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永年区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

永年区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功” “今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。 思为:“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下 丈,长 AB=4 丈,上棱 EF=2 丈,EF∥平面 ABCD.EF 与平面 1 丈,问它的体积是( A.4 立方丈 C.6 立方丈 ) B.5 立方丈 D.8 立方丈 有如下的问题: 问积几何?”意 底 面 宽 AD = 3 ABCD 的距离为

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知命题 p:“?∈[1,e],a>lnx”,命题 q:“?x∈R,x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(1,4] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(4,+∞) 3. 定义在[1,+∞)上的函数 f(x)满足:①当 2≤x≤4 时,f(x)=1﹣|x﹣3|;②f(2x)=cf(x)(c 为正 常数), 若函数的所有极大值点都落在同一直线上,则常数 c 的值是( A.1 B.±2 C. 或 3 D.1 或 2 )

4. 函数 y ? A sin(? x ? ?) 在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为( A. y ? 2sin(2 x ?



?
3

)

B. y ? 2sin(2 x ?

2? ) 3

C. y ? 2 sin( ?

x 2

?

) D. y ? 2sin(2 x ? ) 3 3

?

5. 若复数(2+ai)2(a∈R)是实数(i 是虚数单位),则实数 a 的值为( A.﹣2 B.±2 C.0 D.2



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6.已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 满足 A.(0,1) B.(0, ]

=0 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是 ( C.(0, ) ) D.[ ,1)



7. 给出函数 f ( x ) , g ( x) 如下表,则 f ( g ( x)) 的值域为(

A. ?4,2? 查结果如下表所示. 杂质高 旧设备 新设备 37 22

B. ?1,3?

C. ?1,2,3,4?

D.以上情况都有可能

8. 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调 杂质低 121 202 )

根据以上数据,则(

A.含杂质的高低与设备改造有关 B.含杂质的高低与设备改造无关 C.设备是否改造决定含杂质的高低 D.以上答案都不对 9. 在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若 a 为无理数,则在过点 P(a,﹣ ) 的所有直线中( ) A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点 B.恰有 n(n≥2)条直线,每条直线上至少存在两个有理点 C.有且仅有一条直线至少过两个有理点 D.每条直线至多过一个有理点

10.已知两条直线 ax+y﹣2=0 和 3x+(a+2)y+1=0 互相平行,则实数 a 等于( A.1 或﹣3 B.﹣1 或 3 C.1 或 3 D.﹣1 或﹣3

) ) D.

11.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是,,,已知 8b ? 5c , C ? 2 B ,则 cos C ? ( A.

7 25

B. ?

7 25


C. ?

7 25

24 25

12.已知命题 p : ?x ? 0, x ?

1 ? 2 ,则 ? p 为( x

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1 ?2 x 1 C. ?x ? 0, x ? ? 2 x
A. ?x ? 0, x ?

B. ?x ? 0, x ?

1 ?2 x 1 D. ?x ? 0, x ? ? 2 x


二、填空题
13.若 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于

14.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,已知 y 15.log3 y +lg25+lg4﹣7

?e

f′ ? x?

的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的增区间是 ▲ . .

0 ﹣(﹣9.8) =

10 , ab ? ba ,则 a ? b = ▲ . 3 17.若“ x<a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 x O 1 2 18.已知 tanβ= ,tan(α﹣β)= ,其中 α,β 均为锐角,则 α= .

16.已知 1 a ? b ? 1 ,若 loga b ? logb a ?



三、解答题
19.(本小题满分 12 分)已知函数 h( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 1 ,设 f ( x) ? h' ( x) ? 2a ln x , 3

g ( x) ? ln 2 x ? 2a 2 ,其中 x ? 0 , a ? R . (1)若函数 f ( x) 在区间 (2,??) 上单调递增,求实数的取值范围; 1 (2)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ? . 2

20.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=2,AA1=4,E 为 AA1 的中点,F 为 BC 的中点 (1)求证:直线 AF∥平面 BEC1 (2)求 A 到平面 BEC1 的距离.

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21.24.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲. 已知函数 f(x)=|x+1|+2|x-a2|(a∈R). (1)若函数 f(x)的最小值为 3,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象围成一个三角形,求 m 的范围,并求围成的三 角形面积的最大值.

22.如图在长方形 ABCD 中, (1)若 M 是 AB 的中点,求证: 与 共线; 与

是 CD 的中点,M 是线段 AB 上的点,



(2)在线段 AB 上是否存在点 M,使得

垂直?若不存在请说明理由,若存在请求出 M 点的位置; 的最大值及取得最大值时 P 点的位置.

