fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2014一轮复习第7讲 抛物线 2

戴氏蜀西路总校:http://www.daishi-sxl.com/

第 7 讲 抛物线
【2014 年高考会这样考】 1.考查抛物线定义、标准方程. 2.考查抛物线的焦点弦问题. 3.与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等. 【复习指导】 熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式, 会根据抛物线的标准方程研究得 出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程;掌握代数知识,平面几何知 识在解析几何中的作用.

基础梳理 1.抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 其数学表达式:|MF|=d(其中 d 为点 M 到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程

y2=2px
(p>0)

y2=-2px
(p>0)

x2=2py
(p>0)

x2=-2py
(p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形 顶点 对称 轴 焦点 离心 率 ?p ? F? ,0? ?2 ?

O(0,0) y=0
? p ? F?- ,0? ? 2 ?

x=0 p? ? F?0, ?
? 2?

p? ? F?0,- ?
? 2?

e=1

1

准线 方程 范围 开口 方向 焦半 径

x=-

p
2

x=

p
2

y=-

p
2

y=

p
2

x≥0,y∈R
向右 |PF|=

x≤0,y∈R
向左 |PF|= -x0+

y≥0,x∈R
向上 |PF|=

y≤0,x∈R
向下 |PF|= -y0+

x0+

p
2

p
2

y0+

p
2

p
2

一个结论 ?p ? 焦半径:抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F? ,0?的距离|PF|=x0 ?2 ? + . 2 两种方法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p 的值,得到抛物线 的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数 p 的值,这里要注意抛物 线标准方程有四种形式. 从简单化角度出发, 焦点在 x 轴的, 设为 y2=ax(a≠0), 焦点在 y 轴的,设为 x2=by(b≠0).

p

双基自测

2

戴氏蜀西路总校:http://www.daishi-sxl.com/
1.(人教 A 版教材习题改编)抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( A.1 B.2 C.4 D.8 ).

解析 由 2p=8 得 p=4,即焦点到准线的距离为 4. 答案 C 2.(2012· 金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是 ( A.x2=-12y C.y2=-12x 解析 =3,∴p=6,∴x2=-12y. 2 答案 A 3.(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程 x=-2,则抛物线的方程是 ( A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x ). B.x2=12y D.y2=12x ).

p

解析 由准线方程 x =-2,顶点在原点,可得两条信息:①该抛物线焦点为

F(2,0);②该抛物线的焦准距 p=4.故所求抛物线方程为 y2=8x.
答案 C 4.(2012· 西安月考)设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛 物线焦点的距离是( A.4 B.6 ). C.8 D.12

解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为 x=-2, 又由点 P 到 y 轴的距离为 4, 可得点 P 的横坐标 xP=4,由抛物线定义可知点 P 到焦点的距离等于其到准线的 距离,即|PF|=xP+ =xP+2=4+2=6. 2 答案 B 5.(2012· 长春模拟)抛物线 y2=8x 的焦点坐标是________. 解析 ∵抛物线方程为 y2=8x,∴2p=8,即 p=4.∴焦点坐标为(2,0). 答案 (2,0)

p

考向一 抛物线的定义及其应用
3

【例 1】?(2011· 辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A. 4 B.1 C. 5 4 D. 7 4 ).

[审题视点] 由抛物线定义将|AF|+|BF|转化为线段 AB 的中点到准线的距离即 可. 解析

设抛物线的准线为 l,作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定义知|AA1|+ 1 1 5 |BB1|=|AF|+|BF|=3,则 AB 的中点到 y 轴的距离为 (|AA1|+|BB1|)- = . 2 4 4 答案 C 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线 的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解. 【训练 1】 (2011· 济南模拟)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到 点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A. 17 2 B.3 C. 5 D. 9 2 ).

解析 由抛物线的定义知,点 P 到该抛物线的距离等于点 P 到其焦点的距离,因 此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到焦点的距离之和,显然,当 P、F、(0,2)三点共线时,距离之和 取得最小值,最小值等于 答案 A 考向二 抛物线的标准方程及性质 【例 2】 ?(1)(2011· 南京模拟)以原点为顶点, 坐标轴为对称轴, 并且经过 P(-2, -4)的抛物线方程为________. (2)(2010· 浙江)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中 17 ? 1?2 ?0- ? +?2-0?2= . 2 ? 2?

4

戴氏蜀西路总校:http://www.daishi-sxl.com/
点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. [审题视点] (1)为求抛物线的方程问题,用待定系数法求解,根据题设条件,按 焦点所在位置的可能情况,分类讨论. (2)抓住 FA 的中点 B 在抛物线上,求出 p. 解析 (1)由于点 P 在第三象限. ①当焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 y2=-2px(p>0), 把点 P(-2,-4)代入得:(-4)2=-2p×(-2), 解得 p=4,∴抛物线方程为 y2=-8x. ②当焦点在 y 轴负半轴上时,设方程为 x =-2py(p>0),把点 P(-2,-4)代 入得:(-2)2=-2p×(-4). 1 解得 p= .∴抛物线方程为 x2=-y. 2 综上可知抛物线方程为 y2=-8x 或 x2=-y. ?p ? ?p ? (2)抛物线的焦点 F 的坐标为? ,0?,则线段 FA 的中点 B 的坐标为? ,1?,代入 ?2 ? ?4 ? ? 2 ? p 抛物线方程得 1=2p× ,解得 p= 2,故点 B 的坐标为? ,1?,故点 B 到该抛 4 ?4 ? 物线准线的距离为 2 2 3 2 + = . 4 2 4
2

