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高中数学解题策略教学的实践研究_图文

2 0 1 6年 第 7期 ( 上)  

中学 数学研 究 

l 3  

高中数 学解题 策略教 学的实践 研究 
广 东省化州市 官桥 中学 ( 5 2 5 1 4 5 )   董才 秀 
高 中数 学的特点 是公 式多 、 内容复杂 、 问题形 式变化无  穷等 . 因此, 如何有效地组 织高中数学解题教学 , 是历年 数学  教 学研 究 中最热 门 的课题 . 而数 学教 学过 程 总是伴 随着 学  生思维 发展和能力 培养所进行 的, 这也体 现了现代教育 强调  等基础知识加 以集 中整 理. 凡在题 中出现的概念 、 公式 、 性质  等内容都是平 时理解 、 记忆、 运用的重点, 也是我们在解题时  首先需要 回忆 的对象.   2 . 探 索最 优化的解 题途径  确定 解题方 法问题 的求解 思路一 般可通 过两种 不 同的  方向来实现, 即“ 由因导果 ” 和“ 依果溯 因” . 由因导果指 的是  从 已知出发, 运用 已经学 过 的数 学知识来 寻求解 答过程 , 也  就是我们 常说 的综合 法, 按 照这个 过程, 要求 我们在解 题过  程 中要 善于利 用 已知 条件, 将 已知条件 进行转化 , 以便有利  于问题 的解决. 如果 不能解决 所提 出的问题, 可先解 决一个 
与此有关的问题. 你能不能想 出一个更容易人手 的有关问题,  


“ 思维发展 与能力并重” 的基本要求 , 也就是使学生 能够运用 
所学 数学知 识解决 实际 问题 , 达到 “ 学生用 自己的方法解决 

自己的问题” 的 目. 所以, 在 高中阶段开展解题策 略的研 究有  着 十分重要 的现 实意义 , 这 是数学 教育 者的责任 , 也 是 时代  对 我们 的要 求. 而提 高数学解 题能力 , 主要 从 以下 几方 面策 
略进行 :  




重视 解题 步 骤, 提 高解 题效 率 
公认 的数学解 题步骤 可 以分为 以下 四步 : 第 一步 , 了解 

个更普遍 的问题, 一个 代表性 的问题 , 一个更特 殊的 问题?  

问题; 第二步, 设 计解题过程 ; 第 三步, 解题过程 的落实; 第 四  步, 检 验结果 . 教 学 中我 们发现, 学 生普遍存 在 的情 况是, 匆 

类 比其 他问题, 你能 解决这个 问题 的一 部分吗?你能不能从  已知数据导 出某些有用 的东西? 你能不能想 出适于确定未知  数 的其他 数据? 你 是否利用 了所 有数据? 你 是否利用 了整个 
条件?你是否考虑 了包含在 问题 中的所有必要 的概念? 这个  过程可 以通过 以下几种方式来实现 

匆 读题 后就 急于下手, 实 际上这 时对 问题的意 义 、 涉及 的概 
念、 相关 的知识都 不甚 清楚, 解 题的结局 可想 而知, 有一 位数  学 家说 过, 善于解 题 的人用一半 时 间来 理解 问题, 另一 半 的  时间完 成解答, 可见理解题 意是解 题过程中的重要步骤.  
1 . 养成 良好的审题 习惯 

( 1 ) . 观察 题 目结构 , 联想所 学知识, 确定解题方 法. 观 察  题 目的组成结 构. 看与所 学 的知识 有哪些相 似之处, 并运用  相关知识, 实现问题的解答过程.  

数 学解 题 中最 要 的问题 是读懂 题 目, 挖掘 出 隐含条件 .  

例如 : 解方 程 4  +2 计 0—3=0 .   观 察整个 式 子 的结构, 可 以将方 程转 化为 ( 2   ) 。+4×   2  一3= 0 , 在其结构上很 明显是一个一元二次方程.   ( 2 ) . 查看题 目外形, 查 询蕴含规律, 确定解题方法.  