(3)若动点 P 在长方形 ABCD 上运动,试求

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23.(本小题满分 12 分)一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点, 当 P 点为 ? 0, 0 ? 时, 求此直线方程.

24.(本小题满分 10 分) 已知圆 P 过点 A(1,0) , B(4,0) . (1)若圆 P 还过点 C (6,?2) ,求圆 P 的方程; (2)若圆心 P 的纵坐标为,求圆 P 的方程.

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永年区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 【解析】解析:

选 B.如图,设 E、F 在平面 ABCD 上的射影分别为 P,Q,过 P,Q 分别作 GH∥MN∥AD 交 AB 于 G,M,交 DC 于 H,N,连接 EH、GH、FN、MN,则平面 EGH 与平面 FMN 将原多面体分成四棱锥 EAGHD 与四棱锥 FMBCN 与直三棱柱 EGHFMN. 由题意得 GH=MN=AD=3,GM=EF=2, EP=FQ=1,AG+MB=AB-GM=2, 1 1 1 所求的体积为 V= (S 矩形 AGHD+S 矩形 MBCN)· EP+S△EGH·EF= ×(2×3)×1+ ×3×1×2=5 立方丈,故选 B. 3 3 2 2. 【答案】A 【解析】解:若命题 p:“?∈[1,e],a>lnx,为真命题, 则 a>lne=1, 若命题 q:“?x∈R,x ﹣4x+a=0”为真命题, 则△=16﹣4a≥0,解得 a≤4, 若命题“p∧q”为真命题, 则 p,q 都是真命题, 则 ,
2

解得:1<a≤4. 故实数 a 的取值范围为(1,4]. 故选:A. 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出命题 p,q 的等价条件是解决本题的 关键. 3. 【答案】D 【解析】解:∵当 2≤x≤4 时,f(x)=1﹣|x﹣3|. 当 1≤x<2 时,2≤2x<4, 则 f(x)= f(2x)= (1﹣|2x﹣3|),

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此时当 x= 时,函数取极大值 ; 当 2≤x≤4 时, f(x)=1﹣|x﹣3|; 此时当 x=3 时,函数取极大值 1; 当 4<x≤8 时,2< ≤4, 则 f(x)=cf( )=c(1﹣| ﹣3|), 此时当 x=6 时,函数取极大值 c. ∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上, 即点( , ),(3,1),(6,c)共线,



=



解得 c=1 或 2. 故选 D. 【点评】本题考查的知识点是三点共线,函数的极值,其中根据已知分析出分段函数 f(x)的解析式,进而 求出三个函数的极值点坐标,是解答本题的关键. 4. 【答案】B 【解析】

考点:三角函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质. 5. 【答案】C
2 2 【解析】解:∵复数(2+ai) =4﹣a +4ai 是实数,

∴4a=0, 解得 a=0. 故选:C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题. 6. 【答案】C 【解析】解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c,

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=0,

∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内部,
2 2 2 2 ∴该圆内含于椭圆,即 c<b,c <b =a ﹣c . 2 ∴e =

< ,∴0<e<



故选:C. 【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取,认真解答. 7. 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : f ( g (1)) ? f ?1? ? 4, f ( g (2)) ? f ?1? ? 4, f ( g (3)) ? f ?3? ? 2, f ( g (4)) ? f ?3? ? 4, 故 值 域 为

?4,2? .
考点:复合函数求值. 8. 【答案】 A 【解析】 独立性检验的应用. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】根据所给的数据写出列联表,把列联表的数据代入观测值的公式,求出两个变量之间的观测值,把观 测值同临界值表中的数据进行比较,得到有 99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的. 【解答】解:由已知数据得到如下 2×2 列联表 杂质高 旧设备 新设备 合计
2 由公式 κ =

杂质低 121 202 323

合计 158 224 382 ≈13.11,

37 22 59

由于 13.11>6.635,故有 99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的. 【点评】本题考查独立性检验,考查写出列联表,这是一个基础题. 9. 【答案】C 【解析】解:设一条直线上存在两个有理点 A(x1,y1),B(x2,y2),

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由于

也在此直线上,

所以,当 x1=x2 时,有 x1=x2=a 为无理数,与假设矛盾,此时该直线不存在有理点; 当 x1≠x2 时,直线的斜率存在,且有 ,

又 x2﹣a 为无理数,而 所以只能是 即 ;

为有理数,

,且 y2﹣y1=0,

所以满足条件的直线只有一条,且直线方程是 所以,正确的选项为 C. 故选:C.



