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两当县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

两当县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知向量 , ,其中 .则“ ”是“ C.充要条件 ”成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 2. 下列命题中的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1>0” D.命题“在△ ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题为真命题 3. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是( ) D.既不充分又不必要条件

姓名__________

分数__________

A.

=

B.

∥ )

C.

D.

4. sin45°sin105°+sin45°sin15°=( A.0 5. 设函数 f(x)= A.(﹣3,1)∪(3,+∞) ﹣3)∪(1,3) B.

C.

D.1 ) D.(﹣∞,

则不等式 f(x)>f(1)的解集是( B.(﹣3,1)∪(2,+∞)

C.(﹣1,1)∪(3,+∞) )

6. 下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( A.f(x)=﹣xe B.f(x)=x+sinx C.f(x)= 7. 有以下四个命题: ①若 = ,则 x=y. ②若 lgx 有意义,则 x>0. ③若 x=y,则 =
2 |x|

D.f(x)=x2|x|


2

④若 x>y,则 x <y .

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则是真命题的序号为( A.①② B.①③
2

) C.②③ D.③④ )

8. 函数 y ? x -2x ?1 , x ? [0,3] 的值域为( A. B. C. D.

9. 某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信 息,可确定被抽测的人数及分数在 ?90,100? 内的人数分别为( )

A.20,2
2

B.24,4
x

C.25,2 ) D.1

D.25,4

10.函数 y ? (a ? 4a ? 4)a 是指数函数,则的值是( A.4 B.1 或 3 C.3

11.已知 x,y∈R,且 积为( A.4 ﹣ ) B.4 ﹣ C.

,则存在 θ∈R,使得 xcosθ+ysinθ+1=0 成立的 P(x,y)构成的区域面

D.

+

12.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区 间为( ) B.(﹣ ,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣∞,﹣ )

A.(﹣∞, )

二、填空题
13.【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】设函数 f ? ? x ? 是奇函数 f ? x ? 的导函数, f ? ?1? ? 0 ,当 x ? 0 时,

xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是__________.
14.对于集合 M,定义函数 对于两个集合 A,B,定义集合 A△ B={x|fA(x)fB(x) .

=﹣1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合 A△ B 的结果为

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15.已知 z,ω 为复数,i 为虚数单位,(1+3i)z 为纯虚数,ω=

,且|ω|=5

,则复数 ω=



16.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为 17.已知集合 A ? 的元素个数是

?? x ,y ? x ,y ? R ,x
.

2

? y 2 ? 1 , B ? ? x ,y ? x ,y ? R ,y ? 4x2 ? 1 ,则 A

?

?

?


B

18.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为



三、解答题
19. 4], x2﹣2x﹣2a≤0 恒成立, f =x2﹣ax+1 在区间 ?x∈[2, 已知命题 p: 命题 q: (x) p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 上是增函数. 若

20.已知正项等差{an},lga1,lga2,lga4 成等差数列,又 bn= (1)求证{bn}为等比数列. (2)若{bn}前 3 项的和等于 ,求{an}的首项 a1 和公差 d.

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21.【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数 f ? x ? ? ax ? lnx ,
2

1 2 4 5 1 x ? x ? lnx , f 2 ? x ? ? x 2 ? 2ax , a ? R 6 3 9 2 (1)求证:函数 f ? x ? 在点 ? e, f ? e ? ? 处的切线恒过定点,并求出定点的坐标; f1 ? x ? ?
(2)若 f ? x ? ? f 2 ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围; (3) 当a ?

2 时, 求证: 在区间 ? 0, ??? 上, 满足 f1 ? x ? ? g ? x ? ? f2 ? x ? 恒成立的函数 g ? x ? 有无穷多个. (记 3 ln5 ? 1.61, ln6 ? 1.79 )

22.若{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)均在函数 y= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求:使得

的图象上.

对所有 n∈N 都成立的最大正整数 m.

*

23.求同时满足下列两个条件的所有复数 z: ①z+ 是实数,且 1<z+ ≤6;

②z 的实部和虚部都是整数.

