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施秉县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

施秉县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知实数 x,y 满足有不等式组 A.2 B. C. D. ) ,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 2 倍,则实数 a 的值是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知 PD⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中相互垂直的平面有(

A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 3. 已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,3},B={0,1,4},则(?UA)∪B 为( A.{0,1,2,4} B.{0,1,3,4} C.{2,4} D.{4} ) )

4. 执行如图所示的程序框图,如果输入的 t=10,则输出的 i=(

A.4 C.6 5. 设 a>0,b>0,若 A.8 B.4 C.1

B.5 D.7
a b 是 5 与 5 的等比中项,则 + 的最小值为(



D.

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6. 已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如下图所示,则函数 f(|x|)的图象是(



A.

B.

C.

D.

7. 设 m,n 表示两条不同的直线,α、β 表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是( A.m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.m⊥α,n⊥α,则 m∥n B.m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.m∥α,α∩β=n,则 m∥n



8. 数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对所有的 n ? 2 ,都有 a1 a2 a3 A.

25 9


B.

25 16

an ? n2 ,则 a3 ? a5 等于( 61 C. 16

) D.

31 15

9. 已知某市两次数学测试的成绩 ξ1 和 ξ2 分别服从正态分布 ξ1:N1(90,86)和 ξ2:N2(93,79),则以下 结论正确的是( A.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定 B.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定 C.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定 D.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定 10.如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限 )

11.5 名运动员争夺 3 项比赛冠军(每项比赛无并列冠军),获得冠军的可能种数为(

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A.35

B.

C. )

D.53

12.二进制数 10101 化为十进制数的结果为( (2) A. 15 B. 21 C. 33 D. 41

二、填空题
13.已知函数 f ( x) ?

2 tan x ? ,则 f ( ) 的值是_______, f ( x ) 的最小正周期是______. 2 1 ? tan x 3

【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质等基础知识,意在考查运算求解能力. 14.某高中共有学生 1000 名,其中高一年级共有学生 380 人,高二年级男生有 180 人.如果在全 校学生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19 ,先采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 . 15. 【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测 (一) 】 已知函数 f ? x ? ? ( e 为自然对数的底数)上存在点 ? x0 , y0 ? 使得 f 16.给出下列命题: ①把函数 y=sin(x﹣ )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=sin(2x﹣ );

? f ? y ?? ? y
0

2e x ?1 lnx ? x ? a ?a ? R ? , 若曲线 y ? 2 x x e ?1

0 ,则实数

a 的取值范围为__________.

②若 α ,β 是第一象限角且 α <β ,则 cosα >cosβ ; ③x=﹣ 是函数 y=cos(2x+ π )的一条对称轴; )与函数 y=4cos(2x﹣ )相同;

④函数 y=4sin(2x+ ⑤y=2sin(2x﹣

)在是增函数; .

则正确命题的序号

2 2 17.已知 x , y 为实数,代数式 1 ? ( y ? 2) ? 9 ? (3 ? x ) ?

x 2 ? y 2 的最小值是

.

【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识,意在考查构造的数学思想与运算求解能力.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 18 . 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 z ? (a ? 1) x ? 3(a ? 1) y 的 最 小 值 是 ?20 , 则 实 数 ? x ? y ?1 ? 0 ?

a ? ______.
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力.

三、解答题

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19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (2)求二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值.

20.已知二次函数 f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R). (1)若函数 y=f(x)的零点为﹣1 和 1,求实数 b,c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0, 1)内,求实数 b 的取值范围.

21.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性 有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节 目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

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非体育迷体育迷合计 男 女 总计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若从 “超级体育迷”中任意选取 2 名,求至少有 1 名女性观众的概率.
2 附:K =

P(K2≥k0) k0

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.455 6.635 0.708 7.879 1.323 10.83

0.025

0.010 0.005

0.001

2.072

2.706

3.84 5.024

22.已知函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},且对定义域内的任意 x,y 都有 f(x﹣y)= 成立,且 f(1)=1,当 0<x<2 时,f(x)>0. (1)证明:函数 f(x)是奇函数; (2)试求 f(2),f(3)的值,并求出函数 f(x)在[2,3]上的最值.

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23.已知函数 f(x)= (1)求 m 和 t 的值;

在( ,f( ))处的切线方程为 8x﹣9y+t=0(m∈N,t∈R)

(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax+ 在[ ,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.