【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题,解题的关键是理解新定义的内容,寻找解 题的途径,是难理解的题目. 10.【答案】A 【解析】解:两条直线 ax+y﹣2=0 和 3x+(a+2)y+1=0 互相平行, 所以 = ≠ ,

解得 a=﹣3,或 a=1. 故选:A. 11.【答案】A 【解析】

考 点:正弦定理及二倍角公式. 【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化,同角三角函数间的基本关系及二倍角公式,

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如 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定 理

a b c ? ? ? 2 R ,余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 实现边与角的互相转化. sin A sin B sin C

12.【答案】D 【解析】

考 点:全称命题的否定.

二、填空题
13.【答案】5 【解析】 解: 由题意 令 =0,得 n=
r n﹣r 的展开式的项为 Tr+1=Cn( x6) ( r ) =Cnr

=Cnr

,当 r=4 时,n 取到最小值 5

故答案为:5. 【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的 条件转化成指数为 0,得到 n 的表达式,推测出它的值. 14.【答案】(﹣∞,2) 【解析】 试题分析:由 x ?

2时e

f′ ? x?

? 1 ? f ?( x) ? 0 , x ? 2时e

f′ ? x?

? 1 ? f ?( x) ? 0 ,所以 y ? f ( x) 的

增区间是(﹣∞,2) 考点:函数单调区间 15.【答案】 .

【解析】解:原式= +lg100﹣2﹣1= +2﹣2﹣1= , 故选: 【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 16.【答案】 4 3 【解析】

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10 1 10 1 (舍) 试题分析:因为 a ? b ? 1 ,所以 logb a ? 1 ,又 log a b ? logb a ? 3 ? log a ? logb a ? 3 ? logb a ? 3或 3 , b

因此 a ? b3 ,因为 ab ? ba ,所以 b3b ? bb ? 3b ? b3 , b ? 1 ? b ? 3, a ? 3 3 , a ? b ? 4 3
3

考点:指对数式运算 17.【答案】 a≤﹣1 . 【解析】解:由 x ﹣2x﹣3≥0 得 x≥3 或 x≤﹣1,
2 若“x<a”是“x ﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件, 2

则 a≤﹣1, 故答案为:a≤﹣1. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键.

18.【答案】



【解析】解:∵tanβ= ,α,β 均为锐角,

∴tan(α﹣β)=

=

= ,解得:tanα=1,

∴α=

. .

故答案为:

【点评】本题考查了两角差的正切公式,掌握公式是关键,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】(1) (?? , ] .(2)证明见解析. 【 解 析 】

4 3

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1 3 x ? ax 2 ? 1 , h' ( x) ? x 2 ? 2ax ,1111] 3 所以函数 f ( x) ? h' ( x) ? 2a ln x ? x2 ? 2ax ? 2a ln x ,∵函数 f ( x) 在区间 (2,??) 上单调递增,
题解析:解:(1)函数 h( x) ? ∴ f ' ( x) ? h' ( x) ? 2a ln x ? 立. 令 M ( x) ?

2 x 2 ? 2ax ? 2a x2 ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立,所以 a ? 在 x ? (2,??) 上恒成 x x ?1

x2 2 x( x ? 1) ? x 2 x 2 ? 2 x ,则 M ' ( x) ? ,当 x ? (2,??) 时, M ' ( x) ? 0 , ? x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

4 x2 4 ? M (2) ? ,∴实数的取值范围为 (?? , ] . ∴ M ( x) ? 3 x ?1 3
(2) F ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln x ? 2a ? 2[a ? ( x ? ln x)a ?
2 2 2 2

x 2 ? ln 2 x ], 2

x 2 ? ln 2 x ,则 111] 2 x ? ln x 2 x ? ln x 2 x 2 ? ln 2 x x ? ln x 2 ( x ? ln x)2 ( x ? ln x)2 P( a ) ? ( a ? ) ?( ) ? ? (a ? ) ? ? . 2 2 2 2 4 4 1 x ?1 令 Q( x) ? x ? ln x , 则 Q' ( x) ? 1 ? ? , 显然 Q ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递减, 在区间 [1,??) 上单调递增, x x 1 1 1 则 Q( x)min ? Q(1) ? 1 ,则 P(a ) ? ,故 F ( x) ? 2 ? ? . 4 4 2
令 P(a) ? a ? ( x ? ln x)a ?
2

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.(1)利用导数的工具 性求解实数的取值范围; (2)先写出具体函数 F ?x ? ,通过观察 F ?x ? 的解析式的形式,能够想到解析式里可能存 在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于 导判单调性求出最值证得成立.

