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高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解

一、选择题

1.(09·全国Ⅱ)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则?U(M∪N) =( )

A.{5,7} C.{2,4,8}

B.{2,4} D.{1,3,5,6,7}

[答案] C [解析] M∪N={1,3,5,6,7}, ∴?U(M∪N)={2,4,8},故选 C. 2.(2010·烟台二中)已知集合 M={y|y=x2},N={y|y2=x,x≥0},则 M∩N=( )

A.{(0,0),(1,1)} C.[0,+∞)

B.{0,1} D.[0,1]

[答案] C

[解析] M={y|y≥0},N=R,则 M∩N=[0,+∞),选 C. [点评] 本题极易出现的错误是:误以为 M∩N 中的元素是两抛物线 y2=x 与 y=x2 的交 点,错选 A.避免此类错误的关键是,先看集合 M,N 的代表元素是什么以确定集合 M∩N

中元素的属性.若代表元素为(x,y),则应选 A.

3.设集合 P={x|x=3k+16,k∈Z},Q={x|x=6k+13,k∈Z},则( )

A.P=Q C.P? Q

B.P? Q D.P∩Q=?

[答案] B [解析] P:x=3k+16=2k+6 1,k∈Z;Q:x=6k+13=k+6 2,k∈Z,从而 P 表示16的奇数

倍数组成的集合,而 Q 表示16的所有整数倍数组成的集合,故 P? Q.选 B.

[点评] 函数值域构成的集合关系的讨论,一般应先求出其值域.如果值域与整数有关, 可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式,利用整数的性质求解或用列举法讨论.

4.(文)满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

[答案] B [解析] 集合 M 必须含有元素 a1,a2,并且不能含有元素 a3,故 M={a1,a2}或{a1,a2, a4}. (理)(2010·湖北理,2)设集合 A={(x,y)|x42+1y62 =1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子

集的个数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

[答案] A [解析] 结合椭圆x42+1y62 =1 的图形及指数函数 y=3x 的图象可知,共有两个交点,故

A∩B 的子集的个数为 4.

5.(2010·辽宁理,1)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A ={9},则 A=( )

A.{1,3}

B.{3,7,9}

C.{3,5,9}

D.{3,9}

[答案] D

[解析] 由题意知,A 中有 3 和 9,若 A 中有 7(或 5),则?UB 中无 7(或 5),即 B 中有 7(或 5),则与 A∩B={3}矛盾,故选 D.

6.(文)(2010·合肥市)集合 M={x|x2-1=0},集合 N={x|x2-3x+2=0},全集为 U,则

图中阴影部分表示的集合是( )

A.{-1,1}

B.{-1}

C.{1}

D.?

[答案] B

[解析] ∵M={1,-1},N={1,2},∴M∩N={1},

故阴影部分表示的集合为{-1}.

(理)(2010·山东省实验中学)如图,I 是全集,A、B、C 是它的子集,则阴影部分所表示

的集合是( )

A.(?IA∩B)∩C

B.(?IB∪A)∩C

C.(A∩B)∩?IC

D.(A∩?IB)∩C

[答案] D

[解析] 阴影部分在 A 中,在 C 中,不在 B 中,故在?IB 中,因此是 A、C、?IB 的交集,

故选 D.

[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察,看阴影部分在哪些集合中,不在哪些集合

中,注意不在集合 M 中时,必在集合 M 的补集中.

7.已知钝角△ABC 的最长边长为 2,其余两边长为 a,b,则集合 P={(x,y)|x=a,y

=b}所表示的平面图形的面积是( )

A.2

B.4

C.π-2

D.4π-2

[答案] C

[解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a2+b2<22;②a+b>2;③0<a<2,0<b<2,于

是集合 P 中的点组成由条件①②③构成的图形,如图所示,则其面积为 S=π×422-12×2×2

=π-2,故选 C.

8.(文)(2010·山东滨州)集合 A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则 A∩B=( )

A.{0}

B.{1}

C.{0,1}

D.{-1,0,1}

[答案] B

[解析] ∵cos0=1,cos(-1)=cos1,∴B={1,cos1},

∴A∩B={1}.

(理)P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量

集合,则 P∩Q=( )

A.{(1,-2)}

B.{(-13,-23)}

C.{(1,-2)}

D.{(-23,-13)}

[答案] B

[解析] α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2),

令 a=β,得?????2mm-+11==23nn+-12

∴???m=-12 ??n=-7

∴P∩Q={(-13,-23)}.

9.若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x、y∈M},则 N 中

元素的个数为( )

A.9

B.6

C.4

D.2

[答案] C

[解析] N={(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)},按 x、y∈M,逐个验证得出 N.

10.(文)已知集合{1,2,3,…,100}的两个子集 A、B 满足:A 与 B 的元素个数相同,且

A∩B 为空集.若 n∈A 时,总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( )

A.62

B.66

C.68

D.74

[答案] B

[解析] 若 24 到 49 属于 A,则 50 至 100 的偶数属于 B 满足要求,此时 A∪B 已有 52

个元素;集合 A 取 1 到 10 的数时,集合 B 取 4 到 22 的偶数,由于 A∩B=?,∴4,6,8?A,

此时 A∪B 中将增加 14 个元素,∴A∪B 中元素个数最多有 52+14=66 个.