24.如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF, (Ⅰ)求证:EF⊥平面 DCE; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

,EF=2,BE=3,CF=4.

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施秉县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立 联立

,得 A(a,a), ,得 B(1,1),

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知 zmax=2×1+1=3,zmin=2a+a=3a, 由 6a=3,得 a= . 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 2. 【答案】D 【解析】解:∵PD⊥矩形 ABCD 所在的平面且 PD?面 PDA,PD?面 PDC, ∴面 PDA⊥面 ABCD,面 PDC⊥面 ABCD, 又∵四边形 ABCD 为矩形 ∴BC⊥CD,CD⊥AD ∵PD⊥矩形 ABCD 所在的平面 ∴PD⊥BC,PD⊥CD ∵PD∩AD=D,PD∩CD=D ∴CD⊥面 PAD,BC⊥面 PDC,AB⊥面 PAD, ∵CD?面 PDC,BC?面 PBC,AB?面 PAB,

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∴面 PDC⊥面 PAD,面 PBC⊥面 PCD,面 PAB⊥面 PAD 综上相互垂直的平面有 5 对 故答案选 D 3. 【答案】A 【解析】解:∵U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,3}, ∴CUA={2,4}, ∵B={0,1,4}, ∴(CUA)∪B={0,1,2,4}. 故选:A. 【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

4. 【答案】 【解析】解析:选 B.程序运行次序为 第一次 t=5,i=2; 第二次 t=16,i=3; 第三次 t=8,i=4; 第四次 t=4,i=5,故输出的 i=5. 5. 【答案】B 【解析】解:∵
a b ∴5 ?5 =(

是 5 与 5 的等比中项,

a

b

2 ) =5,

即 5a+b=5, 则 a+b=1, 则 + =( + )(a+b)=1+1+ + ≥2+2 =2+2=4,

当且仅当 = ,即 a=b= 时,取等号, 即 + 的最小值为 4,

故选:B 【点评】本题主要考查等比数列性质的应用,以及利用基本不等式求最值问题,注意 1 的代换. 6. 【答案】B 【解析】解:∵y=f(|x|)是偶函数,

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∴y=f(|x|)的图象是由 y=f(x)把 x>0 的图象保留, x<0 部分的图象关于 y 轴对称而得到的. 故选 B. 【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力,注意区别函数 y=f(x)的图象和函数 f(|x|)的图象之间的关 系,函数 y=f(x)的图象和函数|f(x)|的图象之间的关系;体现了数形结合和运动变化的思想,属基础题.

7. 【答案】D 【解析】解:A 选项中命题是真命题,m⊥α,m⊥β,可以推出 α∥β; B 选项中命题是真命题,m∥n,m⊥α 可得出 n⊥α; C 选项中命题是真命题,m⊥α,n⊥α,利用线面垂直的性质得到 n∥m; D 选项中命题是假命题,因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行. 故选 D. 【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用,关键是熟练有关的定理.

8. 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 a1 a2 a3
2 a n ? n , 则 a1 a2 a3 2 , 两 式 作 商 , 可 得 an ? a ? 1) n? 1? ( n

n2 ,所以 2 (n ? 1)

32 52 61 a3 ? a5 ? 2 ? 2 ? ,故选 C. 2 4 16
考点:数列的通项公式. 9. 【答案】C 【解析】解:∵某市两次数学测试的成绩 ξ1 和 ξ2 分别服从正态分布 ξ1:N1(90,86)和 ξ2:N2(93,79), ∴μ1=90,?1=86,μ2=93,?2=79, ∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定, 故选:C. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 10.【答案】D 【解析】解:∵P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限, ∴sinθcosθ<0,cosθ>0, ∴sinθ<0, ∴θ 是第四象限角.

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故选:D. 【点评】本题考查了象限角的三角函数符号,属于基础题. 11.【答案】D
3 【解析】解:每一项冠军的情况都有 5 种,故 5 名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 5 ,

故选:D. 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,属于基础题. 12.【答案】 B 【解析】
4 2 0 试题分析: 10101 ?2 ? ? 1? 2 ? 1? 2 ? 1? 2 ? 21,故选 B.

考点:进位制

二、填空题
13.【答案】 ? 3 , ? .