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24.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

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两当县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 反过来,若 ,则 ,则 或 ”成立的充分而不必要条件。 成立;

所以“ ”是“ 故答案为:A 2. 【答案】D

2 2 【解析】解:A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误,

B.由 x2+5x﹣6=0 得 x=1 或 x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故 B 错误, C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1≤0﹣5,故 C 错误, D.若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,即命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的为真命 题.则命题的逆否命题也成立,故 D 正确 故选:D. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命 题的否定,比较基础. 3. 【答案】D 【解析】解:由图可知, 故选 D. 【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题. 4. 【答案】C 【解析】解:sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15° =cos(45°﹣15°) =cos30° = . ,但 不共线,故 ,

故选:C. 【点评】本题主要考查了诱导公式,两角差的余弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应 用,考查了转化思想,属于基础题. 5. 【答案】A

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【解析】解:f(1)=3,当不等式 f(x)>f(1)即:f(x)>3 如果 x<0 则 x+6>3 可得 x>﹣3,可得﹣3<x<0.
2 如果 x≥0 有 x ﹣4x+6>3 可得 x>3 或

0≤x<1

综上不等式的解集:(﹣3,1)∪(3,+∞) 故选 A. 6. 【答案】A 【解析】解:满足“?x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为减函数, A 中函数 f(x)=﹣xe|x|,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数, 且 f′(x)= ≤0 恒成立,故在 R 上为减函数,

B 中函数 f(x)=x+sinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,但 f′(x)=1+cosx≥0,在 R 上是增函数, C 中函数 f(x)= ,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数;

D 中函数 f(x)=x2|x|,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数, 故选:A. 7. 【答案】A 【解析】解:①若 = ,则 ,则 x=y,即①对;

②若 lgx 有意义,则 x>0,即②对; ③若 x=y>0,则 =
2

,若 x=y<0,则不成立,即③错;
2

④若 x>y>0,则 x >y ,即④错. 故真命题的序号为①② 故选:A. 8. 【答案】A 【解析】
2 试题分析:函数 y ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1? ? 2 在区间 ?0,1? 上递减,在区间 ?1,3? 上递增,所以当 x=1 时, 2

f ? x ?min ? f ?1? ? ?2 ,当 x=3 时, f ? x ?max ? f ? 3? ? 2 ,所以值域为 ? ?2, 2? 。故选 A。

考点:二次函数的图象及性质。 9. 【答案】C

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【解析】

考 点:茎叶图,频率分布直方图. 10.【答案】C 【解析】

考点:指数函数的概念. 11.【答案】 A 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:对应的区域为三角形 OAB, 若存在 θ∈R,使得 xcosθ+ysinθ+1=0 成立, 则 令 sinα= 则方程等价为 即 sin(α+θ)=﹣ ( cosθ+ ,则 cosθ= sinθ)=﹣1, ,

sin(α+θ)=﹣1, ,

∵存在 θ∈R,使得 xcosθ+ysinθ+1=0 成立, ∴|﹣ |≤1,即 x2+y2≥1,

则对应的区域为单位圆的外部, 由 ,解得 ,即 B(2,2 × ), =4 ,

A(4,0),则三角形 OAB 的面积 S= 直线 y= 则∠AOB= x 的倾斜角为 , , ﹣

,即扇形的面积为

则 P(x,y)构成的区域面积为 S=4 故选:A



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【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件作出对应的图象,求出对应的面积是解决本题的关键.综合 性较强. 12.【答案】D
2 【解析】解:当 x∈(0, )时,2x +x∈(0,1),

∴0<a<1,
2 2 ∵函数 f(x)=loga(2x +x)(a>0,a≠1)由 f(x)=logat 和 t=2x +x 复合而成,

0<a<1 时,f(x)=logat 在(0,+∞)上是减函数,所以只要求 t=2x2+x>0 的单调递减区间. t=2x2+x>0 的单调递减区间为(﹣∞,﹣ ), ∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣ ), 故选:D. 【点评】本题考查复合函数的单调区间问题,复合函数的单调区间复合“同增异减”原则,在解题中勿忘真数 大于 0 条件.

二、填空题
13.【答案】 ? ??, ?1? ? ? 0,1?