所 谓 的隐含条 件是 指数学题 目中那些若 明若 暗含 而不 露 的   已知条件, 或者从题设 中不断发现并利用 条件进行 推理和变  形 而重新发现 的条件. 我们 常说 某个数学题对 多数 学生来说 
是 一个难题 , 难在 哪昵?很大程度难 在隐含条 件 的深度 与广  度. 一般来说 , 隐含条 件通常隐蔽在数 学定 义与性质 中, 或隐 

例如 : 若a . b 、 c 是正数, 求证: 0 + 6 + c ≥、 / /  +~ /  +√ .  
通过 不等式我们可 以看 出两边都是 a 、 b 、 C的轮换式, 可  以使用重要不 等式证 明.   ( 3 ) . 观察题 目整体, 审视全面 内容 , 确定解 题方法. 从大  局 上把握 问题 , 对 问题全方 位审视, 并注意 问题 的局部处 理,   可以方便 地发现问题的实质.  

蔽在函数 的定 义域与值域 之中, 或 隐蔽在几何 图形 的特殊位 
置上, 或隐蔽在知识 的相互联系之 中. 因此, 要 培养学生挖掘  隐含条 件的能力, 当看到题 目时, 不能拿 过来就做, 应 当先把  题意 了解清 楚, 在题 目给 出的条件 中找 出有 价值 的东西 , 了 

解题 目的要 求是求 一个 最终 的结 果还 是验证 一个理 论的正 
确与 否, 了解题 目的结 构特征 , 从 题 目条 件 出发找 出与结论 

例如: 已知 为复数, 且I Z I =1 , 求I 1 一i +z l =1的最 
大值 和最小值 .  

的 内在联 系, 确定 解题方 向, 明确解题 思路, 找到解题 的数学  思想和数学方 法. 所 以说 , 审题是 正确解题 的前题条 件, 通过  审题, 可 以掌握用 于解题 的第一 手资料 一 已知条件 , 弄清题  目要求 . 而审题 的第一个关键 在于 : 将有 关概念 、 公式、 定理 

利用复数的三角式可以将求 I 1 一i +  l 的最值问题转化 
为求 三角函数的最值问题.   3 . 落 实解题 方法 , 验算解题结果 

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解题 的实 现过程要求要 简单 明 了, 层次分 明、 规 范严谨.   而求 出具体 的结果 以后, 要进 行仔细 的验算, 以便尽 可能早 

间, 从 而激 励学生 真正投入 到对知识 的追求 和探索 中去, 使 
学生在 解题 中的 自主 意识 、 探索意识 、 创 新意识 不断得 到增 

地发 现问题, 并及 时地进行解 决, 保 证得 到的结果数 据的准  强, 进 而促 进学生 全面发展 , 为学 生 的终 生学 习打下 了坚 实  确. 验算 的过程 主要 是检验所得数 据有无错误 , 所得 答案是  的 基 础 .   否合 理, 推 理过程是 否每一 步都有理有 据, 解 题格式 是否运  用正确等.  

四、 做 好解 题后 的反 思工 作 
通 过解题 回顾, 学 生可 以不断 丰富 自己的认知水 平, 从  而指导 和监控 自己的解题过程 , 在学 习的不断升华 中完善和 

二、 引导 学生概 括 、 领悟 常见 的数 学思维 与方 法 
而是学 习解 题, 因此, 教 师教 的重点和学 生学 的重 点不在 于 

在数 学 问题 的解 决过 程 中, 学生 的主 要任务 不是 解题,   发展 自己的思维能力。 如何让学生在数学学 习中坚持做 好解  题反思, 笔者认 为坚 持做 到以下三个方 面是行之有效 的:   1 . 写反思 1 3记. 数学1 3记对大 部分学生 比较 新鲜, 类似  于他们在学 习语文 时写 的 日记 、 作文, 学习数 学也可 以写 日  

“ 解” 而在 于 “ 学 习解” . 以“ 解” 作 为出发点, 注重的是解题 结 
果; 以“ 学习解” 作为出发点, 注重的则是解 题的思维 过程 .  

