a n } 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, S n 是 {a n } 的前 n 项和.? S n ? ; 1? q
?若 am ? an ? as ? at ,则 m ? n ? s ? t ;? Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等比数列( k ? N )
*

以上说法正确的有( A.0 9.下列四个命题:

)个. B. 1 C. 2 D. 3

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a、 b,则这两个级部的数学平均分为 na ? mb m n ③某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查,现将 800 名学生从 001 到 800 进行编号,已知从 497--512 这 16 个数中取得的学生编号 是 503,则初始在第 1 小组 00l~016 中随机抽到的学生编号是 007.

其中命题正确的个数是( A.0 个

) C.2 个 D.3 个 )

B.1 个

10.从 4 双不同的鞋中任意摸出 4 只,事件“4 只全部成对”的对立事件是( A.至多有 2 只不成对 B.恰有 2 只不成对
2 11.已知不等式 mx ? nx ?

C.4 只全部不成对

D.至少有 2 只不成对

A.

1 2

12.an ? A.25

1 n? sin , S n 是 {a n } 的前 n 项和.在 S1,S2,S3 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25
B.50 C.75 D.100

1 1 ? 0 的解集为 {x | x ? ? 或 x ? 2} .则 m ? n ? ( ) m 2 5 5 1 B. ? C. D. ? 2 2 2


第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.228 与 1995 的最大公约数的三进制表示是 14.已知△ABC 三边均不相等,且

cos A b ? ,则角 C 的大小为________. cos B a

3a2 15 若数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的标准差为 2, 则数 3a1 ? 2,
方差为 .

? 2, 3a3 ? 2, 3a4 ? 2, 3a5 ? 2 的

16.已知正数 x, y 满足

4x 9y 1 1 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为 x ?1 y ?1 x y



三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 14 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 14 分) 汕头市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售 的空调和冰箱进行了相关调查,得出下表: 每台空调或冰箱所需资金 月资金最多供应量 资金 (百元) (百元) 空调 进货成本 工人工资 每台利润 30 5 6 冰箱 20 10 8 300 110

问:该商场如果根据调查得来的数据,应该怎样确定空调和冰箱的月供应量,才能使商场获

得的总利润最大?总利润的最大值为多少元? 18.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, (5a ? 4c) cos B ? 4b cos C ? 0 . (1)求 cos B 的值; (2)若 c ? 5 , b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S . 19.(本小题满分 14 分) 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不 含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公安局 交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和醉酒 驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表:

(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(计算并标上选取的 y 轴单位长度,在图中用实线 画出矩形框并用阴影表示),估计检测数据中酒精含量的众数 (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的中位数、平均数(请写 出计算过程) . 20. (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n ? 2 ?

1 , ?bn ? 为 等 差 数 列 , 且 a1 ? b1 , 2n?1

a2 (b2 ? b1 ) ? a1 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 通项公式; (2)(2)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

2 2 21..已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .

(1)若对于区间 ? 0, ?? ? 内的任意 x ,总有 f ( x) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在区间 ?0,2? 内有两个不同的零点 x1 , x2 ,求: ①实数 k 的取值范围; ②

1 1 ? 的取值范围 x1 x2

金山中学 2015-2016 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
CCDCA CBACC BD 2010(3) 90° 36 25 17.解:设每月调进空调和冰箱分别为 x, y 台,总利润为 z (百元)则由题意,得

?30 x ? 20 y ? 300 ? 3x ? 2 y ? 30 ? ? ? 5 x ? 10 y ? 110 , 即 ? x ? 2 y ? 22 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
y

目标函数是 z ? 6 x ? 8 y ,

3x ? 2 y ? 30
15 11

x ? 2 y ? 22
10 x

0

22

3x ? 4 y ? 0
?3x ? 2 y ? 30 的交点是 P(4,9) ? x ? 2 y ? 22
(百元) zm a x? 6 ? 4 ? 8 ? 9 ? 9 6

得?