? ? 2 tan x ? 2? ? x ? ? k? ? tan 2 x ,∴ f ( ) ? tan ? ? 3 ,又∵ ? 【解析】∵ f ( x ) ? ,∴ f ( x ) 的定义域为 2 1 ? tan 2 x 3 3 2 ?1 ? tan x ? 0 ?
? k? ) ( ? k? , ? k? ) , k ? Z ,将 f ( x) 的图象如下图画出,从而 2 4 4 4 4 2 可知其最小正周期为 ? ,故填: ? 3 , ? . (?

?

? k? , ?

?

? k? ) ( ?

?

? k? ,

?

?

?

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14.【答案】 25 【 解 析 】

考 点:分层抽样方法. 15.【答案】 ? ??, ? e

? ?

1? ?

2e x ?1 1 ? e2 x 2e x ?1 【解析】结合函数的解析式: y ? 2 x 可得: y ' ? , 2 e ?1 e2 x ? 1

?

?

?

?

令 y′=0,解得:x=0, 当 x>0 时,y′>0,当 x<0,y′<0, 则 x∈(-∞,0),函数单调递增,x∈(0,+∞)时,函数 y 单调递减, 则当 x=0 时,取最大值,最大值为 e,
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∴y0 的取值范围(0,e], 结合函数的解析式: f ? x ? ? x∈(0,e), f ' ? x ? ? 0 , 下面证明 f(y0)=y0. 假设 f(y0)=c>y0,则 f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足 f(f(y0))=y0. 同理假设 f(y0)=c<y0,则不满足 f(f(y0))=y0. 综上可得:f(y0)=y0.

x 2 ? lnx ? 1 lnx ? x ? a ? a ? R ? 可得: f ' ? x ? ? , x x2

则 f(x)在(0,e)单调递增,

lnx ? x?a ? x . x lnx 1 ? lnx 设 g ? x? ? ,求导 g ' ? x ? ? , x x2
令函数 f ? x ? ? 当 x∈(0,e),g′(x)>0, g(x)在(0,e)单调递增, 当 x=e 时取最大值,最大值为 g ? e ? ? 当 x→0 时,a→-∞, ∴a 的取值范围 ? ??, ? . e

1 , e

? ?

1? ?

点睛:(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题(2)问时,关键是分离 参数 k,把所求问题转化为求函数的最小值问题. (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x) ≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. 16.【答案】 【解析】解:对于①,把函数 y=sin(x﹣ 到函数 y=sin(2x﹣ ),故①正确. ,故②错 )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得

对于②,当 α ,β 是第一象限角且 α <β ,如 α =30°,β =390°,则此时有 cosα =cosβ = 误. 对于③,当 x=﹣ 数 y=cos(2x+ 时,2x+ π =π ,函数 y=cos(2x+ π )=﹣1,为函数的最小值,故 x=﹣

是函

π )的一条对称轴,故③正确. )=4cos[ ﹣(2x+ )]=4cos( ﹣2)=4cos(2x﹣ ),

对于④,函数 y=4sin(2x+

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故函数 y=4sin(2x+ 对于⑤,在上,2x﹣ 故答案为:①③④. 17.【答案】 41 . 【

)与函数 y=4cos(2x﹣ ∈,函数 y=2sin(2x﹣

)相同,故④正确. )在上没有单调性,故⑤错误,







18.【答案】 ?2 【 解 析 】

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵四边形 AA1C1C 为平行四边形,∴AC=A1C1, ∵AC=AA1,∴AA1=A1C1, ∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1 为等边三角形, 同理△ABC1 是等边三角形, ∵D 为 AC1 的中点,∴BD⊥AC1, ∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C, 平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1,BD?平面 ABC1, ∴BD⊥平面 AA1C1C. (2)以点 D 为坐标原点,DA、DC、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, 平面 ABC1 的一个法向量为 由题意可得 , ,1,1), ,设平面 ABC 的法向量为 ,则 , ,

所以平面 ABC 的一个法向量为 =( ∴cosθ= .

即二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值等于



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【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的平面角大小.着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱 的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识,属于中档题. 20.【答案】

【解析】解:(1)∵﹣1,1 是函数 y=f(x)的零点,∴ (2)∵f(1)=1+2b+c=0,所以 c=﹣1﹣2b. 令 g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x﹣b﹣1,

,解得 b=0,c=﹣1.

∵关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0,1)内,



,即

.解得 <b< ,

即实数 b 的取值范围为( , ). 【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系,零点的存在性定理,属于中档题. 21.【答案】

【解析】解: (1)由频率分布直方图中可知:抽取的 100 名观众中,“体育迷”共有(0.020+0.005)×10×100=25 名.可得 2×2 列联表: 非体育迷体育迷合计 男 女 30 45 15 10 25 45 55 100

总计75

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2 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算可得 K 的观测值为:k=

=

≈3.030.