数 学思想 较之数学基 础知识 , 有更 高 的层 次和地 位, 它  记 . 把对解题 的思考 以 日记 的形式记 录下来, 以便及时 回顾 、  

蕴涵在数 学知识发生 、 发 展和应用 的过程 中, 它 是一种数 学 

总结所学 的知识, 加深对题 目本质 的认 识. 数学 日记 主要收 

意识 , 属于思维的范畴, 用 以对数学问题的认识 、 处 理和锯决 .   集 一些 自己曾经做错或不会做 的题 目, 写 出当时的解题思路  数学方法是数学思想 的具体体现 , 具有模式化与可操作性 的  特征, 可以作为解题 的具体手 段. 只有对数学 思想与方法 概  括了, 才能在分 析和解决 问题时得 心应手 : 只有 领悟 了数 学  思想与方法, 书本的 、 别人 的知识技巧才会变成 自己的能力.   和解题过程 , 并写 上正确 的解答. 通过 比较 自己当初 的想法  和正确 解答 . 找 出问题所 在, 进行 错误 分析, 并 尝试将 其归 
类、 推广和引申.  

2 . 典型 问题 重点反思 . 高 中数 学知识点 多, 综 合运用能 
力要求较 高, 反思 不可能面 面俱 到, 抓住 典型就抓住 了重点,  
对于典型问题的反思要深 刻、 全面 .  

每一种数 学思想 与方法都 有它们适 用 的特 定环境 和依  据的基本 理论, 如分类讨论思 想可 以分成 : ( 1 ) 由于概 念本身 
需要分类 的, 如等 比数列 的求和公式 中对公 比 q的分类 、 直  线方程 中对斜率  的分类等; ( 2 ) 同解变形 中需要分类 的, 如  含参 问题 中对参数 的讨论 、 解不等式 组 中解集 的讨论等 . 因  此, 在数学课 堂教学 中应重视通性通法, 淡化特殊技巧, 使学  生认识 一种 “ 思想 ” 或“ 方法 ” 的个性 , 即认识一 种数学 思想  或方法对 于解决什么样 的问题有效 . 从而培养和提高学生合  理、 正确地应用数学 思想 与方法分析和解决问题的能力.  

3 . 疑难 问题反 复反思数学 活动是一个 不断反 思与建构 
的过程, 尤其是疑难 问题 的消化 , 不可能一蹴 而就, 它应该是 


个反 复的 、 螺旋式上 升的结构 . 比如概念 、 性质 中的疑点 、  

难点 、 易错 点和易混淆 点  会经常 碰到也可能经 常出现失误,  

要经 过多次 的反思, 一次次 加深理解, 最终 达到根 深蒂 固的 
目的. 解题 反思就 是磨练解题 武器 的过 程, 它所起 到 的举 一 

反三 的作用 可以提高学生 的复 习效 率, 进而消除学生在 复习  
中产生 的 “ 高原现象” .   所 以说, 解题 回顾过程 中, 不仅 回顾有关 知识 、 解题 方法  以及理 解题意 的过程, 而 且还要 回顾 的有: 开始怎样探索 的,  

三、 善 用质 疑 问难 , 激 发创新 思维 
“ 疑” 能产生动力 , “ 疑” 孕育着 发现. 新课 程指 出: 教师 

的职 责是通 过创设情境 , 引 导学生不 断地提 出问题, 使学 习  过程变成学生不断提 出问题 、 解决 问题 的探索过程. 因此, 教  师在 教学 中要鼓励 和指导 学生发 问、 追 问, 不 唯老师 、 同学 、  
书本 上的方法, 敢于 发现问题 、 提 出问题 、 分析 问题 、 解决 问 

走 过什么弯 路, 产 生过那些 错误, 为什 么导致 出现弯路 与错 
误 等等. 久而久之 就可 以总结 出带有规 律性 的思 维经验, 这  些 带有规律 性 的思 维经验, 有 的是 思维 策略, 有 的是解 题 的 

题, 培养学生的问题 意识和探究精神. 在这一 方面, 合作学 习  是新课程 改革 大力倡导的一种重要学 习方式, 也是新课标体 

认知知识, 它们 是今后解题行 动的指南 .  
总 之, 解 题能力 的形成 , 既 离不开具 体的数 学知识 而独 

现 的一种理念. 通过师 生互动活 动、 生 生互动使 学生在一 种  立存在 , 也离不开其他能力 而独立发展 . 它和记忆力 、 观察想 

宽松 的学 习氛 围中从不 同角度 、 不 同方 式探索 和思考 问题,   象 力、 表达能 力 、 空间想象 力和逻辑 思维能力相互制约. 除 了 
从而增强创新意识, 激发创新潜能.   学 会正确 的思维方 法之外, 还必 须养成 良好 的思 维 品质, 主 