【解析】 14.【答案】 {1,6,10,12} .

【解析】解:要使 fA(x)fB(x)=﹣1,

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必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A} ={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12,}, 所以 A△B={1,6,10,12}. 故答案为{1,6,10,12}. 【点评】本题是新定义题,考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是对新定义的理解,是基础题.

15.【答案】 ±(7﹣i) . 【解析】解:设 z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)z=(1+3i) (a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i 为纯虚数,∴ .

又 ω=

= .

=

,|ω|=

,∴

2 把 a=3b 代入化为 b =25,解得 b=±5,∴a=±15.

∴ω=± 故答案为±(7﹣i).

=±(7﹣i).

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出. 16.【答案】 平行 . 【解析】解:∵AB1∥C1D,AD1∥BC1, AB1?平面 AB1D1,AD1?平面 AB1D1,AB1∩AD1=A C1D?平面 BC1D,BC1?平面 BC1D,C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面 AB1D1∥平面 BC1D 故答案为:平行. 【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,在判断线与面的平行与垂直关系时,正方体是最常 用的空间模型,大家一定要熟练掌握这种方法. 17.【答案】 【解析】 试题分析:在平面直角坐标系中画出圆与抛物线的图形,可知它们有个交点.

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f(x) = 4?x2 1
12

10

8

6

4

2

20

15

10

5

5

10

15

20

2

4

6

8

10

12

考点:集合的基本运算. 18.【答案】 3+ .

【解析】解:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式. 前 n﹣1 行共有正整数 1+2+…+(n﹣1)个, 即 个, 个,

因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3+ 即为 3+ 故答案为:3+ . .

三、解答题
19.【答案】
2 【解析】解:?x∈[2,4],x ﹣2x﹣2a≤0 恒成立, 2 等价于 a≥ x ﹣x 在 x∈[2,4]恒成立, 2 而函数 g(x)= x ﹣x 在 x∈[2,4]递增,

其最大值是 g(4)=4, ∴a≥4, 若 p 为真命题,则 a≥4; f(x)=x2﹣ax+1 在区间 对称轴 x= ≤ ,∴a≤1, 若 q 为真命题,则 a≤1; 上是增函数,

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由题意知 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,a≥4;当 p 假 q 真时,a≤1, 所以 a 的取值范围为(﹣∞,1]∪[4,+∞). 20.【答案】 【解析】(1)证明:设{an}中首项为 a1,公差为 d. ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,∴2lga2=lga1+lga4,
2 ∴a2 =a1a4. 2 即(a1+d) =a1(a1+3d),∴d=0 或 d=a1.

当 d=0 时,an=a1,bn= 当 d=a1 时,an=na1,bn=

= =

,∴ ,∴

=1,∴{bn}为等比数列; = ,∴{bn}为等比数列.

综上可知{bn}为等比数列. (2)解:当 d=0 时,S3= 当 d=a1 时,S3= = = ,所以 a1= ;

,故 a1=3=d.

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用,涉及数列的公式多,复杂多样, 故应多下点功夫记忆. 21.【答案】(1)切线恒过定点 ?

?e 1? ? 1 1? , ? .(2) a 的范围是 ? ? , ? (3) 在区间 ?1, ?? ? 上,满足 ? 2 2? ?2 2? f1 ? x ? ? g ? x ? ? f2 ? x ? 恒成立函数 g ? x ? 有无穷多个
1 ? 1 ?? e? ?e 1? ? ? 2ae ? ?? x ? ? ,故过定点 ? , ? ; 2 ? e ?? 2? ?2 2?

【解析】 试题分析: (1) 根据导数的几何意义求得切线方程为 y ?

试题解析:

1 1 ,所以 f ? x ? 在点 ? e, f ? e ? ? 处的切线的斜率为 k ? 2ae ? , x e 1? ? 所以 f ? x ? 在点 ? e, f ? e ? ? 处的切线方程为 y ? ? 2ae ? ? ? x ? e ? ? ae2 ? 1 , e? ?
(1)因为 f ? ? x ? ? 2ax ?