∵3.030<3.841, ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. a2) “超级体育迷”有 5 名, (2) 由频率分布直方图中可知: 从而一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω={ (a1, , (a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1, b2)},其中 ai(i=1,2,3)表示男性,bj(j=1,2)表示女性. 设 A 表示事件“从“超级体育迷”中任意选取 2 名,至少有 1 名女性观众”,则事件 A 包括 7 个基本事件:(a1, b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2). ∴P(A)= .

【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 22.【答案】 【解析】(1)证明:函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称. 又 f(x﹣y)= ,

所以 f(﹣x)=f[(1﹣x)﹣1]=

=

=

=

=

=



故函数 f(x)奇函数. (2)令 x=1,y=﹣1,则 f(2)=f[1﹣(﹣1)]= 令 x=1,y=﹣2,则 f(3)=f[1﹣(﹣2)]= ∵f(x﹣2)= ∴f(x﹣4)= 则函数的周期是 4. = , , = = = , ,

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先证明 f(x)在[2,3]上单调递减,先证明当 2<x<3 时,f(x)<0, 设 2<x<3,则 0<x﹣2<1, 则 f(x﹣2)= 设 2≤x1≤x2≤3, 则 f(x1)<0,f(x2)<0,f(x2﹣x1)>0, 则 f(x1)﹣f(x2)= ∴f(x1)>f(x2), 即函数 f(x)在[2,3]上为减函数, 则函数 f(x)在[2,3]上的最大值为 f(2)=0,最小值为 f(3)=﹣1. 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及函数的最值及其几何意义等有关知识,综合性较强,难度较 大. 23.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)的导数为 f′(x)= 由题意可得,f( )= 即 = ,且 ,f′( )= , = , , , ,即 f(x)=﹣ <0,

由 m∈N,则 m=1,t=8; (2)设 h(x)=ax+ ﹣ h( )= ﹣ ≥0,即 a≥ , h′(x)=a﹣ 若 ≤x≤ ,当 a≥ 时,若 x> , <0,g(x)在[ , ]上递减,且 g( )≥0, ,h′(x)>0,① ,x≥ .

,设 g(x)=a﹣

g′(x)=﹣

则 g(x)≥0,即 h′(x)≥0 在[ ,

]上恒成立.②

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由①②可得,a≥ 时,h′(x)>0,h(x)在[ ,+∞)上递增,h(x)≥h( )= 则当 a≥ 时,不等式 f(x)≤ax+ 在[ ,+∞)恒成立; 当 a< 时,h( )<0,不合题意. 综上可得 a≥ .

≥ 0,

【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间,主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值,正 确求导和分类讨论是解题的关键. 24.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)在△BCE 中,BC⊥CF,BC=AD=
2 2 2

,BE=3,∴EC=



∵在△FCE 中,CF =EF +CE ,∴EF⊥CE 由已知条件知,DC⊥平面 EFCB, ∴DC⊥EF,又 DC 与 EC 相交于 C,∴EF⊥平面 DCE 解:(Ⅱ) 方法一:过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H,连接 AH. 由平面 ABCD⊥平面 BEFC,平面 ABCD∩平面 BEFC=BC, AB⊥BC,得 AB⊥平面 BEFC,从而 AH⊥EF. 所以∠AHB 为二面角 A﹣EF﹣C 的平面角. 在 Rt△CEF 中,因为 EF=2,CF=4.EC= ∴∠CEF=90°,由 CE∥BH,得∠BHE=90°,又在 Rt△BHE 中,BE=3, ∴ 由二面角 A﹣EF﹣C 的平面角∠AHB=60°,在 Rt△AHB 中,解得 所以当 xyz. 设 AB=a(a>0),则 C(0,0,0),A( 从而 设平面 AEF 的法向量为 则 ,即 ,由 , , ,0,a),B( , 得, ,取 x=1, ,0,0),E( ,3,0),F(0,4,0). 时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60° ,

方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C﹣

不妨设平面 EFCB 的法向量为

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由条件,得 解得 .所以当 时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,其中(I)的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直 与面面垂直的之间的相互转化,(II)的关键是建立空间坐标系,将二面角问题,转化为向量的夹角问题.

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