3 2 答案 (1)y2=-8x 或 x2=-y (2) 4 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置, 开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只 需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【训练 2】 已知 F 为抛物线 x2=2py(p>0)的焦点,M 为其上一点,且|MF|=2p, 则直线 MF 的斜率为( A.- 3 3 B.± ). 3 3 C.- 3 D.± 3

p? p ? 解析 依题意,得 F?0, ?,准线为 y=- ,过点 M 作 MN 垂直于准线于 N,过 F 2? 2 ?
作 FQ 垂直于 MN 于 Q,

5

则|MN|=|MF|=2p,|MQ|=p,故∠MFQ=30° , 即直线 MF 的倾斜角为 150° 30° 或 ,斜率为- 答案 B 3 3 或 . 3 3

考向三 抛物线的综合应用 【例 3】 ?(2011· 江西)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交 抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若→=→+λ→,求 λ 的值. OC OA OB [审题视点] (1)联立方程,利用焦点弦公式求解;(2)先求出 A、B 坐标,利用关 系式表示出点 C 坐标,再利用点 C 在抛物线上求解.

6

戴氏蜀西路总校:http://www.daishi-sxl.com/
p? ? 2 2 2 解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?,与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p 2? ?
=0,所以 x1+x2= 5p , 4

由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); 设→=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2), OC 又 y2=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 3 即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2. 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何 性质、平面向量知识,以及数形结合思想和化归思想.其中直线与圆锥曲线的相 交问题一般是联立方程, 设而不求, 借助根的判别式及根与系数的关系进行转化.

【训练 3】 设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点. (1)设 L 的斜率为 1,求|AB|的大小; (2)求证:→· 是一个定值. OA → OB (1)解 ∵F(1,0),∴直线 L 的方程为 y=x-1, ?y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x ∴x1+x2=6,x1x2=1. 得 x2-6x+1=0,

7

∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 36-4=8. (2)证明 设直线 L 的方程为 x=ky+1, ?x=ky+1, 由? 2 ?y =4x 得 y2-4ky-4=0.

∴y1+y2=4k,y1y2=-4, →=(x ,y ),→=(x ,y ). OA OB 1 1 2 2 ∵→· =x1x2+y1y2 OA → OB =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3. ∴→· 是一个定值. OA → OB

阅卷报告 14——忽视“判别式”致误 【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法, 在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判断式,致使有的考生思 维定势的原因,任何情况下都没有考虑判别式,导致解题错误. 【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式 Δ. 【示例】?(2010· 福建)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共

8

戴氏蜀西路总校:http://www.daishi-sxl.com/
点,且直线 OA 与 l 的距离等于 明理由. 实录 (1)将点 A(1,-2)代入 y2=2px,得 p=2,故所求抛物线 C 的方程为 y2= 4x,其准线方程为 x=-1. 错因 遗漏判别式的应用.(2)假设存在直线 l,设 l:y=-2x+t, 由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 |t| 1 ,得 = ,解得 t=± 1. 5 5 5 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说 5

故符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0 或 2x+y+1=0. 正解 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t, ?y=-2x+t, 由? 2 ?y =4x, 得 y2+2y-2t=0.

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 5 所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- .另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= ,可得 2 5 |t| 1 ? 1 ? ? 1 ? = ,解得 t=± 1.因为-1??- ,+∞?,1∈?- ,+∞?, ? 2 ? ? 2 ? 5 5 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 【试一试】 (2012· 杭州模拟)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b> 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 5 在第一象限的交点,且|MF2|= . 3 (1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足→=MF1+MF2, MN → → 直线 l∥MN, 且与 C1 交于 A、 两点, →· B 若OA → OB =0,求直线 l 的方程. [尝试解答] (1)由 C2:y2=4x,知 F2(1,0), 设 M(x1,y1),M 在 C2 上,
9

x2 y2 a b

5 5 因为|MF2|= ,所以 x1+1= , 3 3 2 2 6 得 x1= ,y1= . 3 3 ?2 2 6? ?. 所以 M? , 3 ? ?3

M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c=1,

?94 +38 =1, b 于是? a ?b =a -1,
2 2 2 2

消去 b2 并整理得 9a4-37a2+4=0.

1 ? ? 解得 a=2?a= 不合题意,舍去?.故 b2=4-1=3. 3 ? ? 故椭圆 C1 的方程为 + =1. 4 3 → → MN (2)由MF1+MF2=→,知四边形 MF1NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O, 因为 l∥MN,所以 l 与 OM 的斜率相同. 2 6 3 故 l 的斜率 k= = 6. 2 3 设 l 的方程为 y= 6(x-m).

x2 y2

?x +y =1, 由? 4 3 ?y= 6?x-m?
消去 y 并整理得 9x2-16mx+8m2-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2= 16m 8m2-4 ,x1x2= . 9 9

2

2

因为→⊥→,所以 x1x2+y1y2=0. OA OB 所以 x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2

10

戴氏蜀西路总校:http://www.daishi-sxl.com/
8m2-4 16m 2 =7· -6m· +6m 9 9 1 = (14m2-28)=0. 9 所以 m=± 2. 此时 Δ=(16m)2-4×9(8m2-4) =-32m2+144=-32×2+144>0. 故所求直线 l 的方程为 y= 6x-2 3,或 y= 6x+2 3.

11


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图