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1 ? 1 ?? e? ?e 1? ? ? 2ae ? ?? x ? ? ,所以切线恒过定点 ? , ? . 2 ? e ?? 2? ?2 2? 1? ? (2)令 p ? x ? ? f ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? a ? ? x 2 ? 2ax ? lnx ? 0 ,对 x ? ?1, ?? ? 恒成立, 2? ? 2 1 ? 2a ? 1? x ? 2ax ? 1 ? x ? 1? ? ?? 2a ? 1? x ? 1? ? * 因为 p? ? x ? ? ? 2a ? 1? x ? 2a ? ? ? ?? x x x 1 令 p? ? x ? ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? , 2a ? 1 1 1 ①当 ? a ? 1时,有 x2 ? x1 ? 1,即 ? a ? 1时,在 ? x2 , ??? 上有 p? ? x ? ? 0 , 2 2 此时 p ? x ? 在区间 ? x2 , ??? 上是增函数,并且在该区间上有 p ? x ? ? ? p ? x2 ? , ?? ? ,不合题意;
整理得 y ? ②当 a ? 1 时,有 x2 ? x1 ? 1 ,同理可知, p ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上,有 p ? x ? ? p ?1? , ?? ,也不合题意; ③当 a ?

?

?

从而 p ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是减函数;

1 时,有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 ?1, ?? ? 上恒有 p? ? x ? ? 0 , 2 1 1 ?0?a?? , 2 2

要使 p ? x ? ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p ?1? ? ? a ? 所以 ?

1 1 ?a? . 2 2

综上可知 a 的范围是 ? ?

? 1 1? , . ? 2 2? ?

(利用参数分离得正确答案扣 2 分)

2 1 2 4 5 1 2 4 时, f1 ? x ? ? x ? x ? lnx , f 2 ? x ? ? x ? x 3 6 3 9 2 3 1 2 5 记 y ? f 2 ? x ? ? f1 ? x ? ? x ? lnx , x ? ?1, ?? ? . 3 9 2 2x 5 6x ? 5 ? ? 因为 y? ? , 3 9x 9x 5 令 y? ? 0 ,得 x ? 6 ? 5 ? ? 5? , ?? 所以 y ? f 2 ? x ? ? f1 ? x ? 在 ? 0, 为减函数,在 ? ? ? ? 6 ? 上为增函数, ? 6? ? ? ? ?
(3)当 a ?

5 59 时, ymin ? 180 6 59 ? ? 0 ? ? ? 1? ,则 f1 ? x ? ? R ? x ? ? f2 ? x ? , 设 R ? x ? ? f1 ? x ? ? 180
所以当 x ?
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所以在区间 ?1, ?? ? 上,满足 f1 ? x ? ? g ? x ? ? f2 ? x ? 恒成立函数 g ? x ? 有无穷多个 22.【答案】
2 【解析】解:(1)由题意知:Sn= n ﹣ n,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 当 n=1 时,a1=1,适合上式, 则 an=3n﹣2; bn= (2) 根据题意得: ﹣ =1﹣ , = = ﹣ Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ ,

* ∴{Tn}在 n∈N 上是增函数,∴(Tn)min=T1= ,

要使 Tn>

对所有 n∈N 都成立,只需

*

< ,即 m<15,

则最大的正整数 m 为 14. 23.【答案】 【解析】解:设 z+ 解方程得 z= ± =t,则 z2﹣tz+10=0.∵1<t≤6,∴△=t2﹣40<0, i.

又∵z 的实部和虚部都是整数,∴t=2 或 t=6, 故满足条件的复数共 4 个:z=1±3i 或 z=3±i. 24.【答案】 【解析】解:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 F(﹣2,0),从而有 (a>0,b>0),且可知左焦点为

,解得 c=2,a=4, .

2 2 2 2 又 a =b +c ,所以 b =12,故椭圆 C 的方程为

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t,



2 2 得 3x +3tx+t ﹣12=0,

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因为直线 l 与椭圆有公共点,所以有△=(3t) ﹣4×3(t ﹣12)≥0,解得﹣4 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 4= 由于±2 ?[﹣4 ,4 ,从而 t=±2 ,

2

2

≤t≤4



],所以符合题意的直线 l 不存在.

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想.

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