(理)设⊕是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对任意 a、b∈A,有 a⊕b∈A,则

称 A 对运算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的

是( )

A.自然数集

B.整数集

C.有理数集

D.无理数集

[答案] C

[解析] A:自然数集对减法,除法运算不封闭,

如 1-2=-1?N,1÷2=12?N.

B:整数集对除法运算不封闭,如 1÷2=12?Z.

C:有理数集对四则运算是封闭的.

D:无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭.

如( 2+1)+(1- 2)=2, 2- 2=0, 2× 2=2, 2÷ 2=1,

其运算结果都不属于无理数集.

二、填空题

11.(文)已知集合 A={x|log12x≥3},B={x|x≥a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是(-

∞,c],其中的 c=______.

[答案] 0

[解析] A={x|0<x≤18},∵A?B,

∴a≤0,∴c=0.

(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合 A={0,2,a2},B={1,a},若 A∪B=

{0,1,2,4},则实数 a 的值为________.

[答案] 2

[解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4 或 a2=4,若 a=4,则 a2=16,但 16?A∪B,∴a2

=4,∴a=±2,又-2?A∪B,∴a=2.

12.(2010·浙江萧山中学)在集合 M={0,12,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,该

集合恰满足条件“对?x∈A,则1x∈A”的概率是________.

[答案]

3 31

[解析] 集合 M 的非空子集有 25-1=31 个,而满足条件“对?x∈A,则1x∈A”的集合

A 中的元素为 1,2 或12,且12,2 要同时出现,故这样的集合有 3 个:{1},{12,2},{1,12,

2}.因此,所求的概率为331. 13.(文)(2010·江苏,1)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数
a=________. [答案] 1 [解析] ∵A∩B={3},∴3∈B, ∵a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1. (理)A={(x,y)|x2=y2} B={(x,y)|x=y2},则 A∩B=________. [答案] {(0,0),(1,1),(1,-1)}.

[解析] A∩B=????x,y?????????xx2==yy22

? ?={(0,0),(1,1),(1,-1)}. ?

14.若 A={x|22x-1≤14},B={x|log116x≥12},实数集 R 为全集,则(?RA)∩B=________.

[答案] {x|0<x≤14}

[解析] 由 22x-1≤14得,x≤-12,由 log116x≥12得,0<x≤14,

∴(?RA)∩B={x|x>-12}∩{x|0<x≤14}={x|0<x≤14}. 三、解答题 15.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)A={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B, ∴4+4(a+1)+(a2-5)=0,∴a=-1 或-3. (2)∵A∪B=A,∴B?A, 由 Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)=0 得,a=-3. 当 a=-3 时,B={2},符合题意;

当 a<-3 时,Δ<0,B=?,满足题意; 当 a>-3 时,∵B?A,∴B=A,

故?????2a?2a-+51=?=2 -3 ,无解.

综上知,a≤-3. 16.(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+ 2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0},若?U(A∪B)?C,求实数 a 的取值范围. [解析] A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或 x>2},A∪B={x|x<-4,或 x>-2}, ?U(A∪B)={x|-4≤x≤-2},而 C={x|(x-a)(x-3a)<0} (1)当 a>0 时,C={x|a<x<3a},显然不成立. (2)当 a=0 时,C=?,不成立.

(3)当 a<0 时,C={x|3a<x<a},要使?U(A∪B)?C,只需?????3aa><--24 ,即-2<a<-43.

综上知实数 a 的取值范围是??-2,-43??.
17.(文)设集合 A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问 是否存在非零整数 a,使 A∩B≠??若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理由.
[解析] 假设 A∩B≠?,则方程组

??y=2x-1 ???y=ax2-ax+a

有正整数解,消去 y 得,

ax2-(a+2)x+a+1=0(*)

由 Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0,

解得-2

3

3≤a≤2

3

3 .

因 a 为非零整数,∴a=±1,

当 a=-1 时,代入(*),解得 x=0 或 x=-1,

而 x∈N*.故 a≠-1.

当 a=1 时,代入(*),解得 x=1 或 x=2,符合题意.

故存在 a=1,使得 A∩B≠?,

此时 A∩B={(1,1),(2,3)}.

(理)(2010·厦门三中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*).

(1)求证数列{an}是等比数列,并求 an; (2)已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数 a,使得对于任意的 n∈N*,都有

Sn∈A?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. [解析] (1)①当 n=1 时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0)

②当 n≥2 时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)得, (a-1)Sn-1=a(an-1-1) ∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:aan-n 1=a(n≥2), 故{an}是以 a1=a 为首项,公比为 a 的等比数列, ∴an=an. (2)①当 a≥1 时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2?A, 即当 a≥1 时,不存在满足条件的实数 a. ②0<a<1 时,A={x|a≤x≤1} ∵Sn=a+a2+…+an=1-a a(1-an), ∴Sn∈[a,1-a a),

??0<a<1 因此对任意的 n∈N*,要使 Sn∈A,只需???1-a a≤1

,解得 0<a≤12,

综上得实数 a 的取值范围是(0,12].


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