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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题三 三角函数 第2讲 解三角形课件 文


第2讲 解三角形

考向分析

核心整合 热点精讲 阅卷评析

考向分析
考情纵览

年份 考点

2011 2012

2013 Ⅰ 10 Ⅱ Ⅰ

2014 Ⅱ 17(1) Ⅰ

2015 Ⅱ

正弦定理
余弦定理 正、余弦定理综合应用 三角形面积及实际应用 15 17

4
17(1) 4 16 17(2) 17(2)

17(1)
17(2)

真题导航
1.(2013 新课标全国卷Ⅰ,文 10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
2 a,b,c,23cos A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于( D )

(A)10

(B)9

(C)8
2 2

(D)5
2

解析:由题意知,23cos A+2cos A-1=0,即 cos A=

1 ,又因△ABC 为锐角三角形, 25

1 1 2 2 2 所以 cos A= .△ABC 中由余弦定理知 7 =b +6 -2b×6× , 5 5 12 13 即 b - b-13=0,即 b=5 或 b=- (舍去),故选 D. 5 5
2

2.(2014 新课标全国卷Ⅰ,文 16)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及 ∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°,已知山高 BC=100 m,则山高 MN= m.

解析:Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m, 所以 AB=100 m,AC=100 2 m, 因为∠MAC=75°,∠ACM=60°, 所以∠AMC=180°-75°-60°=45°, △MAC 中,根据正弦定理

AC AM = , sin ?AMC sin ?MCA

2 AM 3 100 2 所以 = ,所以 AM=100 2 × × =100 3 (m). ? ? sin 45 sin 60 2 2
Rt△MNA 中,∠MAN=60°,sin 60°=

MN , AM

3 所以 MN=AM·sin 60°=100 3 × =150(m). 2
答案:150

3.(2012 新课标全国卷,文 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对 边,c= 3 asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.
解:(1)由 c= 3 asin C-ccos A 及正弦定理得, 3 sin Asin C-cos Asin C-sin

π 1 π C=0,由 sin C≠0,所以 sin(A- )= ,又 0<A<π,故 A= . 6 2 3

1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3 ,故 bc=4. 2
而 a =b +c -2bccos A,b +c =8,解得 b=c=2.
2 2 2 2 2

4.(2014 新课标全国卷Ⅱ,文 17)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互 补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积.
解:(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ②

1 由①②得 cos C= ,故 C=60°,BD= 7 . 2
(2)四边形 ABCD 的面积 S= =(

1 1 AB·DAsin A+ BC·CDsin C 2 2

1 1 ×1×2+ ×3×2)sin 60°=2 3 . 2 2

5.(2015 新课标全国卷Ⅰ,文 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对 边,sin B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积.
2
2

解:(1)由题设及正弦定理可得 b =2ac.又 a=b,可得 b=2c,a=2c.

a 2 ? c2 ? b2 1 由余弦定理可得 cos B= = . 2ac 4
(2)由(1)知 b2=2ac.因为 B=90°,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 2 .所以△ABC 的面积为 1.

备考指要
1.怎么考 (1)考查角度:①利用正、余弦定理求解三角形中边、角、面积问题; ②利用正、余弦定理解决实际问题中的测量问题; ③正、余弦定理与三角恒等变换综合命题.

(2)题型及难易度:选择题、填空题、解答题,中、低档.
2.怎么办 (1)在三角形内求值,证明或判断三角形形状时,要用正、余弦定理完成边 与角的互化,一般先都化为边或都化为角,然后用三角公式或代数方法求解. (2)在解三角形的实际应用问题中,要将所求问题转化到一个三角形中,然 后用正、余弦定理解决.在用正、余弦定理解决实际问题时要注意结果要 符合实际问题的要求.

核心整合
1.正弦定理

a b c ? ? =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C
变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.

a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 推论:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ac

3.面积公式

1 1 1 S△ABC= bcsinA = acsinB = absinC . 2 2 2
4.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.

(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能
不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 温馨提示 在△ABC中,A>B a>b sin A>sin B.

热点精讲
热点一 正、余弦定理及其简单应用 【例 1】 (1)(2015 兰州高三诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 bsin A= 3 acos B.则 B 等于( (A)

)

π 6

(B)

π 4

(C)

π 3

(D)

π 2

解析:(1)由 bsin A= 3 acos B 及正弦定理得, sin Bsin A= 3 sin Acos B,因为 sin A≠0,tan B= 3 ,

π 又 B∈(0,π),所以 B= .故选 C. 3

(2)(2015 辽宁锦州质检)△ABC 各内角的对边分别为 a,b,c,满足 ≥1,则角 A 的范围是( (A) (0, (C)[ )

b c + a?c a?b

π ] 6

(B) (0, (D)[

π ] 3

π ,π ) 6 b c 解析:(2)因为 + ≥1,所以 b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b), a?c a?b

π ,π ) 3

b2 ? c2 ? a 2 1 整理得 b +c -a ≥bc,所以 cos A= ≥ , 2bc 2
2 2 2

又 A∈(0,π),所以 A∈(0,

π ].故选 B. 3

方法技巧 (1)在解三角形问题时要根据题意恰当选择正弦定理或余弦定 理实现边角互化,有时可能交替使用.