18.试题解析: (1)∵ (5sin A ? 4sin C)cos B ? 4sin Bcos C , ∴ 5sin A cos B ? 4(sin B cos C ? cos B sin C ) ? 4sin( B ? C) ? 4sin A , 而 sin A ? 0 ,∴ cos B ?

4 4 2 (2)由余弦定理得, 10 ? 25 ? a ? 2 ? 5 ? a ? , 5 5

2 化简得, a ? 8a ? 15 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? 5 ,

sin B ? 而c ? 5 ,

3 1 1 3 9 1 3 15 , 又∵ S ? ca sin B , 故 S ? ? 5? 3? ? 或 S ? ? 5? 5? ? . 5 2 2 5 2 2 5 2
为 =0.015,

19.解: (1)酒精含量(mg/100ml)在[20,30)的 在[30,40)的 在[40,50)的 在[50,60)的 为 为 为 =0.020, =0.005, =0.020,

在[60,70)的 在[70,80)的 在[80,90)的 在[90,100]的

为 为 为 为

=0.010, =0.015, =0.010, =0.005;

绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示:

(2)检测数据中醉酒驾驶(酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上时)的频率是 。 根据频率分布直方图,小矩形图最高的是[30,40)和[50,60) ,

估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55,估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015× 10× 25+0.020× 10× 35+0.005× 10× 45+0.020× 10× 55 +0.010× 10× 65+0.015× 10× 75+0.010× 10× 85+0.005× 10× 95=55. 20.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1. 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n ?1

,此式对 n ? 1 也成立.

? an ?

1 2
n ?1

(n ? N * ) . ,从而 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? b1 ?

a1 ? 2. a2

又因为 ?bn ? 为等差数列,? 公差 d ? 2 , ? bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . (2)由(1)可知 c n ?

2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 , 1 2 n ?1
①① ? 2 得 ②

所以 Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 .

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n .
①-②得: ? Tn ? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n

? 1? 2

2(1 ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 n?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n . 1? 2

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n .
21.(1) f ( x) ? 0 ? x 2 ? 1 ? x 2 ? kx ? 0 ? k ? ?

x2 ?1 ? x2 x

, x ? ? 0, ?? ? ,

? 1 ?? x , x ? ? 0,1? x ?1 ? x ? ?? 记 g ( x) ? ? ,易知 g ( x) 在上 ? 0,1? 递增,在 1 x ??2 x ? , x ? ?1, ?? ? ? x ?
2 2

?1, ??? 上递减,
∴ g ( x)max ? g ?1? ? ?1,∴ k ? ?1 即可 5分

k ? 0 时,x ? ? 0 ? x ? 1 时, (2) ①ⅰ) 方程 f ( x) ? 0 化为 kx ? 1 ? 0 ,k ? 0 时, 无解;
2 ⅱ ) 1 ? x ? 2 时 , 方 程 f ( x) ? 0 化 为 2 x ? kx ? 1 ? 0 , x ?

1 ; k

? k ? k2 ? 8 ,而其中 4

? k ? k2 ? 8 ? k ? k2 ? 8 ? k ? k ; ? ? 0 ,故 f ( x) ? 0 在区间 ?1,2? 内至多有一解 x ? 4 4 4
综合ⅰ)ⅱ)可知, k ? 0 ,且 0 ? x ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 有一解 x ? ?

1 ,故 k ? ?1 ; k

1 ? x ? 2 时,方程 f ( x) ? 0 也仅有一解 x ?
?

? k ? k2 ? 8 ? k ? k2 ? 8 ? 2 ,得 ,令 1 ? 4 4
9分

7 7 ? k ? ?1 ,所以实数 k 的取值范围是 ? ? k ? ?1 ; 2 2

? k ? k2 ? 8 1 ②方程 f ( x) ? 0 的两解分别为 x1 ? ? , x2 ? , k 4

1 1 4 k ? k 2 ? 8 ?k ? k 2 ? 8 ? ? 2x2 ? ? 2,4? ? ? ?k ? ? ?k ? 2 x1 x2 2 ? k ? k2 ? 8


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