1 即可,从而对新函数求 4

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20.【答案】 【解析】解:(1)取 BC1 的中点 H,连接 HE、HF, 则△BCC1 中,HF∥CC1 且 HF= CC1 又∵平行四边形 AA1C1C 中,AE∥CC1 且 AE=CC1 ∴AE∥HF 且 AE=HF,可得四边形 AFHE 为平行四边形, ∴AF∥HE, ∵AF?平面 REC1,HE?平面 REC1 ∴AF∥平面 REC1.… (2)等边△ABC 中,高 AF= = ,所以 EH=AF=

由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱,得 C1 到平面 AA1B1B 的距离等于 ∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得 EH⊥BC1 可得 S△ = BC1?EH= × × = ,

而 S△ABE= AB×BE=2 由等体积法得 VA﹣BEC1=VC1﹣BEC, ∴ S△ 即 × ×d= S△ABE× ×d= ×2× ,(d 为点 A 到平面 BEC1 的距离)

,解之得 d= .…

∴点 A 到平面 BEC1 的距离等于

【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行,并求点到平面的距离.着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定 定理和等体积法求点到平面的距离等知识,属于中档题. 21.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=|x+1|+2|x-a2|

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-3x+2a -1,x≤-1, ? ? =?-x+2a +1,-1<x<a , ? ?3x-2a +1,x≥a ,
2 2 2 2 2

当 x≤-1 时,f(x)≥f(-1)=2a2+2, -1<x<a2,f(a2)<f(x)<f(-1), 即 a2+1<f(x)<2a2+2, 当 x≥a2,f(x)≥f(a2)=a2+1, 所以当 x=a2 时,f(x)min=a2+1,由题意得 a2+1=3,∴a=± 2. (2)当 a=± 2时,由(1)知 f(x)= -3x+3,x≤-1, ? ? ?-x+5,-1<x<2, ? ?3x-3,x≥2, 由 y=f(x)与 y=m 的图象知,当它们围成三角形时,m 的范围为(3,6],当 m=6 时,围成的三角形面积 1 最大,此时面积为 ×|3-(-1)|×|6-3|=6. 2

22.【答案】 【解析】(1)证明:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 当 M 是 AB 的中点时,A(0,0),N(1,1),C(2,1),M(1,0), , 由 ,可得 与 共线; 与 垂直, (2)解:假设线段 AB 上是否存在点 M,使得 , 由 =﹣2(t﹣2)﹣1=0,解得 t= ,

设 M(t,0)(0≤t≤2),则 B(2,0),D(0,1),M(t,0),

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∴线段 AB 上存在点 则 有最大值为 4.

,使得



垂直; 在 上的投影最大,

(3)解:由图看出,当 P 在线段 BC 上时,

【点评】 本题考查平面向量的数量积运算, 考查了向量在向量方向上的投影, 体现了数形结合的解题思想方法, 是中档题. 23.【答案】 y ? ? 【解析】 试题分析:设所求直线与两直线 l1 , l2 分别交于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,根据因为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 分别在直线

1 x. 6

l1 , l2 上,列出方程组,求解 x1 , y1 的值,即可求解直线的方程. 1

考点:直线方程的求解.
2 2 24.【答案】(1) x ? y ? 5x ? 7 y ? 4 ? 0 ;(2) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

5 2

25 . 4
2 2

【解析】 试题分析:(1)当题设给出圆上三点时,求圆的方程,此时设圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将

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三点代入,求解圆的方程;(2)AB 的垂直平分线过圆心,所以圆心的横坐标为 段为半径,根据圆心与半径求圆的标准方程. 试题解析:(1)设圆 P 的方程是 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则由已知得

5 ,圆心与圆上任一点连线 2

?12 ? 02 ? D ? 0 ? F ? 0 ? D ? ?5 ? 2 ? 2 ,解得 ? E ? 7 . ?4 ? 0 ? 4 D ? 0 ? F ? 0 ?F ? 4 ?62 ? (?2) 2 ? 6 D ? 2 E ? F ? 0 ? ? 故圆 P 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5x ? 7 y ? 4 ? 0 . 5 1? 4 5 ? ,故圆心 P( ,2) , (2)由圆的对称性可知,圆心 P 的横坐标为 2 2 2 5 2 5 2 故圆 P 的半径 r ?| AP |? (1 ? ) ? (0 ? 2) ? , 2 2 5 2 25 2 故圆 P 的标准方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ? . 2 4
考点:圆的方程

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