1 1 1 (2)在解三角形问题中,面积公式 S= absin C= bcsin A= acsin B 最常用, 2 2 2
因公式中有边也有角,易和正、余弦定理结合应用.

举一反三 1-1:(2015 郑州第二次质量预测)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且 c= 7 ,C= (A)

π ,则△ABC 的面积是( 3

)

7 3 21 7 3 3 3 3 3 (B) (C) (D) 或 6 3 6 4 4

解析:由 sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A 得,2sin Bcos A=6sin Acos A,所以 cos A(3sin A-sin B)=0,所以 cos A=0 或 3sin A-sin B=0,若 cos A=0,则 A=

π π π ,又 C= ,所以 B= ,由 3 6 2

c b c ? sin B 21 21 7 3 1 1 = 可得 b= = .所以 S△ABC= bc= × × 7= . sin C sin B sin C 3 3 6 2 2
若 3sin A-sin B=0,则由正弦定理可知,b=3a,由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C, 即 7=a +9a -2a×3a×cos ×
2 2

π 1 1 .解得 a=1,b=3.所以 S△ABC= absin C= ×1×3 3 2 2

7 3 3 3 3 3 3 = .故△ABC 的面积是 或 ,故选 D. 6 2 4 4

热点二

三角恒等变换与解三角形的综合

【例 2】 (2015 兰州高三诊断)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已

c 知 = . 3 cos A sin C
(1)求 A 的大小; (2)若 a=6,求 b+c 的取值范围.

a

c a 解:(1)因为 = = ,所以 3 cos A=sin A, 3 cos A sin C sin A
所以 tan A= 3 .因为 0<A<π,所以 A=

a

π . 3

a b c (2)由正弦定理得: = = = sin A sin B sin C

6 π 3 cos 3

=4 3 ,

所以 b=4 3 sin B,c=4 3 sin C,所以 b+c=4 3 sin B+4 3 sin C =4 3 [sin B+sin(π-A-B)]=4 3 [sin B+sin ( =12sin(B+

π +B)] 3

π π π 5π ).因为 <B+ < , 6 6 6 6

π 所以 6<12sin(B+ )≤12,即 b+c∈(6,12]. 6

3 4 举一反三 2-1:(2015 太原市高三模拟)在△ABC 中,cos A= ,cos B= ,BC=4, 5 5
则 AB 等于( (A)5 (B)4 ) (C)3 (D) 2

解析:因为 cos A=

3 4 4 3 ,cos B= ,所以 sin A= ,sin B= . 5 5 5 5

所以 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=1,所以 C=

π , 2

AB BC 4 所以由正弦定理得 = 得,AB= =5.故选 A. 4 sin C sin A 5

热点三

正、余弦定理的实际应用

【例 3】 (2013 江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种 路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆 车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1260 m,经测量,cos A=

12 3 ,cos C= . 13 5
(1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 什么范围内?

12 3 5 4 解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 sin A= ,sin C= . 13 5 13 5
从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C

5 3 12 4 63 AB AC = × + × = .由正弦定理 = , 13 5 13 5 65 sin C sin B

AC 1260 4 得 AB= ·sin C= × =1040(m).所以索道 AB 的长为 1040 m. 63 sin B 5 65
(2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙 2 2 2 距离 A 处 130t m,所以由余弦定理 d =(100+50t) +(130t) -2×130t×(100+50t)

12 1040 2 =200(37t -70t+50).由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 13 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37
×

BC AC AC 5 1260 (3)由正弦定理 = ,得 BC= ·sin A= × =500(m). 63 sin A sin B sin B 13 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min,

500 710 1250 625 由题意得-3≤ ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14
所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在

1250 625 [ , ](单位:m/min)范围内. 43 14

方法技巧 运用解三角形知识解决实际问题的步骤: (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中有关名词、

术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;
(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中 ,通过合理运用正弦定理、 余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.

举一反三 3-1:如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=15°,∠ BDC=30°,CD=30,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°.则塔高 AB= .