实践证 明, 实施小组解题合作 , 让学生动 手动脑, 亲身 参  要 是思维 的灵活性, 深刻性 、 广 阔性 、 批判性 和创造性 . 提高  与解 题实践 、 自主探索有 利于数学 思维 的发展, 有 利于改 变  数 学解题 策略是 一项长 期复杂 的系统工程 , 因此, 我们 在进 
学生 被动的学习方式, 为学生 学习数学提供 了广 阔的思考 空 

行数学学 习时, 应该把发现问题和解决数学 问题放在首要地 

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中学 数学研 究 

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道 高三数 学例题 的教 学发现 

福建省 南平 市高级 中学 ( 3 5 3 0 0 0 )   郑定华 
_  

近E t , 在高三 毕业班 数学教学 中,   如下一例引起了笔者的研究兴趣 :  

因 为 t + ; ≥ 2 、 / t ?   = 4 , 所 以  
s△AO B ≥  ×   1
1  
=  

o 

, 

当且仅 当 t =4即t =2 , m=一   时, 等号成立, AA OB   t, 的面积 取得 最大值  1 此 时, 直线 j 的斜率为 一   .  


思考 上述的解法是否 也适用于解决 直线 与椭圆的类似 
问 颢 ,镪  卜 彻I 右 何 新 的 育 法 7椎 广 卜 俪f 能右. l f - 么结 论 ?  





迁 移 

上 述 解 法 可 以移 植 到解 决 直 线 与 

椭 圆的类似 问题 中, 在此, 举一例 :  
例 2 过点 ( 3 , 0 ) 引直线 2 与椭 
圆  +Y  = 1 相交于 A, B 两点, 0   图2  

为坐标 原点, 当 AA O B 的面积取最 大值 时, 直线 { 的斜率等 

. 
— —

解 如图 2 , 设 直线 f 的方程 为  = my+3 , A  1 , v 1 ) ,  

B(  ,   。 ) ,P ( 3 , 。 ) , 联 立 
8 m2   2   4  
=  

+! , 。 =1


m2  



消 去  ,得 

一  V  
.   = 

【   =m y +3  
( 4 +m  )   。 +6 my +5 =0 .  

令t =1 +m  ( t >2 ) , 所以  
s… B = 

再 

依题意知 △ =3 6 m。 一2 0 ( 4 +m。 ) >0 , 所以 m。>5 ,  
由根与系数 的关系得 
Y   + Y2  

所 以 当  = 1 4, 即t =4 , m=一   时, AAOB 的 面 积 取 得  

6 m  一— 4+— m 2,Y1 ‘ Y2  

5   4+— — m 2,  

最大值 , 为  1 此时, 直线 2 的斜率为 一   . 对上 述解法 , 令  所 以 


t =m。 一1 ( t >0 ) 亦可, 此时 
一  

S △ A o B=S △ P 0 B—S △ P 0 A=   1. I oP I . I   2 一y l I  

、 /   t  

韦  :   V / 3 6 m 2  2 0   : 6 — m Z - 5  
[ 2 】高鹏. 透过现象看本质 [ J 1 . 中学数学教学参考, 2 0 0 8 , 6 .  
【 3 ] 沈 文选 . 数学 解题 与解 题研 究 的重新 认识 [ J 】 _ 数学 教育 学报 , 1 9 9 7 , 3 .  

位, 学 习数学应 当有 “ 法” , 但要 想把学 习解题方 法规定 为某  种 固定的模式, 显然是不科学 的, 也是不 可能 的. 这 将是我们 
作 为一名数学教学工作者长期应该研究 的课题 .  
参考 文献 

[ 4 】季素月.中学生数学能力培养[ M] . 长春: 东北师范大学 出版社,  
1 9 9 9 : 1 71 .  

【 5 】王 义 堂, 田保 军 . 新 课程 理 念与 教学 策 略 [ M] . 北京: 中国 言实 出版 
社, 2 0 0 3 : 3 6 0 . 3 6 1 .  

【 1 】 罗增 儒 . 数学 解题 学 引论 [ M】 . 西安 : 陕 西师 范大 学 出版社 . 2 0 0 1 .  


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