解析:因为∠BCD=15°,∠BDC=30°,所以∠CBD=135°,在三角形 BCD 中,根据正

CD BC 30 BC 弦定理可知 = ,即 = ,解得 BC=15 2 ,在 ? ? sin ?CBD sin ?BDC sin135 sin 30 AB Rt△ABC 中,tan 60°= = 3 ,所以 AB= 3 BC= 3 ×15 2 =15 6 . BC
答案:15 6

备选例题

【例 1】(2015 甘肃一诊)已知△ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 a +b +c =84, 则实数 b 的取值范围是( (A)[2 5 ,2 7 ] (C)[2 6 ,2 7 ] ) (B)(2 5 ,2 7 ] (D)(2 6 ,2 7 ]

2

2

2

解析:设公差为 d,则 a=b-d,c=b+d,代入 a2+b2+c2=84 化简得 3b2+2d2=84. 所以当 d=0 时,b 有最大值 2 7 ;由三角形性质知,a+b>c,整理得 b>2d. 所以 3b +2×(
2

b 2 ) >84,所以 b>2 6 , 2

所以实数 b 的取值范围是(2 6 ,2 7 ].故选 D.

【例 2】 (2015 河南普通高中适应性模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x-

π ) (ω >0) 3

π 图象的相邻的两条对称轴之间的距离为 . 2 π (1)求函数 f(x)在[0, ]上的值域; 2
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C +cos 2B=1,且 f(C)=0,求三边长之比 a∶b∶c.
解:(1)因为函数 f(x)=sin(ωx-

π π )图象的相邻的两条对称轴之间的距离为 . 2 3

1 2π π π π π π · = ,所以ω=2,即 f(x)=sin(2x- ).当 0≤x≤ 时,- ≤2x- ≤ ? 2 3 3 3 2 2

2π 5π 3 3 ,故 x=0 时,f(x)min=,当 x= 时,f(x)max=1,故所求值域为[,1]. 3 12 2 2

(2)因为 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1,所以 sin B(sin A+sin C)=2sin2 B, 且 sin B≠0,sin A+sin C=2sin B.由正弦定理得 a+c=2b.因为 f(C)=0, 所以 sin(2C-

π π π 5π π 2π )=0,又 0<C<π,即- <2C- < ,所以 C= 或 C= . 3 3 3 3 6 3

由余弦定理得 cos C=

a ?b ?c = 2ab
2 2 2

a 2 ? b 2 ? ? 2b ? a ? 2ab

2

=

4a ? 3b . 2a

π 4a ? 3b 3 当 C= 时, = .所以(4- 3 )a=3b, 6 2a 2
此时 a∶b∶c=3∶(4- 3 )∶(5-2 3 ). 当 C=

2π 4a ? 3b 1 时, =- , 3 2a 2

所以 5a=3b,此时 a∶b∶c=3∶5∶7. 故所求三边之比为 3∶(4- 3 )∶(5-2 3 )或 3∶5∶7.

阅卷评析
正、余弦定理在解三角形中的应用 (2015 新课标全国卷Ⅱ,文 17)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.

sin B (1)求 ; sin C
(2)若∠BAC=60°,求∠B.
评分细则:

AD BD 法一 (1)由正弦定理得 = ……………2 分 sin B sin ?BAD AD DC = ,………………………………………4 分 sin C sin ?CAD sin B DC 1 因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以 = = ………6 分 sin C BD 2
注:利用正弦定理所得方程每个 2 分,结论 2 分.

(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B), ∠BAC=60°,…………………………………………………………7 分

1 3 所以 sin C=sin(∠BAC+∠B)= cos B+ sin B……………10 分 2 2
由(1)知 2sin B=sin C. 所以 tan B=

3 .……………………………………………………11 分 3

所以∠B=30°. ……………………………………………………12 分 注:直接写出 sin C=sin(∠BAC+∠B)也给 4 分.

sin B AC 法二 (1)由正弦定理得 = ,…………………2 分 sin C AB
又因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,

AC DC 1 所以由角平分线性质知, = = .………………4 分 AB BD 2
sin B 1 所以 = .……………………………………………6 分 sin C 2
注:三个等式每个 2 分.

(2)由(1)知,AB=2AC,在△ABC 中,由余弦定理可得

1 BC =AC +AB -2AC·AB·cos ∠BAC=AC +4AC -2AC×2AC× =3AC2. 2
2 2 2 2 2

所以 BC= 3 AC. …………………………………………………………8 分

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 4 AC 2 ? 3 AC 2 ? AC 2 3 所以 cos B= = = .………11 分 2 AB ? BC 2 2 ? 2 AC ? 3 AC
又 B∈(0°,180°),所以 B=30°. ………………………………………12 分 注:由余弦定理得 BC 与 AC 关系得 2 分,由余弦定理的推论求出 cos B 得 3 分,结论 1 分.

答题启示:(1)解三角形问题,一般有两种途径,边化角或角化边,第(1) 问合理利用正弦定理及角平分线性质是解题的关键.第(2)问注意三角 形隐含条件A+B+C=180°,进而转化为角的计算. (2)解决本题时常会因不能合理利用正、余弦定理转化边角关系而造 成失分.


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